文档内容
新高二开学摸底考试卷（湖北专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡
上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项
是符合题目要求的）
1．若 （ 是虚数单位），则复数 的模为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用复数的乘法、除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的求模公式计算出复数 的
模.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，故选D.
【点睛】本题考查复数的乘法、除法法则以及复数模的计算，对于复数相关问题，常利用复数的四则
运算法则将复数表示为一般形式进行求解，考查计算能力，属于基础题.
2．已知向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，即 ，整理得： ．
故选：D．
3．若 ， ， ，则关于事件A与B的关系正确的是（ ）
A．事件A与B互斥不对立 B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B不相互独立
【答案】C
【分析】根据互斥与独立事件的定义判断即可
【详解】因为 ，所以 与 能同时发生，不是互斥事件，也不是对立事件，故AB错误；
，所以 ，又 ，故 成立，
故事件A与B相互独立，故C正确，D错误.
故选：C.
4．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中
O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样
本量为 的样本，已知样本中O型血的人数比AB型血的人数多20，则 （ ）
A．100 B．120 C．200 D．240
【答案】B
【分析】由题知 ，再解方程即可得答案.
【详解】解：因为感染人群中O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为4:3:3:2，
所以，抽取样本量为 的样本中，O型血的人数为 ， AB型血的人数为 ，
所以， ，解得
故选：B
5．已知样本数据 ， ， ， ， ， 的平均数为16，方差为9，则另一
组数据 ， ， ， ， ， ，12的方差为（ ）．
A． B． C． D．7
【答案】C
【分析】由均值、方差性质求数据 ， ， ， ， ， 的平均数、方差，应用平均数、方差公式
求新数据方差.
【详解】设数据 ， ， ， ， ， 的平均数为 ，方差为 ，由 ， ，得 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，12的平均数为 ，
方差为
．
故选：C
6．我国南北朝名著《张邱建算经》中记载：“今有方亭，下方三丈，上方一丈，高二丈五尺，预接筑
为方锥，问：接筑高几何？”大致意思是：有一个正四棱台的上､下底面边长分别为一丈､三丈，高为
二丈五尺，现从上面补上一段，使之成为正四棱锥，则所补的小四棱锥的高是多少？那么，此高和原
四棱台的体积分别是(注：1丈等于10尺)（ ）
A．12.5尺､10833立方尺 B．12.5尺､32500立方尺
C．3.125尺､10833立方尺 D．3.125尺､32500立方尺
【答案】A
【分析】根据题意画出图形，利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高，再计算它的体积．
【详解】解：如图所示，
正四棱锥 的下底边长为三丈，即 尺，
高二丈五，即 尺；
截去一段后，得正四棱台 ，且上底边长为 尺，
所以 ，
解得 ，
所以该正四棱台的体积是
（立方尺）．
故选：A．7．已知函数 在 上单调递增，且当 时， 恒成立，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由已知，分别根据函数 在区间 上单调递增，在 时， 恒成立，列
出不等关系，通过赋值，并结合 的本身范围进行求解.
【详解】由已知，函数 在 上单调递增，
所以 ，解得： ，
由于 ，所以 ，解得：
①
又因为函数 在 上 恒成立，
所以 ，解得： ，
由于 ，所以 ，解得：
②又因为 ，当 时，由①②可知： ，解得 ；
当 时，由①②可知： ，解得 .
所以 的取值范围为 .
故选：B.
【点睛】在处理正弦型、余弦型三角函数性质综合问题时，通常使用整体代换的方法，将整体范围满
足组对应的单调性或者对应的条件关系，罗列出等式或不等式关系，帮助我们进行求解.
8．数学必修二101页介绍了海伦-秦九韶公式：我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九
章》中，提出了已知三角形三边长求三角形的面积的公式，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看
出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以
小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隔，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即
，其中 、 、 分别为 内角 、 、 的对边.若
， ，则 面积 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】将已知等式结合 进行化简，得到
，并利用正弦定理可得 ，代入 “三斜求积”公式
并将 看成整体并利用二次函数性质得解.
【详解】 ，
，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理得
的面积 ，
，
将 看成整体并利用二次函数性质得，当 即 a=2时， 的面积S 有最大值为 .
故选：A .
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．在 中， ， ，则角 的可能取值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】由正弦定理，可得 ，又 ，所以 ，又 ，可得
，可判断各个选项.
【详解】由正弦定理，可得 ，又 ，所以 ，又 ，
所以 ，即角 为锐角，所以角 的取值范围为 ，故A，B正确.
故选：AB.
10．已知正六边形 的中心为 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．存在实数 ，使得 D．【答案】ACD
【分析】对于ABC：根据正六边形的几何性质结合向量的线性运算分析判断；对于D：根据题意结合
向量的数量积运算分析判断.
【详解】如图，不妨设正六边形 的边长为1，
对于选项A：因为 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，故B错误；
对于选项C：因为 ，
且 ，
可知 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，
则 ，
，
所以 ，故D正确；
故选：ACD.
