数学参考答案第1页（共9 页）
绝密★启用前
数学参考答案
1.【答案】C
【解析】∵
{ | 1
3}
M
x
x
≤
≤
，
{ |
0}
N
x x
，∴
{ | 0
3}
M
N
x
x
≤
，所以C 正确.
2.【答案】B
【解析】∵
1 2i
z
是方程的一个根，则
1
2i
z
也是该方程的一个根，∴
1
2i
1
2i=2
2
a
a
，
，
(1 2i)(1
2i)=5
b
，
3
a
b
，所以B 正确.
3.【答案】B
【解析】取1l 上两点
(1,0)
A
，
(0,1)
B
，则
( 1,1)
AB
可以作为1l 的一个方向向量.设
( , )
PQ
m n
为2l 的方向向
量，∵1
2
l
l
，∴
0
AB PQ
，
0
m
n
，即m
n
，所以B 正确.
4.【答案】A
【解析】∵
2
1
e
cos
x
y
x
，∴曲线
e
tan
x
y
x
在
0
x
处的切线的斜率为2，即tan
2
.
又∵1 sin 2
cos2
2
(sin
cos )
sin
cos
tan
1
3
(cos
sin )(cos
sin )
cos
sin
1
tan
，所以A 正确.
5.【答案】B
【解析】设圆台的上，下底面半径分别为r ，R ，则2
2
r
且2
4
R
，即圆台的上，下底面半径分别为1，
2 .如图∵
0
AD BC
，∴
2
DOC
AOB
，
由2
2
4
OC
，2
4
4
OB
得
4
OC
，
8
OB
，
即圆台的母线
4
BC
.∴圆台的高
15
h
，圆台的体积
15
7 15
(
4 )
3
3
V
，所以B 正确.
6.【答案】A
【解析】∵函数
3
( )
ex
f x
a
x
在(0,
)
单调递增，∴
2
( )
e
3
0
x
f
x
a
x
≥
，即
2
3
ex
x
a≥
在(0,
)
上恒成立.
令
2
3
( )
ex
x
h x =
，由
3 (2
)
( )
0
ex
x
x
h x
=
，得0
2
x
，∴( )
h x 在(0,2) 单调递增，在(2,
)
单调递减，∴
2
12
(2)
e
a
h
≥
是函数
3
( )
ex
f x
a
x
在(0,
)
单调递增的充要条件.所以A 正确.
7.【答案】A
【解析】设( )
( )
2
2
2
x
x
g x
f x
，则( )
g x 是R 上的奇函数且单调递增，∵
2
( ln )
(
)
0
g x
x
g
x
ax
，
A
B
C
D
O
数学参考答案第2页（共9 页）
∴
2
( ln )
(
)
g x
x
g x
ax
，
2
ln
x
x
x
ax
，∴
ln
a
x
x
在(0,
)
上有解，设( )
ln
h x
x
x
，
1
( )
x
h x
x
∴
( )
ln
h x
x
x
在(0,1) 单调递增，在(1,
)
单调递减，即
max
( )
(1)
1
h x
h
，∴
1
a ，所以A 正确.
8.【答案】D
【解析】如图
1
2
|
| |
|
MF
MF
，|
| |
|
NP
NH
r
，|
| |
|
MP
MQ
，
2
2
|
| |
|
HF
QF
，∵|
| |
|
|
|
NP
NM
MP
，
2
2
|
| |
|
|
|
NH
NF
HF
，
∴
2
2
|
|
|
| |
|
|
| (|
|
|
|)
NP
NH
NM
NF
MP
HF
，
即
2
2
2
|
|
|
|
|
|
r
NM
NF
MF
，
2
1
2
|
|
|
|
|
|
r
NM
NF
MF
，
2
1
2
1
2
|
|
|
| (|
|
|
|) |
|
|
| 2
r
NM
NF
NF
NM
NF
NF
a
，
∴a
r
，
∴
1
|
|
NF
a
，
2
1
|
| |
| 2
3
NF
NF
a
a
.∵在直角
1
2
F NF
△
中有
2
2
2
1
2
1
2
|
|
|
|
|
|
NF
NF
F F
，∴
2
2
10
4
a
c
，即C 的
离心率
10
2
e
.所以D 正确.
