文档内容
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D B B D C C C
题号 9 10 11
答案 ABD BCD AB
2√5
12.7 13. 14.10
5
15．（1）易知 a(sinθ+cosθ)， ( π).令 ( π) ，则 t2-1
l= θ∈ 0, t=sinθ+cosθ=√2sin θ+ ∈(1,√2] sinθcosθ=
sinθcosθ 2 4 2
a(sinθ+cosθ) 2at 2a 2a
l= = = 1 l= π
即 sinθcosθ t2-1 1当t∈(1,√2]时，t- 单调递增， 1单调递减.则t=√2即θ= 时
t- t t- 4
t t
2a√2
l = =2√2a
min
(√2)
2-1
若一根铁棒能水平地通过此直角走廊，则需此铁棒的最大长度为2√2a m
π a a
（3）延长CD分别交PA，PB于N，M，设∠PNM=θ，则∠PMN= -θ.，可知MN=l= + ，
2 sinθ cosθ
b
在RtΔAND中，DN= 在RtΔBMC中，CM=btanθ则
tanθ
a a b
AB=CD=MN-DN-CM= + - -btanθ
sinθ cosθ tanθ
a(sinθ+cosθ) (cosθ sinθ) a(sinθ+cosθ) sin2θ+cos2θ a(sinθ+cosθ) b
= -b + = -b = -
sinθcosθ sinθ cosθ sinθcosθ sinθcosθ sinθcosθ sinθcosθ
令 ( π)， 则 t2-1，即
t=sinθ+cosθ=√2sin θ+ t∈(1,√2] sinθcosθ=
4 2
2at-2b 2a(t-1)+2a-2b 2a 2a-2b， ， .当 时 2a 2a-2b
AB= = = + t∈(1,√2] (a>b>0) t∈(1,√2] AB= +
t2-1 t2-1 t+1 t2-1 t+1 t2-1
单调递减.则 t=√2 即 θ= π时 AB = 2a + 2a-2b =2√2a-2b .
4 min √2+1 (√2) 2-1
平板车若想顺利通过直角走廊，其长度l不能超过2√2a-2b m
16.（1）由题意得 ， ，
所以 成等比数列，故 ；
，而 ,
所以 成等比数列，故 ，故 ；
（2）设 中存在不同的三项 恰好成等差数列，
①若 均为奇数，不妨设 ，则 ，即 ，得
，
因为 是奇数， 是偶数，故 不可能成立；
②若 二奇一偶，不妨设 为奇数， 为偶数，
则 为偶数， 为奇数，则 ，即 ，因为
被3除余2，同理 也被3除余2，故
被3除余1，而 为3的倍数，故 不可能成立；
③若 一奇二偶，不妨设 为偶数， 为奇数，则 为奇数， 为偶数，则
，即 ，
因为 为3的倍数， 不是3的倍数（被3除余1），故 不可能成立；
④若 均为偶数，不妨设 ，则 ，即 ，得
，因为 被3除余 是3的倍数，故 不可能成立，综
上 中不存在不同的三项 恰好成等差数列.
17.
（1）设M表示共抽了3次，对应事件为{第一、二次都抽到A，第三次抽到C}，
3 2 1
由题意，第一、二次抽到A的概率依次为 、 ，第三次抽到C的概率为 ，所以
8 7 33 2 1 1
P(M)= × × = ，
8 7 3 28
而最后一次抽到C的情况有{抽了1次}、{抽了2次}、{抽了3次}、{抽了4次}，
1 3 2 3 1
除了最后一次，其它抽到A，故对应概率依次为 、 × = 、 、
4 8 7 28 28
3 2 1 2 1
× × × = ，
8 7 6 5 140
所以该顾客最后一次取到的是写有C的卡片的条件下，求他共抽了3次的概率为
1
28 5
= .
1 3 1 1 56
+ + +
4 28 28 140
（2）（i）这 条灯谜的位置从第 个到第 个排序，有 种情况，要摘到那条最适合
4 1 4 A4=24
4
灯谜，有以下两种情况：
①最适合灯谜是第 个，其它的随意在哪个位置，有 种情况；
3 A3=6
3
②最适合灯谜是最后一个，第二适合灯谜是第1个或第2个，其它的随意在哪个位置，有
种情况，
2A2=4
2
6+4 5
综上，所求概率为 = ；
24 12
1
（ii）记事件A表示最适合灯谜被摘到，事件B表示最适合灯谜排在第i个，则P(B )= ，
i i n
n n
由全概率公式知： 1 ，当 时，最适合
P(A)=∑ P(A|B )P(B )= ∑ P(A|B ) 1≤i≤k
i i n i
i=1 i=1
灯谜在前 条中，不会被摘到，此时 ；
k P(A|B )=0
i
当k+1≤i≤n时，最适合灯谜被摘到，当且仅当前i-1条灯谜中的最适合那条在前k个之中
k
时，此时P(A|B )= ，
i i-1所以 1(k k k ) k n，令 x n ，则
P(A)= + +⋯+ = ln g(x)= ln (x>0) g' (x)=
n k k+1 n-1 n k n x
1 n 1 n
ln - ，由g' (x)=0，得x= ，
n x n e
n n n
当x∈(0, )时，g' (x)>0，当x∈( ,n)时，g' (x)<0，所以g(x)在(0, )上单调递增，
e e e
n n 1 n k n 1
在( ,n)上单调递减，故g(x) =g( )= ，当k= 时，P(A)= ln 取得最大值 ，
e max e e e n k e
1 1
从而P的最大值为 ，此时t的值为 .
e e
18.
