全国甲卷理数-答案-p_近10年高考真题汇编（必刷）_2024年高考真题_高考真题（截止6.29）_全国甲卷（8科）

2024 年高考全国甲卷数学（理） 一、单选题 ( ) 1．设z=5+i，则i z+z =（ ） A．10i B．2i C．10 D．−2 【答案】A 【解析】根据z=5+i⇒z =5−i,z+z =10，则i(z +z)=10i. 故选A { } 2．集合A={1,2,3,4,5,9},B= x x∈A ，则 （ ） ∁𝐴𝐴(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)= A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5} 【答案】D { } 【解析】因为A={1,2,3,4,5,9},B= x x∈A ，所以B={1,4,9,16,25,81}， 则 ， 故选D 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ={1,4,9} ∁𝐴𝐴(𝐴𝐴∩𝐵𝐵)={2,3,5} 4x−3y−3≥0  3．若实数x,y满足约束条件x−2y−2≤0 ，则z=x−5y的最小值为（ ）  2x+6y−9≤0 1 7 A．5 B． C．−2 D．− 2 2 【答案】D 4x−3y−3≥0  【解析】实数x,y满足x−2y−2≤0 ，作出可行域如图：  2x+6y−9≤0 1 1 1 1 1 根据z=x−5y可得y= x− z，即z的几何意义为y= x− z的截距的− ， 5 5 5 5 5 1 1 则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线y= x− z过点A， 5 5  3 4x−3y−3=0 x= 3  联立 ，解得 2，即A ,1， 2x+6y−9=0  y=1 2  3 7 则z = −5×1=− . min 2 2 故选D.4．等差数列{a }的前n项和为S ，若S =S ，a =1，则a =（ ） n n 5 10 5 1 7 A．−2 B． C．1 D．2 3 【答案】B 【分析】由S =S 结合等差中项的性质可得a =0，即可计算出公差，即可得a 的值. 5 10 8 1 【解析】由S −S =a +a +a +a +a =5a =0，则a =0， 10 5 6 7 8 9 10 8 8 a −a 1  1 7 则等差数列{a }的公差d = 8 5 =− ，故a =a −4d =1−4×− = . n 3 3 1 5  3 3 故选B. 5．已知双曲线C: y2 − x2 =1(a>0,b>0)的上、下焦点分别为F (0,4),F (0,−4)，点P(−6,4)在该双曲线上，则该双 a2 b2 1 2 曲线的离心率为（ ） A．4 B．3 C．2 D． 2 【答案】C 【分析】由焦点坐标可得焦距2c，结合双曲线定义计算可得2a，即可得离心率. 【解析】根据题意，F (0,−4)、F (0,4)、P(−6,4)，则 FF =2c=8，PF = 62+(4+4)2 =10，PF = 62+(4−4)2 =6， 1 2 1 2 1 2 2c 8 则2a= PF − PF =10−6=4，则e= = =2. 1 2 2a 4 故选C. 6．设函数 f (x)= ex+2sinx ，则曲线y= f (x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） 1+x2 1 1 1 2 A． B． C． D． 6 3 2 3 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点(0,1)处的切线方程，即可得其与坐标轴交点坐标，即可得其面积. ( ex+2cosx )( 1+x2) − ( ex+2sinx ) ⋅2x ( e0+2cos0 )(1+0)− ( e0+2sin0 ) ×0 【解析】 f′(x)= ，则 f′(0)= =3，即该切 ( 1+x2)2 (1+0)2 线方程为y−1=3x，即y= 3x+1， 1 令x=0，则y=1，令y=0，则x=- ， 3 1 1 1 所以该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S = ×1× − = . 2 3 6 故选A. 7．函数 f (x)=−x2+ ( ex−e−x) sinx在区间[−2.8,2.8]的大致图像为（ ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入x=1可得 f (1)>0，可排除D. 【解析】 f (−x)=−x2+ ( e−x−ex) sin(−x)=−x2+ ( ex−e−x) sinx= f (x)， 又函数定义域为[−2.8,2.8 ]，故该函数为偶函数，故A、C错误，  1  1 π e 1 1 1 又 f (1)=−1+e− sin1>−1+e− sin = −1− > − >0，  e  e 6 2 2e 4 2e 故D错误. 故选B. cosα  π 8．已知 = 3，则tanα+ =（ ） cosα−sinα  4 3 A．