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数学试题参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
C A B C B D A B AC BCD AC
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1． 答案：C
解析： ．故选C．
2． 答案：A
解析：易知 ， ，∴ ，故选A．
3． 答案：B
解析： ，∴ ，∵ ，∴等比数列 的公比为2，
∴ ，故选B．
4． 答案：C
解析： ，则 组的频率为 ，
∴第 百分位数为 ，故选C.
5. 答案：B
解析：记坐标原点为 ，过点 作 ，垂足为 ．由已知及抛物线定义可得，
，∴△ 为等边三角形， ，又∵ ，∴
，则 ．∴ ，解得 ，故选B．
6． 答案：D
解析：对于选项A，取 代入得 ，取 代入得 ，矛盾，故不存在函数 满
足；同理，不存在函数 满足B，C；
对于选项D， 为增函数，∴对任意 都有唯一的 满足，则 即可
故选D.
7．答案：A
解析： ，
故 ， ，∴ ，
又 ，则 ，∴ ，故选A．
8． 答案：B
解析：方法1：设 ， ， ．
则 是方程 的解， 是方程 的解．
∵函数 ， 均为增函数，
且 ，故 ，∴ ．
∴ ，故选B．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司方法2：∵ ，直线 斜率为 ，设 ， ，则
，∴对任意 有： ，
∴ ，即 ，故选B．
方法3：∵ ，
∴将点 ，向左平移1个单位，再向上平移单位，得到点 ，
点 在函数 图象上，且直线 的斜率为 ，易得斜率为 的直线与函数
图象只有一个交点，∴点 与点 重合，∴ ，故选B．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 答案：AC
解析：∵ ，∴ ，又∵ ，∴ ，
∴ ，周期 ，故选项A正确； ，故选项 B错误；
∵ ，∴ ，故选项C正确；
不为偶函数，故选项D错误. 故选AC.
10．答案：BCD
解析：∵ ，∴ ，
故选项A错误；
∵ ， ，∴ ， ，故 ， 互为对立，故选项B正确；
，故选项C正确；
，故选项D正确. 故选BCD.
11．答案：AC
解析： 为函数 的零点，
若 ，当 时， ，则 ；当 时， ，则 . 所以
时， ，即 ， ，故选项A正确；
由A可知 ， ，∴ 在区间 和
递增，在区间 递减， 为 的极小值点，故选项B错误；
对于选项C：由B可知， 为 的极大值点，要使方程 有 个不同的实数根，
则 ，解得 ，故选项C正确；
对于选项D：
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司， ，
∴ 恒成立，
显然当 时，成立；
显然当 时，不恒成立；
∴当 时，即 恒成立，
∴ 恒成立，
∴ 或 ，故选项D错误，故选AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．答案：5
解析：方法1：易知 ，∵ ， ，∴ 的面积为 .
方法2：当点 为坐标原点时， ，∴ ， 的面积为 ，故填5.
13．答案：
解析：由双曲线定义： ，即 ，
又 ， ，∴ ， ，故填 .
14．答案：
解析：设扇形面积为 ,圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
则由等面积法，该圆锥的内切球半径 ，
易知， ，即 ，记 为定值，
方法1：∵
，即 ,
当且仅当， ，即 时等号成立，
当圆锥的内切球体积最大时，即圆锥的内切球半径 最大时，
易知当 最大时， ，故填 .
方法2：∵ ，
令 ，则 ，
令 ，即 ，解得 ,
∴ ，即 ，
∴易知当 时，即 时， 取得最大值，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴当 最大时，即 最大时， ，故填 .
