文档内容
2026届普通高等学校招生全国统一考试 9 月调研测试卷
数学
数学测试卷共 4 页, 满分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项:
1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名、班级填写在答题卡上。考生要认真
核对答题卡上粘贴的条形码的 “准考证号、姓名、考试科目” 与考生本人准考证
号、姓名是否一致。
2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑,如需改动,用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 用 0.5 毫米
的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。若在试题卷上作答,答案无效。
3. 考试结束,考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1. 计算 (l−i)(l+i)=
A. ❑√2 B. ❑√2i C. 2 D. 2i
2. 已知集合 A={1,2,3,4},B={x∣x2−2x−3=0) ,则 A∩B=
A. {1} B. {3} C. {1,3} D. {2,4}
3. 已知向量 a=(−1,k),b=(2,1) ,若 (a−b)⊥b ,则实数 k=
A. 7 B. 5 C. 3 D. 2
[ π) 3 4
4. 已知 α,β∈ 0, ,sin(α+β)= ,sinβ= ,则 sinα=
2 5 5
24 12 7
A. 1 B. C. D.
25 25 25
5. 利用一只小白鼠进行的一项记忆功能试验中,训练次数 X ( x=1,2,3,4,5 ) 与完成
任务的时间 y (单位: 分)的一元线性回归方程为: ^y=−2.9x+34.9 ,则这只小白鼠完
成任务的平均时长约为
A. 23 分 B. 25 分 C. 26 分 D. 28 分
6. 将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球, 使得剩余部分最少, 则球
的体积与剩余部分体积之比为
A. 1:1 B. 2:1 C. 3:1 D. 4:12
7. 已知函数 f (x)= ,若 f (a)<−5 ,则
2x−1
A. f (−a)<7 B. f (−a)<0 C. f (−a)>5 D. f (−a)>3
5π (π π)
8. 若函数 f (x)=sin(2x+φ)(0≤φ<2π) 的图象关于 x= 对称,且 f (x) 在 ,
8 6 2
上单调递增,则 φ=
π 3π 5π 7π
A. B. C. D.
4 4 4 4
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符
合题目要求。全部选对得6 分, 部分选对得部分分, 有选错得0分。
9. 某年级某班有 24 名女生和 30 名男生,准备随机抽取 9 名学生参加学情调研,那
么
A. 若采用抽签法进行抽取, 可能抽到 9 名男生
1
B. 若采用抽签法进行抽取,男生甲被抽到的概率为
30
1
C. 若采用按比例分层抽样进行抽取,女生乙被抽到的概率为
6
D. 若采用按比例分层抽样进行抽取, 男生甲和女生乙被抽到的概率不同
10. 已知函数 f (x)=x(x−1)(x−2) ,则
A. 当 x<0 时, f (x)<0 B. f (x) 的图象关于点(1,0)对称
(1)
C. f 是 f (x) 的极大值 D. f (x) 在 (2,+∞) 上单调递增
2
x2 y2 1
11. 已知椭圆 C: + =1(a>b>0) 的离心率 e= ,左、右焦点分别为 F ,F ,经
a2 b2 2 1 2
过 F 的直线与 C 相交于 P,Q 两点,则
1
4
A. C 的长轴长与短轴长之比为
3
π
B. 0≤∠F PF ≤
1 2 3
π 2❑√3
C. 当 ∠PF F = 时, △PQF 的面积为 a2
1 2 3 2 5❑√5
D. 若 |PF )=2|QF ) ,则 sin∠PF F =
1 1 1 2 3
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 抛物线 x2=2y 的焦点到准线的距离为_____.
13. 函数 f (x)=xex 在点 (0,f (0)) 处的切线方程为_____.
14. 口袋中有 5 个相同的球,分别标有数字 1,2,3,4,5 . 从中有放回地随机抽取 n 次,
每次取 1 个球. 当 n=5 时, 每个球恰都被取到 1 次的概率为_____；记 X 为这 5
n
个球中至少被取出 1 次的球的个数,则 X 的平均值为_____.
n
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
15.(13 分)
1 n n+1
已知数列 {a ) 满足 a = ,且 − =n(n+1),n∈N∗ .
n 1 3 a a
n+1 n
{ 1 )
(1) 证明: 是等差数列:
na
n
(2)求 {a ) 的前 n 项和 S .
n n
16.(15 分)
已知 ABCD−A B C D 是正四棱柱.
1 1 1 1
(1)证明:平面 ACD ⊥ 平面 BDD B ；
1 1 1
(2)若 AB=1 , A A =2 ,求平面 ACD 与平面 ABB A 夹角的余弦值.
1 1 1 1
17.(15 分)
π
已知 △ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c , A= ,a=❑√2 .
4
(1) 若 b=❑√3 ,求 C ;❑√2
(2)若 cosBcosC= ,求 △ABC 的面积.
6
18.(17 分)
x2 y2
已知双曲线 C: − =1(a>0,b>0) 的虚轴长为 2,一条渐近线方程为 x+2y=0 .
a2 b2
(1) 求 C ;
(2)已知 P,Q,R 是 C 上的三个不同点.
①若 P(a,0) ,点 Q , R 在 C 的同一支上,且 △PQR 是等边三角形,求 |QR) ；
②若 D (异于原点 O )是 △PQR 外接圆的圆心,直线 PQ,QR,RP,OD 的斜率均
存在,并分
别记为 k ,k ,k ,k ,求 k k k k 的值.
1 2 3 4 1 2 3 4
19.(17 分)
设函数 f (x)=xlnx .
( 1 )讨论 f (x) 的单调性和极值；
(2)证明: f (x)≥x−1 ；
(3)已知 C 为常数,且 C>1,α>0 ,若 ∀x ,x ∈(0,1) , |f (x )−f (x ))≤C|x −x ) α ,
1 2 1 2 1 2
1
证明: α≤1− .
eC