9.【答案】AB
【解析】由图像可得
2
A
，∵4
9
18
T
，
2
3
T
，∴
3
，又
( )
2cos(
)
0
9
3
f
，∴
2
3
2
Z
k
k
，(
且|
|
)
2
，∴
6
即( )
2cos(3
)
6
f x
x
.∴A 正确.
∵
4
3
(
)
2cos(3
)
2sin3
9
2
f x
x
x
，∴B 正确. ∵2
3
2
6
k
x
k
k
Z
≤
≤
，
，当
1
k
时，
5
11
18
18
x
≤≤
，∴C 错误.将
( )
f x 图象上所有点的横坐标变为原来的3 倍，得到函数
2
2cos(
)
2sin(
)
2sin(
)
6
6
2
3
y
x
x
x
，∴D 错误.
10.【答案】ACD
【解析】∵
3
2
3
2
(
)
|
|
(
)
|
| 1
|
|
( )
|
| 1
( )
f
x
a
x
x
x
a x
x
x
f x
，∴
)
(x
f
是偶函数，其图象关于
0
x =
O
y
x
F1
F2
N
M
P
Q
H
数学参考答案第3页（共9 页）
对称，∴A 正确.当
0
a =
时，∵
2
2
1
0
( )
1
0
x
x
x
f x
x
x
x
，≥，
，
在(
,0)
单调递增，在(0,
)
单调递减，无极小值，
∴B 错误.当
0
x =
时，
(0)
1 >0
f
，aR ①.当
0
x
时，
2
3
1
( )
0
x
x
f x
a
x
≥
≥
，令
2
3
1
( )
x
x
h x
x
=
，
2
4
4
2
3
(
1)(
3)
( )
0
x
x
x
x
h x
x
x
=
，∴( )
h x 在(0,1) 单调递增，在(1,
)
单调递减，∴( )
(1)
1
h x
h
≤
=
，
即
1
a≥②.又∵
(0)
1 >0
f
，且
( )
f x 是偶函数，∴综合①②知当xR 时，若
( )
0
f x ≥
，则
1
a≥，∴C 正确.
当
0
x
时，( )
h x ，当
1
x
时，( )
1
h x ，当x 时，( )
0
h x
，即当
0
x
，0
1
a
时，
( )
f x 有
2 个零点.∴根据对称性知当0
1
a
时，
( )
f x 有4 个零点，即D 正确.
11.【答案】BC
【解析】∵
2
2
2
AC
BC
AB
，∴
ABC
△
的外接圆半径为
2
2
AB
r
，∴三棱柱
1
1
1
ABC
A B C
的外接球半径
2
2
2
2 2
R
r
，∴A 错误.如图
2
2
2
,
,
A B C 分别是
1
1
1
,
,
AA BB CC 的中点，
则以
2
2
A B 的中点为球心，半径为2 的球满足题意，∴B 正确.∵BE
BF
，
设EF 的中点为N ，∴在直角三角形EBF 中，
1
20
2
2
BN
EF
，即EF 的
中点在以B 为球心，半径为
20
2
的球面上，∴C 正确.
过点F 作
1
/ /
FP
BC
FP
CC
P
，
，由题易知
2 3
FP
BC
FP
，
平面
1
1
AAC C ，∴FP
PE
，
2
2
2 2
PE
EF
PF
，在直角三角形PEC 中有
1
2
2
CM
PE
，∴点M 在以C 为圆心，半径
为
2 的圆上.当点E 与A 重合时，点F 与
2
B 重合，此时点M 与
1
M 重合.当点E 与C 重合时，点M 与
2
M 重合，
2
M 在线段
2
CC 上.
∵
1
2
4
M CM
，∴
1
2
2
4
M M
，即点M 的轨迹长为
2
4 .
∴D 错误.
12.【答案】14
【解析】将这10 次成绩从小到大的顺序排列如下：8，9，10，11，12，12，13，14，15，16，∵10 75%
7.5
∴该组成绩的上四分位数为排序后的第8 个数字14.