(1) 曲线E的方程为y2=4x.
（i）由题意可知：直线AB的斜率不为0，设
，
AB:x=my+n(m≠0),A(x ,y ),B(x ,y ),C(x ,y ),D(x ,y )
1 1 2 2 3 3 4 4
联立方程¿，消去x可得y2-4my-4n=0，则Δ=16m2+16n>0，可得
y + y =4m,y y =-4n，
1 2 1 2
可知直线 x -2 ，联立方程 ，消去x可得
AC:x= 1 (y-1)+2 ¿
y -1
1
y2-
4(x
1
-2)
y+
4(x
1
-2)
-8=0 ，
y -1 y -1
1 1
由题意可知： y + y =
4(x
1
-2)，即
y =
4x
1
-8
- y ，且 y2=4x ，可得
1 3 y -1 3 y -1 1 1 1
1 1
4x -8 y2-8 y -8，
y = 1 - y = 1 - y = 1
3 y -1 1 y -1 1 y -1
1 1 1同理可得： y -8，则
y = 2
4 y -1
2
y - y y - y 4 4 4[y y -(y + y )+1] 4n+4m-1
k = 3 4= 3 4 = = = 1 2 1 2 =
CD x -x y2 y2 y + y y -8 y -8 2y y -9(y + y )+16 2n+9m-4
3 4 3- 4 3 4 1 + 2 1 2 1 2
4 4 y -1 y -1
1 2
1 4n+4m-1
因为AB//CD，则k =k ，即 = ，整理可得(2m-1)(m+n-2)=0，由
AB CD m 2n+9m-4
题意可知：点T(2,1)不在直线AB:x=my+n上，则m+n≠2，即m+n-2≠0，可得
1 1
2m-1=0，即m= ，所以直线AB的斜率k = =2；
2 AB m
4
（ii）由（i）可知：y + y =2，则AB的中点M(a,1)，又因为k = =2，即
1 2 CD y + y
3 4
y + y =2，则CD的中点N(b,1)，
3 4
即直线MN:y=1，由梯形的性质可知：直线AD与BC的交点即为直线AD与MN的交点，
y - y y - y 4
因为直线 的斜率 k = 1 4= 1 4 = ，则直线 y + y ，
AD AD x -x y2 y2 y + y AD:x= 1 4(y- y )+x
1 4 1- 4 1 4 4 1 1
4 4
令y=1可得
y -8 y (y -8)
y + 2 - 1 2
y + y y2 y + y - y y 1 y -1 y -1 7(y + y )-6 y -8 14-6 y -8 3
x= 1 4(1- y )+ 1= 1 4 1 4= 2 2 = 1 2 2 = 2 =-
4 1 4 4 4 4(y -1) 4(y -1) 2
2 2
即直线 与直线 的交点为 ( 3 )，所以直线 与 交于定点 ( 3 ).
AD MN H - ,1 AD BC H - ,1
2 2
（2）当l 不经过点Q时，|AB|=2|QM|等价于QA⊥QB，即k ⋅k =-1．因为l 分
1 QA QB 1
别交C于A，B两点，所以 不平行于x轴，设 ， ， ，
l l :x=my+2m+5 A(x ,y ) B(x ,y )
1 1 1 1 2 2，联立 与C方程，得 ，
Q(x ,y ) l y2-4my-8m-20=0
0 0 1
且 ，由韦达定理，得 ，
Δ=16m2+4(8m+20)=16(m2+2m+5)>0 y + y =4m
1 2
y y =-8m-20，
1 2
y - y y - y -4
又 k = 1 0= 1 0 = ，同理 4 ，所以
QA x -x y2 y2 y + y k =
1 0 1- 0 1 0 QB y + y
2 0
4 4
16 ，所以 ，代入整理得
k ⋅k = =-1 y y + y (y + y )+ y2+16=0
QA QB (y + y )(y + y ) 1 2 0 1 2 0
1 0 2 0
，要使该式恒成立，则 ，解得 ，又经检验，当 经过
4m(y -2)+ y2-4=0 ¿ y =2,x =1 l
0 0 0 0 1
点Q时，|AB|=2|QM|仍然成立，所以存在定点Q(1,2)使得|AB|=2|QM|；因为
l 分别交C于A，B两点，
2
1 2
所以l 不平行于x轴，且m≠0，又因为l ⊥l ，设l :x=- y+ +1，D(x ,y )，联立l
2 2 1 2 m m 3 3 2
4 8
与C方程，得y2+ y- -4=0，
m m
1 2 y + y 2
且Δ=16( +1) >0，所以m≠-1；因为N为QD中点，所以y = 0 3=- ，且
m N 2 m
y + y ，所以 1 | 1|，所以
y = 1 2=2m S +S = ⋅|OF|⋅|y - y |= m+
M 2 1 1 2 M N m
| 1| 1 ，当 时取到等号，所以折线 围成面积
S= m+ =|m|+ ≥2 m=1 O-M-F-N-O
m |m|
的最小值为2，即S +S 最小值为2．
1 2
19.