2 3+1 B．2 3−1 C． D．1− 3 2 【答案】B cosα 【分析】先将 弦化切求得tanα，再根据两角和的正切公式即可求解. cosα−sinα cosα 1 3 【解析】因为 = 3，所以 = 3，⇒tanα=1− ， cosα−sinα 1−tanα 3  π tanα+1 所以tanα+ = =2 3−1，  4 1−tanα 故选B.   9．已知向量a=(x+1,x),b=(x,2)，则（ ）     A．“x=−3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x=−3”是“a//b”的必要条件     C．“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x=−1+ 3”是“a//b”的充分条件 【答案】C 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.     【解析】A，当a⊥b时，则a⋅b=0，所以x⋅(x+1)+2x=0，解得x=0或−3，即必要性不成立，A错误；   B，当a//b时，则2(x+1)=x2，解得x=1± 3，即必要性不成立，B错误；       C，当x=0时，a=(1,0),b=(0,2)，故a⋅b=0，所以a⊥b，即充分性成立，C正确；   D，当x=−1+ 3时，不满足2(x+1)=x2，所以a//b不成立，即充分性不立，D错误. 故选C. 10．设α、β是两个平面，m、n是两条直线，且αβ=m.下列四个命题： ①若m//n，则n//α或n//β ②若m⊥n，则n⊥α,n⊥β ③若n//α，且n//β，则m//n ④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n 其中所有真命题的编号是（ ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④【答案】A 【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n⊂α，因为m//n，m⊂β，则n//β，当n⊂β，因为m//n，m⊂α，则n//α， 当n既不在α也不在β内，因为m//n，m⊂α,m⊂β，则n//α且n//β，①正确； ②，若m⊥n，则n与α,β不一定垂直，②错误； ③，过直线n分别作两平面与α,β分别相交于直线s和直线t，因为n//α，过直线n的平面与平面α的交线为直线s， 则根据线面平行的性质定理知n//s，同理可得n//t，则s//t，因为s⊄平面β，t⊂平面β，则s//平面β，因为s⊂ 平面α，αβ=m，则s//m，又因为n//s，则m//n，③正确； ④，若α∩β=m,n与α和β所成的角相等，如果n//α,n//β，则m//n，④错误； ①③正确， 故选A. π 9 11．在ABC中内角A,B,C所对边分别为a,b,c，若B= ，b2 = ac，则sinA+sinC =（ ） 3 4 3 7 3 A． B． 2 C． D． 2 2 2 【答案】C 1 13 【分析】利用正弦定理得sinAsinC = ，再利用余弦定理有a2+c2 = ac，再利用正弦定理得到sin2 A+sin2C的值， 3 4 最后代入计算即可. π 9 4 1 【解析】因为B= ,b2 = ac，由正弦定理得sinAsinC = sin2B= . 3 4 9 3 9 13 13 13 由余弦定理可得:b2 =a2+c2−ac= ac，即:a2+c2 = ac，根据正弦定理得sin2 A+sin2C = sinAsinC = ，所 4 4 4 12 7 以(sinA+sinC)2 =sin2 A+sin2C+2sinAsinC = ， 4 7 因为A,C为三角形内角，则sinA+sinC >0，则sinA+sinC = . 2 故选C. 12．已知b是a,c的等差中项，直线ax+by+c=0与圆x2+y2+4y−1=0交于A,B两点，则 AB 的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．2 5 【答案】C 【分析】结合等差数列性质将c代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为a,b,c成等差数列，所以2b=a+c，c=2b−a，代入直线方程ax+by+c=0得 x−1=0 x=1 ax+by+2b−a=0，即a(x−1)+b(y+2)=0，令 得 ， y+2=0 y=−2 故直线恒过(1,−2)，设P(1,−2)，圆化为标准方程得：C:x2+(y+2)2 =5，设圆心为C，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC ⊥ AB时， AB 最小， PC =1, AC = r = 5，此时 AB =2 AP =2 AC2−PC2 =2 5−1=4. 故选C 二、填空题 10 1  13．  +x 的展开式中，各项系数的最大值是 ． 3  【答案】5  1 10−r 1 9−r Cr   ≥Cr+1    103 10 3 【分析】先设展开式中第r+1项系数最大，则根据通项公式有 ，进而求出r即可求解. 