13.【答案】20
A1
B1
C1
A2
B2
C2
A
B
C
E
F
P
M
C2
A
C
M1
M2
数学参考答案第4页（共9 页）
【解析】∵3
729
n
，∴
6
n
，则
6
(
2 )
x
y
的二项展开式通项为
6
6
1
6
6
C
( 2 )
C ( 2)
r
r
r
r
r
r
r
rT
x
y
x
y
，
.∴6
r
r
，
3
r
，∴(
2 )n
x
y
的二项展开式中含
*
(
)
p
p
x y
p N
项的二项式系数为
3
6
C
20
．
14.【答案】
]
0
3
[
，
【解析】
2
2
2
2
4
4
sin
3cos
3
2sin
( )
2cos2
2
4sin
sin
sin
x
x
x
f
x
a
x
a
x
x
x
令
2
sin
t
x
，∵
)
2
π
0
( ，
x
∴
(0,1)
t
，
设
2
3
2
( )
2
4 ,
(0,1)
t
g t
a
t t
t
，
3
2
3
3
3
6
2
4
6
2
2(
1)(2
2
3)
( )
4
t
t
t
t
t
t
g t
t
t
t
，
∵
(0,1)
t
，∴
( )
0
g t
，∴( )
g t 在(0,1) 上单调递减，∴( )
(1)
3
g t
g
a
.
(1)当
3
0
a ≥
即
3
a
≥
时，
( )
( )
(1)
3
0
f
x
g t
g
a
≥
，
x
x
x
ax
x
f
2
sin
sin
cos
)
(
3
在
)
2
π
0
( ，上单调递增，
π
π
( )
( )
0
2
2
f x
f
a
≤
即当
]
0
3
[
a
，
时满足题意.
(2)当
3
0
a
即
3
a 时，(1)
3
0
g
a
，当
0
t
时，( )
g t ，∴
0
(0,1)
t
，使得
0
( )
0
g t
.即存在
0
(0,
)
2
x
使得
2
0
0
sin x
t
，且满足
x
x
x
ax
x
f
2
sin
sin
cos
)
(
3
在
)
,0
(
0x
上单调递增，在
)
2
π
(
0，
x
上单调递减，不满足题意.
综上所述满足题意的实数a 的取值范围是
]
0
3
[
，
.
15.（13 分）
【解析】(1)∵
2
cos2
1 2sin
B
B
，
∴
2
2
2
sin
1 2sin
sin
1
A
B
C
，即
2
2
2
sin
sin
2sin
A
C
B
. …………………………………………………1 分
∵在
ABC
△
中由正弦定理得sin
2
a
A
R
，sin
2
b
B
R
，sin
2
c
C
R
，R 为
ABC
△
外接圆半径.
∴
2
2
2
2
a
c
b
①.…………………………………………………………………………………………………………2 分
又∵a ，b ，c 成等比数列，∴
2
b
ac
②. ……………………………………………………………………………4 分
由①②得a
b
c
，则A
B
C
，
∵A
B
C
，∴
π
3
B
. ……………………………………………………………………………………………6 分
(2)由(1)得
3
BAC
ABC
ACB
.
∵
2
sin
a
R
BAC
，∴
2 3
3
2 sin
2
2
3
2
a
R
BAC
，∴
2
a
b
c
. ………………………………7 分
∴在
BCD
△
中，
2
BC
BD
，
2
3
CBD
，
2
2
2
2
2
cos
12
3
CD
BD
BC
BC
BD
，
∴
2 3
CD
.
数学参考答案第5页（共9 页）
∴
1
1
3
sin
2 2
3
2
2
2
BCD
S
BC
BD
CBD
△
. ………………………………………………………9 分
设
BCD
△
的内心为P ，内接圆半径为r ，
则
1
1
1
1 (
)
2
2
2
2
BCD
BCP
BDP
CDP
S
S
S
S
BC
r
BD
r
CD
r
BC
BD
CD r
△
△
△
△
，
即
1
1
(
)
(2
2
2 3)
(2
3)
2
2
BCD
S
BC
CD
BD r
r
r
△
. …………………………………………………11分
∴(2
3)
3
r
，
2 3
3
r
.
… … …………………………………………………………………………………13 分
16.（15 分）
【解析】(1)连接BD ，AC
BD
O
，连接OP ，
∵四边形ABCD 为菱形，
∴AC
BD
，O 为AC ，BD 的中点.
