文档内容
合肥七中 2025-2026 学年度第一学期高三第一次质量检测
数学试卷
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|21时，f(x)>0，f(2)＝1.
(1)证明： (x)是偶函数；
(2)证明： (x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式 (2 －1)<2.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
第15页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）令 ，求得 ，再由 ，求得 ，进而得出
，即可得到证明；
（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数；
（3）由（1）（2）可把不等式 转化为 ，进而得 ，结合
，即可求解.
【详解】(1)证明 令x＝x＝1，得f(1)＝2f(1)，
1 2
∴f(1)＝0.令x＝x＝－1，得f(－1)＝0，
1 2
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)证明 设x>x>0，
2 1
则f(x)－f(x)＝f(x· )－f(x)
2 1 1 1
＝f(x)＋f( )－f(x)＝f( )，
1 1
∵x>x>0，∴ >1.
2 1
∴f( )>0，即f(x)－f(x)>0.
2 1
∴f(x)>f(x)．
2 1
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解 ∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.
又∵f(x)是偶函数，
∴不等式f(2x2－1)<2可化为f(|2x2－1|)
