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2012 年北京市高考数学试卷（文科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．（5 分）已知集合 A={x R|3x+2＞0}，B={x R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则
A∩B=（ ）
∈ ∈
A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1， ） C．﹙ ，3﹚ D．（3，+∞）
2．（5分）在复平面内，复数 对应的点的坐标为（ ）
A．（1，3） B．（3，1） C．（﹣1，3） D．（3，﹣1）
3．（5分）设不等式组 ，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一
个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．（5分）函数f（x）=x ﹣（ ）x的零点个数为（ ）
第1页 | 共6页A．0 B．1 C．2 D．3
6．（5分）已知{a }为等比数列，下面结论中正确的是（ ）
n
A．a +a ≥2a B．a 2+a 2≥2a 2
1 3 2 1 3 2
C．若a =a ，则a =a D．若a ＞a ，则a ＞a
1 3 1 2 3 1 4 2
7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A．28+6 B．30+6 C．56+12 D．60+12
8．（5分）某棵果树前n年的总产量S 与n之间的关系如图所示．从目前记录
n
的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．（5分）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为 ．
10．（5分）已知{a }为等差数列，S 为其前n项和，若a = ，S =a ，则a =
n n 1 2 3 2
，S = ．
n
11．（5分）在△ABC中，若a=3，b= ， ，则∠C的大小为 ．
12．（5分）已知函数f（x）=lgx，若f（ab）=1，则f（a2）+f（b2）= ．
第2页 | 共6页13．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则 的
值为 ．
14．（5分）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2．若 x R，f
（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是 ．
∀ ∈
三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13分）已知函数f（x）= ．
（1）求f（x）的定义域及最小正周期；
（2）求f（x）的单调递减区间．
16．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，
点 F 为线段 CD 上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到△A DE 的位置，使
1
A F⊥CD，如图2．
1
（1）求证：DE∥平面A CB；
1
（2）求证：A F⊥BE；
1
（3）线段A B上是否存在点Q，使A C⊥平面DEQ？说明理由．
1 1
第3页 | 共6页17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余
垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民
生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000吨生活垃
圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱
厨余垃圾 400 100 100
可回收物 30 240 30
其他垃圾 20 20 60
（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；
（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；
（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分
别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写
出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．
（ 求 ： S2= [ + +…+ ] ， 其 中 为 数 据 x ，
1
x ，…，x 的平均数）
2 n
第4页 | 共6页18．（13分）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处有公共切线，求
a，b的值；
（2）当a=3，b=﹣9时，函数f（x）+g（x）在区间[k，2]上的最大值为28，求
k的取值范围．
19．（14 分）已知椭圆 C： + =1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为 A（2，
0），离心率为 ，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△AMN的面积为 时，求k的值．
第5页 | 共6页20．（13分）设A是如下形式的2行3列的数表，
a b c
d e f
满足性质P：a，b，c，d，e，f [﹣1，1]，且a+b+c+d+e+f=0．
记 r（A）为 A 的第 i 行各数之和（i=1，2），C（A）为 A 的第 j 列各数之和
i ∈ j
（j=1，2，3）；记 k（A）为|r （A）|，|r （A）|，|c （A）|，|c
1 2 1 2
（A）|，|c （A）|中的最小值．
3
（1）对如下数表A，求k（A）的值
1 1 ﹣0.8
0.1 ﹣0.3 ﹣1
（2）设数表A形如
1 1 ﹣1﹣2d
d d ﹣1
其中﹣1≤d≤0．求k（A）的最大值；
（Ⅲ）对所有满足性质P的2行3列的数表A，求k（A）的最大值．
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