∵AP
PC
，∴OP
AC
，……………………………………1 分
∵平面APC 平面ABCD ，平面APC 平面ABCD
AC
，
OP 平面APC ，
∴PO 平面ABCD ，……………………………………………………………………………………………………2 分
∴OB ，OC ，OP 互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，
∴
( 3,0,0)
B
，
(
3,0,0)
D
，
(0,1,0)
C
，
(0 0
3)
P ，，
，
1
3
(0
,
)
2
2
E
,
，
1
3
(0
,
)
2
2
F
,
，
∴
1
3
3
0 1 0
0 1
3
3
1 0
2
2
BF
,
,
,EF
, ,
,PC
, ,
,CD
,
,
（
）
（
）
（
-
）
（-
）.………………………………………3 分
设平面BEF 的法向量为
1
1
1
( ,
,
)
x y z
m
，则
0
0
BF
EF
，
，
m
m
即
1
1
1
1
1
3
3
2
2
0
x
y
z
y
+
= 0，
，
令
1
1
x ，则
1
0
y
，
1
2
z
，
即平面BEF 的一个法向量为
(1,0,2)
m
，
……………………………………………………………………………5 分
设平面PCD 的法向量为
2
2
2
(
,
,
)
x
y
z
n
，则
0
0
PC
CD
，
，
n
n
即
2
2
2
2
3
3
0
y
z
x
y
= 0，
，
令
2
1
x ，则
2
3
y
，
2
1
z ，
即平面PCD 的一个法向量为
(1,
3, 1)
n
，…………………………………………………………………………7 分
∴
|
|
1
| cos
,
|
|
|
5
m n
m n
m |
n |
，
∴平面BEF 与平面PCD 的夹角的余弦值为1
5
．………………………………………………………………………8 分
(2) ∵PM
PD
，由(1)知
(
3 ,0, 3
3 )
M
，
(0, 1,0)
A
∴
(
3 , 1, 3
3 )
CM
，
(
3 ,1, 3
3 )
AM
．………………………………………………………10 分
A
B
C
D
P
E
F
O
x
y
z
数学参考答案第6页（共9 页）
∵平面BEF / / 平面AMC ，
∴
0
0
AM
CM
，
，
m
m
即
3
2( 3
3 )
0
，
∴
2
(0,1)
3
，即
2
3
PM
PD
．………………………………12 分
∴
2
2
3
3
P ACM
M
PAC
D PAC
P ACD
V
V
V
V
，
又∵
1
1
1
2
3
3
1
3
3
2
P ACD
ACD
V
S
OP
△
．
∴三棱锥P
ACM
的体积为2
3
. ………………………………………………………………………………………15 分
17.（15 分）
【解析】（1）由题知
1
2
n
n
a
a
，即
1
2
n
n
a
a
，
∴数列{
}
na
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
∴
2
2(
1)
2
na
n
n
.
………………………………………………………………………………………………3 分
∵
1
2
n
n
b
b
，即
1
2
n
n
b
b
，
∴数列{ }
nb
是以2 为首项，2 为公比的等比数列，
∴
1
2 2
2
n
n
nb
.
……………………………………………………………………………………………………6 分
（2）∵
1
2
1
3
2
1 2
1
n
n
n
n
n
n
c
a b
a b
a b
a
b
a b
，
1
2
2
2 1 2
2 2 2
2 3 2
2 (
1)2
2
2
n
n
n
nc
n
n
，
1
1
3
2
1 2
2 2
3 2
(
1)2
2
n
n
n
nc
n
n
，
由
1
1
3
2
1 2
2 2
3 2
(
1)2
2
n
n
n
nc
n
n
①，…………………………………………………………9 分
得
1
2
2
1
1
1 2
2 2
3 2
(
1)2
2
2
n
n
n
nc
n
n
②，
①-②得
1
1
2
3
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
n
n
n
n
nc
n
，
∴
3
2
4
8
n
nc
n
，
4
1
2
4
12
n
nc
n
. …………………………………………………………………………12 分
假设存在p ，q 使得
1
n
n
c
pc
q
，即
4
3
2
4
12
2
4
8
n
n
n
p
pn
p
q
，
∴
2,
1,
8
12
p
p
q
p
无实数解，即假设不成立.