11．半正多面体亦称“阿基米德体”“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面的多面
体.某半正多面体由4个正三角形和4个正六边形构成，其可由正四面体切割而成.在如图所示的半正多
面体中，若其棱长为1，则下列结论正确的是（ ）
A．该半正多面体的表面积为B． 与平面 所成角的正弦值为
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．若点 ， 分别在线段 ， 上，则 的最小值为
【答案】BCD
【分析】根据给定的多面体，利用正四面体的性质、线面角的定义、球的截面圆的性质，以及多面体
的侧面展开图，结合棱锥的表面积公式、球的表面积公式逐项判断，即可得解.
【详解】解：该半正多面体的表面积为 ，选项A错误；
选项B中，该半正多面体的所在的正四面体边长为 ，可求得高为 ，
，设点 在平面 的射影为 ，如上图，
由比例关系可得 ，设 与平面 所成角为 ，
则 ，选项B正确；
选项C中，该半正多面体外接球的球心即其所在正四面体的外接球的球心，
如上图，记球心为 ， 半径为 ， 的中心为 ，
连接 、 、 、 ，由等边 的边长为 ，
可得 ，在正四面体 中，可得 ，所以， ，
设 ，因为 ，可得 ,
即 ，解得 ，
即 ，所以 ，
故该半正多面体外接球的表面积为 ，选项C正确；
选项D中，该半正多面体的展开图如上图所示， ，
， ， ，
选项D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．如图，在 中， ，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ， .设
， ，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】根据 三点共线求得 的等量关系式，结合基本不等式求得 的最小值.【详解】因为 ，所以 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，
由图可知 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 、 时取等号，
所以 的最小值为 .
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用基本不等式求式子的最值，要注意一正、二定、三相等，正表示用基本不等
式的 ，定表示用基本不等式后得到的需是定值，这个定值才是最值，三相等是指等号成立的条
件是 要存在.
13．已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，若 为
钝角三角形， ，则 外接圆的半径R的取值范围是 ．
【答案】
【分析】化简等式，结合钝角三角形即可求出 .由正弦定理可知 由此即可求出
外接圆的半径R的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为： ，
所以 ，
由正弦定理有： ,
而 ,
又因为 为钝角三角形，不妨设 ,则 ，则 ,
所以 ,
所以 外接圆的半径 .
故答案为： .
14．蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外
包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5
月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠
（球）的表面上有四个点A，B，C，P，且球心О在PC上， ， ，
，则该鞠（球）的表面积为 .
【答案】
【分析】画出图形，做出辅助线，利用勾股定理求出球的半径，求出球的表面积.【详解】
如图，取AB的中点M，连接MP，由
得：
连接CM并延长，交球O于点H，连接PH，因为PC球O的直径，
设球的半径为R，则
球的表面积为
故答案为： .
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题
17 分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办
了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有
人，按年龄分成5组，其中第一组： ，第二组： ，第三组： ，第四组：
，第五组： ，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计这 人的平均年龄和第80百分位数；
（2）现从以上各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的宣传使者.若第四组宣传使者的
年龄的平均数与方差分别为37和 ，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，求这 人
中35~45岁所有人的年龄的方差.
【答案】（1）平均年龄 岁，第80百分位数为 ；（2）10.
【分析】（1）直接根据频率分布直方图计算平均数和百分位数；
（2）由分层抽样得第四组和第五组分别抽取 人和 人，进而设第四组、第五组的宣传使者的年龄的
平均数分别为 ， ，方差分别为 ， ，第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 ，方差为
，进而根据方差公式有 ，代入计算即可得答案.
【详解】解：（1）设这 人的平均年龄为 ，则
.
设第80百分位数为 ，由 ，解得 .
（2）由频率分布直方图得各组人数之比为 ，
故各组中采用分层随机抽样的方法抽取20人，第四组和第五组分别抽取 人和 人，
设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为 ， ，方差分别为 ， ，
则 ， ， ， ，
设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为 ，方差为 .
则 ，
，
因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.
16．已知函数 .
(1)求 的最小正周期和对称中心；
(2)在锐角 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）化简 的解析式，由此求得 的最小正周期，利用整体代入法求得 的对称中
心.
（2）根据 求得 ，利用正弦定理、三角恒等变换的知识化简 ，根据三角函数值域的知识
求得 的取值范围.
【详解】（1）由条件可知：
，
的最小正周期为 ，令 ， ，解得 ， ，
的对称中心为 ；
（2）由正弦定理得 ，
由（1） ，而 ，得 ，
， ，解得 ， ，又 ，可得 ，
， ，代入上式化简得： ，
又在锐角 中，有 ， ，
，则有 ， .