四、解答题：共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 解：（1）方法1：由正弦定理得， ，
∴ ， …………………………………2
分
又 ，∴ ，
∴ ， ……………………………………………………………………4
分
由正弦定理得， ，∴ ， ， 成等差数列. …………………………………………5
分
正弦定理，正弦和角公式化解2分，化解得 2分，结论1分
方法2：由余弦定理，
， ，
∴ ， ………………………………………………………………2
分
∴ ． ……………………………………………………………………………………4分
∵ ，∴ ，即 ， ， 成等差数列． …………………………………………………5
分
余弦定理角化边2分，化解得 2分，结论1分
（2）∵ ，∴ ； …………………………………………6
分
由余弦定理得: ，
∴ .
∴ .
化简得 ， ………………………………………………………………11
分
即 ，
∵ ，故 ，∴ . ………………………………………………………13
分
代入面积公式1分，余弦定理化解得到 5分，具体过程酌情给分，
求值以及结论2分.
直接用海伦公式，秦九韶面积公式酌情给分.
将A视为B，C为焦点的椭圆上一点，根据几何意义求解，酌情给分.
16．解：（1）当 时， ，则 ， ……………………………2分
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，切点为 ，切线斜率为 ，
∴切线方程为 ，整理得， .……………………………………………5
分
求导2分，整理得到切线方程3分（其中切点1分，切线斜率1分）
（2） ，∵ 为增函数，∴ 恒成立， …………6
分
翻译条件为 恒成立1分
方法1：令 ， ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， 取得极小值，也是最小值，∴ ， …………………10分
令 ，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
又 ， ， ， ， …………………14分
∴ . ………………………………………………………………………………………15分
单调性，极小值分析4分， 单调性分析4分，结论1分.
方法2：∴ ， ，解得 ，……………………8分
∵ ，∴ ，或 ， …………………………………………………………………………10
分
当 时， ，易知 ，不符题意；…………………………………12分
当 时， ，设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当 时， 取得极小值，也是最小值，∴ ，符合题意； ……………………14分
∴ . ………………………………………………………………………………………15分
必要性探路得 2分，分析判断得 ，或 2分，验证 2分，
验证 2分，结论1分.
若由 ， ， 直接得 ，再去验证 ，酌情给分.
17．解：（1）易知三棱锥 的表面积为 ，
∵ ，∴当 的面积最大时，三棱锥 的表面积最大，
此时，由 可知 ，即 ，同理 …2分
分析推理得到 ， 2分，具体过程酌情给分
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A'
D
A
O M
C
B
方法1：设 为 在底面 的射影， 为 中点，连接 ， ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ ，又∵ ， 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，又∵ 平面 ，∴ ， ………………………………………4
分
又∵ ，∴ ，即 在 的角平分线上，
同理， 在 的角平分线上，∴ 为等边 的重心． ………………………………5分
∴ ， ， ，
∴三棱锥 的体积为 . ……………7分
确定 的位置3分（其中证明 2分），具体过程酌情给分；体积计算2分
方法2：设 为 中点，∵ ， 均为等边三角形，
∴ ， ，∵ ，∴ 平面 ，…………………………5分
在 中， ，则 ，
∴ 底边 上的高为 ，∴ 的面积为 ，
∴ ， ……………………………7分
证明 平面 3分，体积计算2分.
（2）方法1：
如图所示，以 为原点，分别以 ， ， 所在方向为 轴、 轴、 轴正方向，建立空间直
角坐标系，则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， …………………………………………………9分
z
A'
P
建系正确给1分，点和向量1分
D
Q
A
O M y
C
x B
设 （ ），设 ，则 ，
∴ ， ， …………………………………10分
设平面 的一个法向量为 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则有 即
令 ，则 ， ，∴ ， …………………………………………12分
易知平面 的一个法向量为 ， ………………………………………………………13分
∴ ， 解得 ，
∴ . ……………………………………………………………………………………………15分
写出 点和 坐标1分，平面 法向量2分，平面 法向量1分，求解以及结论2分
若有其他建系方法，仿照上述方案给分
方法2：
如图，过 作 垂直 于 ，∴ ， 平面 ，
过 作 垂直 于 ，则 ， ， ，
∴ 平面 ，∵ 平面 ，∴ ，
∴ 为二面角 的平面角， ……………………………………………………………11
分
∴ ， ， ………………………………………………………………12
分
不妨设 （ ），则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，解得 ，
∴ . ……………………………………………………………………………………………15分
几何法说明二面角 的平面角为 4分，求解以及结论4分，具体过程酌情给分.