∴数列{ }
nc
不是“ p
q
数列”．…………………………………………………………………………………………15 分
18.（17 分）
【解析】(1)(ⅰ)根据题意知X 可以取的值有1，2，3，4，
A
B
C
D
P
E
F
O
x
y
z
M
数学参考答案第7页（共9 页）
∴
1
(
1)
5
P X
，
4 1
1
(
2)
5 4
5
P X
，
4 3 1
1
(
3)
5 4 3
5
P X
，
4 3 2
1
1
2
(
4)
(
)
5 4 3
2
2
5
P X
，
∴
1
1
1
2
14
(
)
1
2
3
4
5
5
5
5
5
E X
.……………………………………………………………………………3 分
(ⅱ)根据题意知Y 可以取的值有2，3，
∵当
2
Y
时可以分两类，第一类：混检的3 人中有一人患病，并且在第2 次就检测出患病人员；第二类：混检3 人
均没有患病，并且在第2 次就检测出患病人员或未患病人员；
∴
1
2
3
1
4
4
3
3
5
5
CC
C
1
1
1
3
(
2)
(
)
C
3
C
2
2
5
P Y
，
1
2
1
4
3
5
CC
2
1
1
2
(
3)
(
)
C
3
2
2
5
P Y
，
∴
3
2
12
( )
2
3
5
5
5
E Y
. ……………………………………………………………………………………………6 分
(2)由题知将20000 份血样随机地按(
10)
k k ≥
份一组平均分成m 组，则Z 的可能取值为m ，m
k
，
2
m
k
，…，
m
mk
，其中每一组检测结果为阴性的概率为(1
)k
p
，检测结果为阳性的概率为1 (1
)k
p
，
∵
C
1
1
1
0,1,2,
,
i
k
m i k
i
m
P Z
m
ik
p
p
i
m
，
∴
0
C
1
1
1
m
i
k
m i k
i
m
i
E Z
m
ik
p
p
，………………………………………………………………………9 分
又∵
1
1
C
C
i
i
m
m
i
m
，
∴
(
)
1
(
)
1
0
0
( )
C
1 (1
)
(1
)
C
1 (1
)
(1
)
m
m
i
i
i
k
m i k
i
k
m i k
m
m
i
i
E Z
m
p
p
mk
p
p
1
(
)
1
(
)
1
0
1
C
1 (1
)
(1
)
1 (1
)
C
1 (1
)
(1
)
m
m
i
i
i
k
m i k
k
i
k
m i k
m
m
i
i
m
p
p
mk
p
p
p
1
1
1
1
1
1
1
1
1
m
m
k
k
k
k
k
m
p
p
mk
p
p
p
20000
1
1
20000 1
1
k
k
m
mk
p
p
k
，…………………………………………………………………11 分
∴
20000
1
20000 1
1
20000
1
1
10000
k
k
E Z
p
p
k
k
≤
，
可得
2
1
2
k
k
k
p
≤
，两边取自然对数，化简得
ln(
2)
ln2
ln 1
k
k
p
k
≤
，
……………………………………12 分
不妨设
ln(
2)
ln2
( )
10
k
k
f k
k
k
≥
，则
2
2
ln 2
ln(
2)
2
k
k
k
f
k
k
，
令
2
ln 2
ln(
2)
(
10)
2
h k
k
k
k
k
≥
，
2
2
1
1
2
4
4
0
2
(
2)
(
2)
k
h k
k
k
k
k k
，
∴
h k 在[10,
)
单调递增，
1
1
(10)
ln 20
ln12
ln5
ln3
0
6
6
h k
h
≥
，
∴
f k 在[10,
)
单调递增. ……………………………………………………………………………………………15 分
数学参考答案第8页（共9 页）
由题知k 是20000 的正因数且
10
k ≥
，
ln 1
ln 0.975
0.0253
p
，
∵
ln22 ln40
1
(20)
(ln11 2ln2 ln5)
0.0299
0.0253
20
20
f
，
ln27
ln50
1
(25)
(3ln3 ln2
2ln5)
0.0246
0.0253
25
25
f
，
∴k 的最大值为20 .………………………………………………………………………………………………………17 分
19.（17 分）
【解析】(1)设
( , )
R x y ，
0
0
(
,
)
P x
y
，则
0
(
,0)
Q x
，
∵
