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合肥七中 2025-2026 学年度第一学期高三第一次质量检测
数学试卷
一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1. 设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（ ）
A. {x|2<x≤3} B. {x|2≤x≤3}
C. {x|1≤x<4} D. {x|1<x<4}
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
2. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】解不等式得出解集，再根据集合之间的包含关系可得出结论.
【详解】解不等式 ，可得 或 ，因为 是 或 的真子集，所
以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A．
3. 已知非零实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】举例判断选项A，B，C，作差法判断选项D.
【详解】因为 为非零实数，且 ，
所以取 ，
则 ， ，
故A，B选项不正确；
取 ，则 ，
故选项C不正确，
选项D，由 ，
因为 ，所以 ，
即 ，故选项D正确.
故选：D.
4. 已知函数 若 的值域为 ,则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别画出分段函数对应的两个函数图象，再对实数 的取值进行分类讨论即可.
【详解】根据题意可得，在同一坐标系下分别画出函数 和 的图象如下图所示：
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学科网（北京）股份有限公司由图可知，当 或 时，两图象相交，
若 的值域是 ，以实数 为分界点，可进行如下分类讨论：
当 时，显然两图象之间不连续，即值域不为 ；
同理当 ,值域也不 是；
当 时，两图象相接或者有重合的部分，此时值域是 ；
综上可知，实数 的取值范围是 .
故选：B
5. 已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据 在 上恒大于0，且单调递增，可求 的取值范围.
【详解】因为函数 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，所以 .
且 在 恒大于0，所以 或 .
综上可知： .
故选：B
6. 已知 是定义在 上的奇函数， ，恒有 ，且当 时，
，则 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据 是定义在 上的奇函数可推导出 ；用 替换 中的 ，
可求出 的周期；根据周期可得 的值.
【详解】 ， ，
用 替换 中的 得到：
，
，
的最小正周期是4，
是定义在 上的奇函数， ，
时， ， ，
， ，
，
的最小正周期是4，
，
，
.
故选：C
7. 已知函数 的定义域为R，且 ， ，则不等式 的解集为（
）
A. B. C. D.
【答案】A
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】设g（x）＝ ，根据已知条件可得函数 在定义域上单调递减，从而将不等式
转化为 的解集，从而可得出答案.
【详解】解：设 ＝ ，
则 ＝ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴y＝g（x）在定义域上单调递减，
∵
∴ ＝ ，
又 ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的解集为 ．
故选：A．
8. 设函数 ，若关于 的方程 恰好有六个不同的实
数解，则实数 的取值范围为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】画出 的图象，由图象求得 与 有 个交点时， 的取值范围.结合一元二次方
程零点分布的知识列不等式组，由此求得 的取值范围.
【详解】画出函数 的图象如下图所示，
令 ，则方程 可化为 .
由图可知：当 时， 与 有 个交点，
要使关于 的方程 恰好有六个不同的实数解，
则方程 在 内有两个不同实数根，
∴ ，
解得 ，
∴实数 的取值范围为 .
故选：B
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学科网（北京）股份有限公司二､多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．
9. 设 ，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.
【详解】A选项： ，当且仅当 时，等号成立，故A正确；
B选项： ，所以 ，当且仅当 时，等号
成立，故B错；
C选项： ，当且仅当 时，等号成立，故C正确；
D选项： ，当且仅当 ，即 ， 时，
.
等号成立，故D正确
故选：ACD.
10. 某同学根据著名数学家牛顿的物体冷却模型：若物体原来的温度为 （单位：℃），环境温度为 （
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学科网（北京）股份有限公司，单位℃），物体的温度冷却到 （ ，单位：℃）需用时t（单位：分钟），推导出函数关
系为 ，k为正的常数．现有一壶开水（100℃）放在室温为20℃的
房间里，根据该同学推出的函数关系研究这壶开水冷却的情况，则（ ）（参考数据： ）
A. 函数关系 也可作为这壶外水的冷却模型
B. 当 时，这壶开水冷却到40℃大约需要28分钟
C. 若 ，则
D. 这壶水从100℃冷却到70℃所需时间比从70℃冷却到40℃所需时间短
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，利用指对互化即可判断A；对B，将数据代入公式即得到 ；对C，根据 ，解
出 值，再代入数据即可判断；对D，分别代入公式计算冷却时间，作差比价大小即可.
【详解】对A，由 ，得 ，
所以 ，整理得 ．A项错误；
对B，由题意可知 ．
，B项正确；
对C，由 ，得 ，即 ，则 ．C项正确；
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学科网（北京）股份有限公司对D，设这壶水从100℃冷却到70℃所需时间为 分钟，则 ，
设这壶水从70℃冷却到40℃所需时间为 分钟，
则 ，
因为 ，所以 ，D项正确．
故选：BCD．
11. 设 是 的导函数， 是函数 的导函数．若方程 有实数解 ，且在
的左､右附近， 异号，则称点 为函数 的“拐点”．经过探究发现：任何一个
三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数
的对称中心为 ，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 的极小值为-4
C. 若函数 在区间 上存在最小值，则 的取值范围为
D. 若过点 可以作三条直线与 的图象相切，则 的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据已知三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心，结合求导得出函数单
调性及极值计算判断各个选项即可.