17．A，B，C，D四人参加双淘汰赛制比赛．在第一轮的两场比赛中，A对B，C对D，这两场比赛的
胜者进入优胜组，负者进入奋斗组．第二轮的两场比赛分别为优胜组和奋斗组的组内比赛，奋斗组中
的胜者与优胜组中的负者均进入超越组，奋斗组中的负者直接被淘汰，优胜组中的胜者进入卓越组，
第三轮比赛为超越组组内比赛，胜者进入卓越组，负者为季军．第四轮比赛为卓越组组内比赛，胜者
为冠军，负者为亚军，每轮比赛都相互独立．
(1)设A，B，C，D四人每轮比赛的获胜率均为 ．
①求A和B都进入卓越组的概率；
②求D参加了四轮比赛并获得冠军的概率．
(2)若B每轮比赛的获胜率为 ，A，C，D三人水平相当，求A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的
概率．
【答案】(1)① ；② ；
(2) .
【分析】（1）①分析A和B在第二轮、三轮的比赛结果，再利用相互独立事件的概率公式计算作答；
②按照D在第一轮的胜负分类，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算作答.
（2）由题意可得A，C在第一轮比赛中均获胜进入第二轮，按负者与B、D比赛并获胜分类求解作答.
【详解】（1）①若A和B都进入卓越组，则胜者需要赢得优胜组组内比赛的胜利，负者需要赢得奋斗
组组内比赛和超越组组内比赛的胜利，
则A和B都进入卓越组的概率为 ．
②D参加了四轮比赛并获得冠军的情况有两种：
第一种情况：D在C，D组内比赛获胜，D进入优胜组后进入超越组并获胜，再进入卓越组并获胜，其
概率为 ；
第二种情况：D在C，D组内比赛后进入奋斗组并获胜，再进入超越组并获胜，最后进入卓越组并获胜，其概率为 ，
所以D参加了四轮比赛并获得冠军的概率为 ．
（2）A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的情况有两种：
第一种情况：A，C在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与D比赛并获胜，其概率为
；
第二种情况：A，C在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与B比赛并获胜，其概率为
，
所以A，C进入卓越组且A，C之前赛过一场的概率为 ．
18．如图，在直三棱柱 中，M为棱 的中点， ， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： 平面 ；
(3)在棱 上是否存在点N，使得平面 平面 ？如果存在，求此时 的值；如果不存在，
请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在， .
【分析】（1）连接 与 ，两线交于点 ，连接 ，利用三角形中位线性质得到 ，再
利用线面平行的判定即可证.
（2）应用线面垂直的性质、判定可得 平面 ，从而得到 ，根据
和 得到 ，再利用线面垂直的判定即可证.
（3）当点 为 的中点，设 的中点为 ，连接 ， ，易证四边形 为平行四边形，从而得到 ，进而有 平面 ，再利用面面垂直的判定即可证.
【详解】（1）连接 与 ，两线交于点 ，连接 ，
在 中 ， 分别为 ， 的中点，
所以 ，又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 底面 ， 平面 ，所以 .
又 为棱 的中点， ，所以 .
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 .
因为 ，所以 .又 ，
在 和 中， ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
（3）当点 为 的中点，即 时，平面 平面 .
证明如下：设 的中点为 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，
所以 且 ，又 为 的中点，
所以 且 ，所以四边形 为平行四边形，故 ，
由（2）知： 平面 ，所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 .
19．已知平面四边形 ， ， ， ，现将 沿 边折起，
使得平面 平面 ，此时 ，点 为线段 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)若 为 的中点
①求 与平面 所成角的正弦值；
②求二面角 的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)① ；② ．
【分析】（1）利用面面垂直证明线面垂直，再证明线线垂直，从而可证明线面垂直；
（2）因为线面垂直可证明更多的空间垂直关系，所以本题的线面角和二面角都可以通过作图，得到它
们的平面角，从而解三角形即可得到平面角的三角函数值.
【详解】（1）因为 ， ，所以 为等边三角形，
因为 为 的中点，所以 ．
取 的中点 ，连接 ， ，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ．
因为 ， ， ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
又因为 , ， ， 平面 ，所以 平面 ．
（2）①过点 作 ，垂足为 ．如图所示，由（1）知， 平面 ．因为 平面 ，所以 ．
，所以 平面 ，
所以 就是 与平面 所成角的平面角．
由（1）知， 平面 ， 平面 ，所以 ．
在 中， ， ， ，
因为 为 的中点，所以 ．
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
所以由同角三角函数的基本关系得 ．
所以 与平面 所成角的正弦值为 ．
②取 的中点为 ，连接 ，因为 为线段 的中点，
所以 ，
由（1）知， 平面 ，所以 平面 ， 平面 ．
所以 ．
过点 作 ，垂足为 ，连接 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ． 平面 ，所以 ，
所以 为二面角 的平面角．
在 中， ，
由（1）知， 为等边三角形， 为线段 的中点，
所以由（1）知， 平面 ， 平面 ．所以 ，
在 中， ，由（2）知， ，
即 ，解得 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
在 中， ．
，
所以二面角 的平面角的余弦值为 ．
【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是根据二面角的定义找出二面角，再利用勾股定理定义求出
相关线段，最后根据三角函数的定义即可得到答案.