18．解：（1）当直线 与 轴垂直时，联立直线 与 的方程，
即 解得 ，不妨设 ， ． …………………………………2
分
易知圆心 在 轴上， ，设 ，
∴△ 的外接圆半径 ．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司∴ ，解得 ，∴ ， ………………………………………………4分
∴圆 的方程为 . ……………………………………………………………………5分
联立直线 与 的方程2分，由 解得 坐标和圆 半径2分，结论1分
（2）当直线 与 轴重合时无法构成三角形；
设 ， ，
联立 与 的方程
， ……………………………………………………………7分
联立 与椭圆方程，写出韦达定理2分.
方法1：
则 的中垂线 ，
又 ，得 ，
同理， 的中垂线 ． …………………………………………………………9分
联立直线 ， ，
由①－②可得， ， …………………………………………………………………………11分
将 代入①＋②可得， ，
∴ ， ……………………………………………………………………………………13分
∴ ，
令 ，
∴ ， ……………………16分
当 ，即 时，△ 的外接圆半径最大，为 ．
此时，△ 的外接圆面积最大，为 ． …………………………………………………17分
求出 ， 的中垂线方程 ， 2分，联立 ， 解得 坐标4分（其中横坐标、纵坐标各2
分），
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司化解求出 的表达式3分，结论1分
方法 2： ， ………9
分
， ，
，
， …………………………………13分
∴ ，
由正弦定理得： ，
令 ，则 ， …………16分
∴ ，当 时等号成立，
∴外接圆的面积的最大值为 . …………………………………………………………………17分
写出 的表达式2分，写出 的表达式4分，化解求出 的表达式3分，结论1分
方法3：
设圆
联立 ………………………9分
，
所以 ，
解得 ，即 ， ……………………………………………13分
设 ，则有 ，即 ，消去 得
所以 ， …………………………16分
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 ，即 时， ，此时，△ 的外接圆面积最大，为 ． …17分
联立直线 与圆 的一般式2分，写出 坐标4分，化解求出 的表达式3分，结论1分
19．解：（1）由题意， ： ， ， ， ，
即3，3，4，4． ……………………………………………………………………………2
分
∴ ．…………………………………………………………………………3分
写出 2分，求 1分
（2）由题意，由于 中元素两两互异，故 中的任一元素，如 ，在 中至多在
和 中出现两次（规定 ， ），且若出现两次则这两个数处于邻位（ 和
也 视 为 邻 位 ） ．
…………………………………………………………………………………………5分
∴ 的所有项中至多有两个5和两个4．…………………………………………………………6分
∴ ，………………………………………………………………………7分
当 满足 时等号能取到，
∴ 的最大值为21．（给出任意一种排列即可） ……………………………………………9
分
说明 中元素在 中至多出现两次2分，求出 的最大值2分，
给出取得最大值的一种排列2分.
（3）同（2）可知， 中的任一元素若在 中仅出现一次，则在 中至多出现两次；若在 中
出现两次，由于这两个数相邻，故在 中至多出现三次．…………………………………………10分
（i）若 ，则 ，……………………………11分
当 满足 时等号能取到．…………………………………12
分
（或 ，或 ）
（ii）若 ，则 ．………………13分
当 满足 时等号能取到．…………………………………14分
（iii）若 ，则 ．…………15分
当 满足 时等号能取到．…………………………………16
分
（或 ）
综上， 的最大值为 ．…………………………………17
分
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司说明 中的任一元素在 中至多出现三次1分， ， ， 每种情况2分，
结论1分
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