【详解】对于A，由 可得 ， ，
因为 是该函数的对称中心，依题意得， ，解得 ，故A错误；
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学科网（北京）股份有限公司对于B，由A易得 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 或 ，
则函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
故函数 在 时取得极小值为 ，故B正确；
对于C，由 ，可解得 或 .作出函数 的图象如图1，
由图知，当函数 在区间 上存在最小值时，可得 ，故C正确；
对于D，设切点为 ，由B项知，切线斜率为 ，
则切线方程为 ，即 ，
因切线经过点 ，则 ，
整理得 ，依题意，这个关于 的方程有3个不等实根.
设 ，则 ，
由 可得 ，由 可得 或 ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
故函数 在 时取得极小值 ，在 时取得极大值 .
作出函数 的图象如图2，由图知，当且仅当 时，直线 与函数 有3个交点，
即当 时过点 可以作三条直线与 的图象相切，故D正确.
故选：BCD.
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学科网（北京）股份有限公司三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若函数 有一个零点，则实数 的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】令 有 ，即 与 图的像只有一个交点，作出 的图
像，利用数形结合即可求解.
【详解】令 有 ，所以 与 图像只有一个交点，
作出 的图像，
由图可有 或 ，即 或 ，
所以 ，
故答案为： .
13. 已知直线 是曲线 与 的公切线，则 __________.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】分别设两条曲线上的切点，写出切线方程，建立方程组，解出切点，计算 .
【详解】设曲线 上切点 ， ，
切线斜率 ，切线方程 ，
即
同理，设曲线 上切点 ， ，
切线斜率 ，切线方程 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
.
所以 ， ，
故答案为： .
14. 在同一平面直角坐标系中，P，Q分别是函数 和 图象上的动点，
若对任意 ，有 恒成立，则实数m的最大值为______．
【答案】
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用同构思想构造 ，得到其单调性，得到 ，再构造
， ， 求 导 得 到 其 单 调 性 及 其 最 小 值 ， 设 设
，利用基本不等式得到 ，求出答案.
【详解】 ，令 ， ，
则
当 时， ， 单调递增，当 时， ，
单调递减，
故 在 处取得极小值，也是最小值，故 ，
故 ，当且仅当 时，等号成立，
令 ， ，
则 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，故当 时， ，当 时， ，
故 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司故 在 处取得极小值，也时最小值，最小值为 ，
设 ，
由基本不等式得，
，
当且仅当 ， ， 时，等号成立，
故 ，则 ．
故答案为：
【点睛】导函数求解取值范围时，当函数中同时出现 与 ，通常使用同构来进行求解，本题
变形得到 ，从而构造 进行求解.
四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 化简求值：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）
（2）4
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得；
（2）根据对数的运算法则及换底公式计算可得；
【小问1详解】
解：
【小问2详解】
解：
16. 已知函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，对定义域内的任意 ， 都有f( · )＝f( )＋f( )，且当
x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.
(1)证明： (x)是偶函数；
(2)证明： (x)在(0，＋∞)上是增函数；
(3)解不等式 (2 －1)<2.
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）令 ，求得 ，再由 ，求得 ，进而得出
，即可得到证明；
（2）根据函数的单调性的定义，即可证得函数的为单调递增函数；
（3）由（1）（2）可把不等式 转化为 ，进而得 ，结合
，即可求解.
【详解】(1)证明 令x＝x＝1，得f(1)＝2f(1)，
1 2
∴f(1)＝0.令x＝x＝－1，得f(－1)＝0，
1 2
∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．
∴f(x)是偶函数．
(2)证明 设x>x>0，
2 1
则f(x)－f(x)＝f(x· )－f(x)
2 1 1 1
＝f(x)＋f( )－f(x)＝f( )，
1 1
∵x>x>0，∴ >1.
2 1
∴f( )>0，即f(x)－f(x)>0.
2 1
∴f(x)>f(x)．
2 1
∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)解 ∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.
又∵f(x)是偶函数，
∴不等式f(2x2－1)<2可化为f(|2x2－1|)<f(4)．
又∵函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴|2x2－1|<4.
解得－ <x< ，又 ，解得：
即不等式的解集为 ．
【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的定义法证明，以及函数的单调性的应用，其中解答中熟
记函数的单调性与奇偶性的定义，合理运算、化简是解答的关键，同时考查了转化思想的应用，着重考查
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学科网（北京）股份有限公司了分析问题和解答问题的能力.
