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一、选择题：本大题共 10小题，每小题 5分，共 50分. 在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知全集U ={1,2,3,4,5}，集合A={1,2}，B={2,3,4}，则𝐵∩∁ 𝐴=
𝑈
A．{2} B．{3,4} C．{1,4,5} D．{2,3,4,5}
π x2 y2 y2 x2
2．已知0<q< ，则双曲线C ： - =1与C ： - =1的
4 1 sin2q cos2q 2 cos2q sin2q
A．实轴长相等 B．虚轴长相等 C．离心率相等 D．焦距相等
3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q
是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为
A．(Øp)∨(Øq) B． p∨(Øq) C．(Øp)∧(Øq) D． p∨q
4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分
别得到以下四个结论：
① y与x负相关且y=2.347x-6.423； ② y与x负相关且y=-3.476x+5.648；
③ y与x正相关且y=5.437x+8.493； ④ y与x正相关且y=-4.326x-4.578.
其中一定不正确的结论的序号是
A．①② B．②③ C．③④ D． ①④
5．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快
第1页 | 共5页速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是
6．将函数y= 3cosx+sinx (xÎR)的图象向左平移m (m>0)个单位长度后，所得到的
图象关于y轴对称，则m的最小值是
π π π 5π
A． B． C． D．
12 6 3 6
uuur uuur
7．已知点A(-1,1)、B(1, 2)、C(-2, -1)、D(3, 4)，则向量AB在CD方向上的投影为
3 2 3 15 3 2 3 15
A． B． C．- D．-
2 2 2 2
8．x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数 f(x)=x-[x]在R上为
A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D． 周期函数
9．某旅行社租用A、B两种型号的客车安排900名客人旅行，A、B两种车辆的载客
量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数
不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆．则租金最少为
A．31200元 B．36000元 C．36800元 D．38400元
10．已知函数 f(x)=x(lnx-ax) 有两个极值点，则实数a的取值范围是
1
A．(-¥, 0) B．(0, ) C．(0,1) D．(0, +¥)
2
第2页 | 共5页二、填空题：本大题共 7小题，每小题 5分，共 35分．请将答案填在答题卡对
应题号的位置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11．i为虚数单位，设复数z ，z 在复平面内对应的点关于原点对称，若z =2-3i，则
1 2 1
z = .
2
12．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：
7，8，7，9，5，4，9，10，7，4
则（Ⅰ）平均命中环数为 ；
（Ⅱ）命中环数的标准差为 .
13．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序. 若输入m的值为2，
则输出的结果i= .
π
14．已知圆O：x2 + y2 =5，直线l：xcosq+ ysinq=1（0<q< ）.设圆O
2
上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k = .
5
15．在区间[-2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|£m的概率为 ，
6
则m= .
16．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用
一个圆台形的天池盆接雨水. 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为
一尺二寸，盆深一尺八寸. 若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 寸.
（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）
17．在平面直角坐标系中，若点P(x,y)的坐标x，y均为整数，则
称点P为格点. 若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形
为格点多边形. 格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记
为N，边界上的格点数记为L. 例如图中△ABC是格点三角形，
对应的S =1，N =0，L=4.
（Ⅰ）图中格点四边形DEFG对应的S, N, L分别
是 ；
（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为
S =aN +bL+c，其中a，b，c为常数.
若某格点多边形对应的N =71，L=18，
则S = （用数值作答）.
第3页 | 共5页三、解答题：本大题共 5小题，共 65分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤.
18．（本小题满分12分）
在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c. 已知cos2A-3cos(B+C)=1.
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若△ABC的面积S =5 3，b=5，求sinBsinC的值.
19．（本小题满分13分）
已知S 是等比数列{a }的前n项和，S ，S ，S 成等差数列，且a +a +a =-18.
n n 4 2 3 2 3 4
（Ⅰ）求数列{a }的通项公式；
n
（Ⅱ）是否存在正整数n，使得S ³2013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；
n
若不存在，说明理由．
20．（本小题满分13分）
如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A 处发现矿藏，
1
再继续下钻到A 处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为AA =d ．同样可
2 1 2 1
得在B，C处正下方的矿层厚度分别为BB =d ，CC =d ，且d <d <d . 过AB，AC
1 2 2 1 2 3 1 2 3
的中点M ，N且与直线AA 平行的平面截多面体ABC -A B C 所得的截面DEFG为该
2 1 1 1 2 2 2
多面体的一个中截面，其面积记为S ．
中
（Ⅰ）证明：中截面DEFG是梯形；
（Ⅱ）在△ABC中，记BC =a，BC边上的高为h，面积为S. 在估测三角形ABC区域
内正下方的矿藏储量（即多面体 ABC -A B C 的体积V ）时，可用近似公式
1 1 1 2 2 2
1
V =S ×h来估算. 已知V = (d +d +d )S，试判断V 与V的大小关系，并加
估 中 3 1 2 3 估
以证明.
21．（本小题满分13分）
ax+b
设a>0，b>0，已知函数 f(x)= .
x+1
第4页 | 共5页（Ⅰ）当a¹b时，讨论函数 f(x)的单调性；
（Ⅱ）当x>0时，称 f(x)为a、b关于x的加权平均数.
b b b b
（i）判断 f(1), f( ), f( )是否成等比数列，并证明 f( )£ f( ) ；
a a a a
2ab
（ii）a、b的几何平均数记为G. 称 为a、b的调和平均数，记为H.
a+b
若H £ f(x)£G，求x的取值范围.
22．（本小题满分14分）
如图，已知椭圆C 与C 的中心在坐标原点O，长轴均为MN 且在x轴上，短轴长分别
1 2
为2m，2n (m>n)，过原点且不与x轴重合的直线l与C ，C 的四个交点按纵坐标从
1 2
m
大到小依次为A，B，C，D．记l= ，△BDM 和△ABN 的面积分别为S 和S .
n 1 2
（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S =lS ，求l的值；
1 2
（Ⅱ）当l变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S =lS ？并说明理由．
1 2
第5页 | 共5页