Ⅰ. （1）因为f (x)=ex+sinx-xcosx-1，所以f'(x)=ex+cosx+xsinx-cosx=ex+xsinx>0 ( x∈ [ 0, π])，
2
∴f (x) 在 x∈ [ 0, π
2
]上单调递增又 ∵f (0)=0,f ( π
2
)=e π 2 ， ∴f (x) 的值域是[
0,e
π
2
].
（2）方法一：①当a≤0时，
f (x)=ex+sinx-axcosx-1≥sinx-axcosx≥0在x∈ [ 0, π] 上恒成立，
2
②当0(1-a)cosx>0 ( x∈ [ 0, π])
2
[ π]
∴f (x)在x∈ 0, 上单调递增，∴f (x)≥f (0)=0成立.
2
③当 时，令 ，则
a>2 g(x)=f'(x)=ex+cosx+axsinx-acosx
，
g'(x)=ex+(a-1)sinx+a(sinx+xcosx)>0
[ π] [ π]
所以g(x)在x∈ 0, 上单调递增，即f'(x)在x∈ 0, 上单调递增，
2 2
π
π π ，
∵f'(0)=2-a<0,f'( )=e2 + a>0
2 2
π
∴∃x ∈ ( 0, ) 使得当x∈(0,x )时f'(x)<0，故f (x)在x∈(0,x )上单调递减，则
0 2 0 0
，
f (x )0，所以g(x)在x∈ 0, 上单调递增，即
2
[ π] [ π]
f'(x)在 0, 上单调递增，∴f'(x)≥f'(0)=2-a≥0，即f (x)在 0, 上递增，则
2 2f (x)≥f (0)=0成立.综上所述，若函数f (x)≥0恒成立，则a≤2.
方法二
当 x=0 时， f (0)=0 成立，当 x= π时， f ( π )=e π 2 ≥0 成立，当 x∈ ( 0, π )时，
2 2 2
ex+sinx-1 ex+sinx-1
a≤ 恒成立，令g(x)= ，则a≤g(x) ，又
xcosx xcosx min
ex+sinx-1 x+sinx
∵ex-1>x∴g(x)= > ，令
xcosx xcosx
x+sinx (1+cosx)⋅xcosx-(x+sinx)(cosx-xsinx)，
h(x)= ,h'(x)=
xcosx x2cos2x
π
( )
∵当x∈ 0, 时，x>sinx，
2
sinx+x2sinx-sinxcosx sinx(1-cosx)+x2sinx
， 在
∴h'(x)> = >0 ∴h(x)
x2cos2x x2cos2x
π
( )
0, 上单调递增.
2
lim x+sinx lim1+cosx
，，故 ，
ex+sinx-1
，又
x→0 = x→0 =2 h(x)>2 ∴g(x)= >2
xcosx cosx-xsinx xcosx
lim ex+sinx-1 lim ex+cosx
，
∵ x→0 = x→0 =2
xcosx cosx-xsinx
∴g(x) →2，故a≤2.
min
Ⅱ.
（ ） （将 瓶酒编号为 到 。用 只老鼠，编号为 到 ）
1 10 1000 0 999 10 0 9
（ ）
（2）8
解3决方46案：互斥组测试策略，采用互斥组测试（即酒瓶被划分为互不相交的组）： 第一轮
（第一天）：将 瓶酒划分为 个互斥组（每组大小尽量均匀）。每只老鼠测1.试一个组：
1000 (m)喝下该组所有酒瓶的混合液。
如果组内无毒酒，老鼠存活。
- 如果组内至少有一瓶毒酒，老鼠死亡（ 日内）。
- 第一轮结束（第一天结束时），观察老1鼠生死状态，确定死亡组（至少有一瓶毒酒）和存
活 组- （无毒酒）。 可疑酒瓶集合：毒酒一定位于死亡组中（存活组无毒酒）。设死亡组数为
，可疑酒瓶总数记2.为 。 第二轮（第二天）：使用第一轮存活的老鼠（数量为
d测试可疑酒瓶集合 。每S 只3存. 活老鼠测试 的一个子集（喝混合液）。第二天结束时k =， m根 -据 d)老
鼠生死状态确定毒酒S子集。 S