17. 已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 存在极大值，且极大值不大于 ，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线的斜率，由此可得结果.
（2）讨论 的范围，得到 时， 的极大值为 ，通过构造函数分析单调性可得结果.
【小问1详解】
当 时， ，故 ，
∴ ，
∴曲线 在 处的切线方程为 ，即 .
【小问2详解】
由题意得， ，故函数 的定义域为 ，
∵ ，∴ ，
当 时， ， ， 在 上为增函数， 无极值.
当 时，由 得 ，
由 得， ，由 得， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ 在 上为增函数，在 上为减函数，
∴当 时， 有极大值，极大值为 ，
∴ ，即 ，
令 ，则 ，
∵ ，∴ ，
∴ 在 上为增函数，
∵ ，
∴要使 ，则 ，
∴实数a的取值范围是 .
18. 已知定义在 上的奇函数 满足 ，（ 且 ）．
（1）求 的值．
（2）若对任意 有 恒成立，求实数 的取值范围．
（3）若 且函数 满足 ，其中 ，问是否存在实
数 ，使函数 在 上的最大值为0？若存在，求出 的值或取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
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学科网（北京）股份有限公司（3）存在，
【解析】
【分析】（1）由 上的奇函数的性质代点计算即可求得 的值；
（2）由 可得 ，由（1）及题设条件求出 ，根据该函数的单调性，将题设不
等式化成 在 上恒成立，设 ，利用求导判断其单调性，求出
最大值，即得参数 的取值范围；
（3）先由 求出 ，则得 ，设 ，由 推得 ，则
，由题意， 在 上恒成立且等号成立，根据
参数 分类讨论函数 的单调性和最值情况，即得参数 的取值范围.
【小问1详解】
因 是定义在 上的奇函数，故 ，由 可得 ，
则由 ，解得 .
【小问2详解】
由（1）可得 ，设 ，则 ，
代入可得 ，故 ，
由 ，可得 ，又 ，故得 ，
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学科网（北京）股份有限公司则 在 上为增函数，
由 在 上恒成立，
可得 在 上恒成立，也即 在 上恒成立.
设 ，则 ，由 ，解得 ，
则当 时， ，当 时， .
故函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
又 ，即 时， ，故 .
即实数 的取值范围为 .
【小问3详解】
由（2）可得 ，即 ，因 ，解得 ，则 ，
则由 可得 ，
化成对数式，则有 ，
设 ，则 ，因 ，则 ，
此时 .
因函数 在 上的最大值为0，则 在 上恒成立且等号成立.
当 时， 取得最小值1；当 时， 取得最大值1.
设 ，其对称轴为直线 .
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学科网（北京）股份有限公司① 当 时， ，则函数 在时取得最小值，
即 ，解得 ，不合题意，舍去；
② 当 时， ，则函数 在 时取得最大值，
即 ，解得 ，符合题意；
③ 当 时， ，则函数 在 时取得最大值，
即 ，符合题意.
综上，存在实数 ，使函数 在 上的最大值为0.
19. 已知函数 ，其中 ．
（1）讨论函数 在 上的极值点的个数．
（2）若函数 ．
（i）设点 和点 是曲线 上任意两点（不重合），曲线 在这
两点处的切线能否重合?若能，求出该切线方程；若不能，说明理由．
（ii）当 时，若对于任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最小值．
【答案】（1）当 时， 无极值点，当 时， 有一个极值点
（2）（i）不能重合，理由见详解
（ii）1
【解析】
【分析】（1）求导，分 及 讨论即可求解；
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学科网（北京）股份有限公司（2）（i）根据导数的几何意义得到在点 和在点 的两条切线方程，利用重合建
立方程组，消元化解得 ，换元构造函数，根据导数判断零点的存在性即可求
解；
（ii）令 ，不等式可化为 ，利用特值法（
）初步确定参数范围，然后证明 时， 恒成立即可.
【小问1详解】
的定义域为 ， ，
当 ， ， 在 单调递增，无极值点，
当 时， ，
时， ， 单调递增， 时， ， 单调递减，
所以，此时 有一个极值点，
综上，当 时， 无极值点，当 时， 有一个极值点.
【小问2详解】
（i）不能重合，理由如下：
， ，
不妨设 ，所以在点 的切线方程为 ，
即 ，
同理可得在点 的切线方程为
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学科网（北京）股份有限公司，又两切线重合，
所以 ，即 ，
即 ，
令 ，则 ，
，
所以 在 上单调递增，则 ，即 无解，
所以曲线 在这两点处的切线不能重合.
（ii） ， ，令 ， ，
即 ，
即 在 恒成立，
令 ，
又 ，解得 ，
当 时， ，
令 ，
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学科网（北京）股份有限公司，令 ，
，所以 在 单调递增，
又 ，所以 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，所以 ，
即 ，
综上， ， 的最小值为1.
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学科网（北京）股份有限公司