( 2
1)
PR
RQ
，∴
0
0
0
(
,
)
( 2
1)(
,
)
x
x
y
y
x
x
y
，即
0x
x
，
0
2
y
y
，
……………………2 分
又∵
2
2
0
0
2
x
y
，
∴
2
2
2
2
x
y
，即C 的方程为:
2
2
1
2
x
y
. …………………………………………………………………………3 分
(2)证明：∵
2
2
2
2
1
x
y
a
b
：
(
0)
a
b
，点
0
0
(
)
M x
y
，
，l 通过变换
,
:
x
x
a
y
y
b
得到
2
2
2
: x
y
a
，
0
0
(
,
)
ay
M
x
b
，l，
∴曲线
2
2
2
: x
y
a
在点
0
0
(
,
)
ay
M
x
b
处的切线为l. ……………………………………………………………4 分
当l的斜率存在时，
0
0
1
OM
bx
k
k
ay
，切线方程为
0
0
0
0
(
)
ay
bx
y
x
x
b
ay
，
0
0
0
0
(
)
ay
bx
a y
x
x
b
b
ay
，
2
0
0
0
0
0
bx
ay
bx
a y
x
b
ay
b
ay
，
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
x x
y y
x
y
a
b
a
b
，
又∵
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
，∴
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
，即切线方程为
0
0
2
2
:
1
x x
y y
l
a
b
①. …………………………………………6 分
当l的斜率不存在时，
0
0
y
，
0
x
x
，即
0
:l x
x
也满足方程①.
∴在点M 处的切线l 的方程为：
0
0
2
2
1
x x
y y
a
b
. ……………………………………………………………………7 分
(3)设3 :
l
y
kx
与
2
2
1
2
x
y
，
2
2
2(
1)
2
x
y
n
n
的一个交点分别为P ，Q ，
则
2
2
2
2
(
,
)
1 2
1 2
k
P
k
k
，
2
2
2
2
(
,
)
1 2
1 2
n
kn
Q
k
k
，
由（2）知曲线C 在点P 处的切线1
2
2
2
2
:
1
2 1 2
1 2
x
ky
l
k
k
，其斜率
1
1
2
k
k
，
曲线
2
2
2
: 2
x
E
y
n
在点Q 处的切线
2
2
2
2
2
2
:
2 1 2
1 2
nx
kny
l
n
k
k
，其斜率
2
1
2
k
k
，
∵
1
2
k
k
，
1
n
，∴1
2
/ /
l
l ②. …………………………………………………………………………………………10 分
数学参考答案第9页（共9 页）
2
2
2
2,
2
2
y
x
x
y
n
，
2
2
2
8
8
2
0
x
x
x
n
，
当
0
x
时，
2
n
，
当0
2
n
，曲线E 与曲线
2
y
x
相切时，
方程
2
2
2
8
8
2
0
x
x
x
n
只有一个零点，且
2
2
2
x
n
≤
. ……………………………………………………12 分
令
0
t
x
≥
，
4
2
2
( )
2
8
8
2
f t
t
t
t
n
，
3
2
( )
4
4
8
4(
1)(
2)
f t
t
t
t
t
t
，
( )
0
f t
的解为
1
t ，
∴
( )
f t 在(0,1) 单调递减，在(1,
)
单调递增，
2
min
( )
(1)
3
2
f t
f
n
.
∴当方程
2
2
2
8
8
2
0
x
x
x
n
只有一个零点时，必有
2
(1)
3
2
0
f
n
，
即当
2
3
(0,4)
2
n
时，曲线E 与曲线
2
y
x
相切于点
1(1, 1)
B
.
直线
1 :
OB
y
x
与曲线C 在第四象限交于点
1
6
6
(
,
)
3
3
A
，
由②知，曲线E 在
1(1, 1)
B
处的切线与曲线C 在
1
6
6
(
,
)
3
3
A
处的切线平行，…………………………………15 分
∴
2
2
1
1
6
6
3 2
2 3
|
| |
|
(1
)
( 1
)
3
3
3
AB
A B
≥
.
即|
|
AB 的最小值为3 2
2 3
3
. ………………………………………………………………………………………17 分