10−r 11−r  1 1   C 1 r 0  3   ≥C 1 r 0 −1  3   10−r 1 【解析】根据题展开式通项公式为T =Cr   xr，0≤r≤10且r∈Z， r+1 103   Cr  1   10−r ≥Cr+1  1   9−r  r≥ 29  103 10 3   4 29 33 设展开式中第r+1项系数最大，则 ，⇒ ，即 ≤r≤ ，又r∈Z，故r=8，所以    C 1 r 0    1 3    10−r ≥C 1 r 0 −1    1 3    11−r   r≤ 3 4 3 4 4 2 1 展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C8   =5. 103 答案为：5. 14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为r和r ，母线长分别为2(r −r)和3(r −r)，则两个圆台的体积之比 1 2 2 1 2 1 V 甲 = ． V 乙 6 【答案】 4 【分析】先根据已知条件和圆台结构特征分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式直接代入计算即可得解. 【解析】根据题可得两个圆台的高分别为h 甲 =  2(r 1 −r 2 )  2 −(r 1 −r 2 )2 = 3(r 1 −r 2 )，1( ) h 乙 =  3(r 1 −r 2 )  2 −(r 1 −r 2 )2 =2 2(r 1 −r 2 )，所以 V V 甲 = 1 3 ( S 2 +S 1 + S 2 S 1 ) h 甲 = h h 甲 = 2 3 2 ( ( r 1 r − − r r 2 ) ) = 4 6 . 乙 S +S + S S h 乙 1 2 3 2 1 2 1 乙 6 答案为： . 4 1 1 5 15．已知a>1， − =− ，则a= ． log a log 4 2 8 a 【答案】64 【分析】将log a,log 4利用换底公式转化成log a来表示即可求解. 8 a 2 1 1 3 1 5 【解析】由题 − = − log a=− ，整理得(log a)2−5log a−6=0， log a log 4 log a 2 2 2 2 2 8 a 2 ⇒log a=−1或log a=6，又a>1，所以log a=6=log 26，故a=26 =64 2 2 2 2 答案为：64. 16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m为前两 1 次取出的球上数字的平均值，n为取出的三个球上数字的平均值，则m与n差的绝对值不超过 的概率是 ． 2 7 【答案】 15 【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，则a+b−3≤2c≤a+b+3， 就c的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率. 【解析】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A3 =120种， 6 a+b+c a+b 1 设前两个球的号码为a,b，第三个球的号码为c，则 − ≤ ， 3 2 2 故 2c−(a+b) ≤3，故−3≤2c−(a+b)≤3，故a+b−3≤2c≤a+b+3， 若c=1，则a+b≤5，则(a,b)为：(2,3),(3,2)，因此有2种， 若c=2，则1≤a+b≤7，则(a,b)为：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4)， (3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3)，因此有10种， 当c=3，则3≤a+b≤9，则(a,b)为： (1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5)， (2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4)， 因此有16种，当c=4，则5≤a+b≤11，同理有16种，当c=5，则7≤a+b≤13，同理有10种，当c=6，则9≤a+b≤15， 同理有2种， 共m与n的差的绝对值不超过 1 时不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56，因此所求概率为 56 = 7 . 2 120 15 7 答案为： 15三、解答题 17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验， 数据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 (1)填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品 率存在差异？ (2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果 p(1− p) p> p+1.65 ，则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能 n 化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ 150 ≈12.247） n(ad−bc)2 附：K2 = (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P ( K2 ≥k ) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】（1）根据题中数据完善列联表，计算K2，并与临界值对比分析； p(1− p) （2）用频率估计概率可得p=0.64，根据题意计算p+1.65 ，结合题意分析判断. n 【解析】（1）根据题意可得列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 150(26×30−24×70)2 75 可得 K2 = = =4.6875 ，因为3.841<4.6875<6.635， 50×100×96×54 16 所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率 存在差异. 96 （2）根据题意可知：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为 =0.64， 150 用频率估计概率可得p=0.64，又因为升级改造前该工厂产品的优级品率p=0.5，则 p(1− p) 0.5(1−0.5) 0.5 p(1− p) p+1.65 =0.5+1.65 ≈0.5+1.65× ≈0.568，可知p> p+1.65 ， n 150 12.247 n 所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 18．记S 为数列{a }的前n项和，且4S =3a +4． n n n n (1)求{a }的通项公式； n (2)设b =(−1)n−1na ，求数列{b }的前n项和为T ． n n n n 【答案】(1)a =4⋅(−3)n−1 n (2)T =(2n−1)⋅3n+1 n 【分析】（1）利用退位法可求{a }的通项公式． n （2）利用错位相减法可求T . n 【解析】（1）当n=1时，4S =4a =3a +4，解得a =4．当n≥2时，4S =3a +4，所以4S −4S =4a =3a −3a 1 1 1 1 n−1 n−1 n n−1 n n n−1 a 即a =−3a ，而a =4≠0，故a ≠0，故 n =−3， n n−1 1 n a n−1 ∴数列{a }是以4为首项，−3为公比的等比数列， n 所以a =4⋅(−3)n−1 . n （2）b =(−1)n−1⋅n⋅4⋅(−3)n−1 =4n⋅3n−1, n 所以T =b +b +b ++b =4⋅30+8⋅31+12⋅32++4n⋅3n−1 n 1 2 3 n 故3T =4⋅31+8⋅32+12⋅33++4n⋅3n所以−2T =4+4⋅31+4⋅32++4⋅3n−1−4n⋅3n n n =4+4⋅ 3 ( 1−3n−1) −4n⋅3n =4+2⋅3⋅ ( 3n−1−1 ) −4n⋅3n 1−3 =(2−4n)⋅3n−2， ∴T =(2n−1)⋅3n+1. n 19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD,EF //AD， AD=4,AB=BC =EF =2，ED= 10,FB=2 3，M 为AD的中点．(1)证明：BM //平面CDE； (2)求二面角F−BM −E的正弦值． 【答案】(1)见详解； 4 3 (2) 13 【分析】（1）结合已知易证四边形BCDM 为平行四边形，可证BM//CD，进而得证； （2）作BO⊥ AD交AD于O，连接OF ，易证OB,OD,OF三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【解析】（1）因为BC//AD,EF =2,AD=4,M 为AD的中点，所以BC//MD,BC =MD， 四边形BCDM 为平行四边形，所以BM//CD，又因为BM ⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以BM//平面CDE； （2）如图所示，作BO⊥ AD交AD于O，连接OF ， 因为四边形ABCD为等腰梯形，BC//AD,AD=4, AB=BC =2，所以CD=2， 结合（1）BCDM 为平行四边形，可得BM =CD=2，又AM =2， 所以ABM 为等边三角形，O为AM 中点，所以OB= 3， 又因为四边形ADEF 为等腰梯形，M 为AD中点，所以EF =MD,EF//MD， 四边形EFMD为平行四边形，FM =ED= AF， 所以△AFM 为等腰三角形，ABM 与△AFM 底边上中点O重合，OF ⊥ AM ， OF = AF2−AO2 =3 ， 因为OB2+OF2 =BF2，所以OB⊥OF，所以OB,OD,OF互相垂直， 以OB方向为x轴，OD方向为y轴，OF 方向为z轴，建立O−xyz空间直角坐标系， F(0,0,3)，B ( 3,0,0 ) ,M(0,1,0),E(0,2,3)，  B  M  = ( − 3,1,0 ) ,  B  F  = ( − 3,0,3 ) ，  B  E  = ( − 3,2,3 ) ，设平面BFM 的法向量为m  =(x,y ,z )， 1 1 1  平面EMB的法向量为n=(x ,y ,z )， 2 2 2    m⋅BM =0  − 3x +y =0  ( ) 则 m  ⋅  B  F  =0 ，即 − 3x 1 +3 1 z =0 ，令x 1 = 3，得y 1 =3,z 1 =1，即m= 3,3,1 ， 1 1    n⋅BM =0  − 3x +y =0 则 n  ⋅  B  E  =0 ，即 − 3x 2 +2 2 y +3z =0 ，令x 2 = 3，得y 2 =3,z 2 =−1， 2 2 2   即n  = ( 3,3,−1 ) ，cosm  ,n  = m  ⋅n  = 11 = 11 ，则sinm  ,n  = 4 3 ， m⋅ n 13⋅ 13 13 13 4 3 故二面角F−BM −E的正弦值为 . 13 x2 y2  3 20．设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F ，点M1, 在C上，且MF ⊥x轴． a2 b2  2 (1)求C的方程；(2)过点P(4,0)的直线与C交于A,B两点，N 为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥ y轴． x2 y2 【答案】(1) + =1 4 3 (2)证明见解析 【分析】（1）设F(c,0)，根据M 的坐标及MF ⊥ x轴可求基本量，故可求椭圆方程. （2）设AB:y=k(x−4)，A(x,y )，B(x ,y )，联立直线方程和椭圆方程，用A,B的坐标表示y −y ，结合韦达 1 1 2 2 1 Q 定理化简前者可得y −y =0，故可证AQ⊥ y轴. 1 Q 【解析】（1）设F(c,0)，由题设有c=1且 b2 = 3 ，故 a2−1 = 3 ，故a=2，故b= 3， a 2 a 2 x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 （2）直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x−4)，A(x,y )，B(x ,y )， 1 1 2 2 由   3x2+4y2 =12 可得 ( 3+4k2) x2−32k2x+64k2−12=0，故Δ=1024k4−4 ( 3+4k2)( 64k2−12 ) >0，故− 1 0时， f′(x)>0， 故 f (x)在x=0处取极小值且极小值为 f (0)=0，无极大值. 1−ax (a+1)x （2） f′(x)=−aln(1+x)+ −1=−aln(1+x)− ,x>0， 1+x 1+x (a+1)x 设s(x)=−aln(1+x)− ,x>0， 1+x −a (a+1) a(x+1)+a+1 ax+2a+1 则s′(x)= − =− =− ， x+1 (1+x)2 (1+x)2 (1+x)2 1 当a≤− 时，s′(x)>0，故s(x)在(0,+∞)上为增函数， 2 故s(x)>s(0)=0，即 f′(x)>0，所以 f (x)在[0,+∞)上为增函数，故 f (x)≥ f (0)=0. 1 2a+1 当− 0，故a< 1， 3 ∴ AB = s −s = (s +s )2−4ss = 8(a−1)2−8(a2−1) =2，解得a= . 1 2 1 2 1 2 4 y=x+a 法2：联立 ，得x2+(2a−2)x+a2−1=0，Δ=(2a−2)2−4 ( a2−1 ) =−8a+8>0，解得a< 1，设 y2 =2x+1 A(x,y ),B(x ,y ) ,∴x +x =2−2a,xx =a2−1， 1 1 2 2 1 2 1 2 则 AB = 1+12 ⋅ (x +x )2−4xx = 2⋅ (2−2a)2−4 ( a2−1 ) =2， 1 2 1 2 3 解得a= 4 23．实数a,b满足a+b≥3． (1)证明：2a2+2b2 >a+b； (2)证明： a−2b2 + b−2a2 ≥6． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用2a2+2b2 ≥(a+b)2即可证明. （2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.【解析】（1）因为2a2+2b2−(a+b)2 =a2−2ab+b2 =(a−b)2 ≥0， 当a=b时等号成立，则2a2+2b2 ≥(a+b)2，因为a+b≥3，所以2a2+2b2 ≥(a+b)2 >a+b; （2） a−2b2 + b−2a2 ≥ a−2b2+b−2a2 = 2a2+2b2−(a+b) =2a2+2b2−(a+b)≥(a+b)2−(a+b)=(a+b)(a+b−1)≥3×2=6