文档内容
长沙市 2025 年新高考适应性考试数学
本试卷共5页,19小题,满分150分,考试用时120分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷
上无效.
3.请保持答题卡的整洁.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的.
1.已知 是虚数单位,则复数 的值是( )
A.1 B.-1 C.i D.
2.若空间中三条不同直线 满足 ,且 ,则直线 与直线 必定( )
A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面
3.已知角 的顶点与坐标原点重合,始边与 轴的正半轴重合,终边经过点 ,则
( )
A. B. C. D.
4.已知函数 的图象如下图所示,则其导函数 的图象可能是( )
1
学科网（北京）股份有限公司5.若 在区间 上是增函数,则 的最大值是( )
A. B. C.1 D.
6.在 中, .若 于 ,则 ( )
A. B.
C. D.
7.已知抛物线 上两点 满足 ,若线段 的中点 的纵坐标的
最小值为4,则 ( )
A.2 B.4 C.5 D.6
8.已知函数 若 在 存在最小值,则实数 的
取值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题
目要求,全部选对的得6分,选对但不全的得部分分,有选错的得0分.
9.为了解某种新产品的加工情况,并设定工人每天加工该产品的最少数量.相关部门从工厂随机
抽查了100名工人在某天内加工该产品的数量.现将这些观测数据进行适当分组后(每组为左闭
右开的区间),绘制出如图所示的频率分布直方图,则( )
2
学科网（北京）股份有限公司A.样本观测数据的极差不大于50
B.样本观测数据落在区间 上的频率为0.025
C.样本观测数据的平均数大于中位数
D.若将工人每天加工产品的最少数量设为55,估计80%的工人能完成任务
10.已知 是等比数列 的前 项和,满足 成等差数列,则( )
A. 成等比数列 B. 成等差数列
C. 成等比数列 D. 成等差数列
11.已知函数 的定义域为 ,若存在常数 与 ,且 ,使得任意 ,恒有
,则称函数 是广义周期函数.下列说法正确的有( )
A.一次函数 ( 为常数)是广义周期函数
B.若 是广义周期函数,则存在实数 ,使得 是周期函数
C.若 有两个不同的对称中心,则 是广义周期函数
D.若 与 都是广义周期函数,则 也是广义周期函数
三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.
12.已知长为2的线段 的两个端点 和 分别在 轴和 轴上滑动,则线段 的中点的轨
迹方程是 .
13.如图所示,将一个圆心角为 的扇形纸板 剪掉扇形 ,得到扇环 ,现将扇
环 围成一个圆台.若 ,则该圆台的体积为 .
3
学科网（北京）股份有限公司14.在 中,角 所对的边分别为 ,且外接圆半径为 ,则 的
最大值为 .
四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
甲同学计划去参观某景点,但门票需在网上预约.该同学从第一天开始,每天在规定的预约时间
段开始预约,若预约成功,便停止预约；若连续预约三天都没成功,则放弃预约.假设该同学每天
预约门票成功的概率均为0.7,
(1)求甲同学到第三天才预约成功的概率；
(2)记 为甲同学预约门票的天数,求 的分布列和期望 .
16.(本小题满分15分)
4
学科网（北京）股份有限公司如图,在平行六面体 中, ,且 ,
设 与 的交于点 .
(1)证明: 平面 ;
(2)若 ,且 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
5
学科网（北京）股份有限公司17.(本小题满分15分)
已知函数 ,其中 .
(1)若 在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为 ,求 的值；
(2)若 是 的极小值点,证明: .
6
学科网（北京）股份有限公司18.(本小题满分17分)
已知椭圆 的左顶点为 ,焦距为 ,且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点,点 为 的外心.
(i)若 为等边三角形,求点 的坐标;
(ii)若点 在直线 上,求点 到直线 的距离的取值范围.
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学科网（北京）股份有限公司19.(本小题满分17分)
已知无穷数列 满足 .对于集合 ,定义 若 ,则 ;若
,则 .
(1)若 ,求集合 ;
(2)若 ,集合 ,且 ,求 中元素个数的可能值；
(3)若 ,集合 ,对任意的 ,满足 ,
且 ,证明: .
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