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2023年3月高中毕业班联合调研考试
理科数学参考答案及评分标准
一、选择题（: 每小题5分，共60分）
. . . . . . . . . . . .
1 C 2 A 3 C 4 C 5 C 6 D 7 C 8 D 9 A 10 D 11 B 12 A
二、填空题（: 每小题5分，共20分）
. . . 3 .
13 1 14 -2 15 16 ①②
三、解答与证明题（: 共707分）
π
. 解：（）因为 C 3 ，所以C ，且 C 2 C 4，……………… 分
17 1 cos = >0 ∈(0, ) sin = 1 - cos = 2
a5 c 2 5
由正弦定理可得： ，
A = C
a Csin a sin
即有 A sin C 5 4 5； ………………………………………… 分
sin = c = c sin = × = 5
4 5 5
（）因为 a c a 5 c c，
2 4 = 5 ⇒ = <
π 4
所以A C，故A ，
< ∈(0, )
2
又因为 A 5，所以 A 2 5，…………………………………………………… 分
sin = cos = 7
5 5
所以 B π A C A C A C A C 11 5；
sin = sin[ -( + )]= sin( + )= sin cos + cos sin =
a c b 25
由正弦定理可得： ，
A = C = B = 5 5
sin sin sin
所以a A ，…………………………………………………………………… 分
= 5 5sin = 5 10
所以S 1 ab C 1 4 ． ………………………………………… 分
△ ABC = sin = ×5×11× = 22 12
. 解：（） 2 2 5
18 1
……………………………………………… 分
3
作图步骤
连接AP并延长交BC于点
① E
连接C E交CB 于点F，连接AC ，AF
② 连接C 1 P交AF 1 于点M 1
③ 点M即1为所求 …………………………………………………………………………… 分
④ 5
（注：作图和步骤中没有连接AC 不扣分，如果只连接C P交面ACB 于点 则只给 分）
（）连结BC ，交B C于点O，连结 1 AO， 1 1 M 1
2 侧面BB C1 C为 1 菱形， OB OB ，且O为B C的中点，
又 ∵ AC 1 AB 1 ， AO ∴ B C， ⊥ 1 1
∵ 面ACB = 面 1 B ∴ B C C， ⊥ AO 1 面ACB ，面ACB 面BB C B C AO 面BB C C
∵ 1 ⊥ 1 1 ⊂ 1 1 ⋂ 1 1C= 1 ∴ ⊥ 1 1
又OB ,OB 面BB C C， OA OB ，OA OB，
1 ⊂ 1 1 ∴ ⊥ 1 ⊥
OA，OB，OB 两两垂直，………………………………………………………………… 分
∴ 1 7
理科数学试卷参考答案 第 页 （共 页）
1 4
以O为坐标原点，OB的方向为x轴的正方向，|OB|为单位长度，
OB 的方向为y轴的正方向，OA的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，………… 分
1 8
CBB ， CBB 为正三角形，又AC AB ，AC AB
∵∠ 1为 = 等 60 腰 ° 直 ∴ 角 △ 三角形1 OA OB ⊥ 1 = 1
∴∆ACB1 ∴ = 1
A 3 ，B ，B 3 ，C 3 ，
∴ (0,0, ) (1,0,0) 1(0, ,0) (0, - ,0)
3 3 3
AB 3 3 ，A B AB 3 ，
∴ 1=(0, , - ) 1 1= =(1,0, - )
3 3 3
B C BC 3 ，……………………………………………………………… 分
1 1= =(-1, - ,0) 9
3
设向量n xyz 是平面AA B 的法向量，
ì =( , , ) 1 1
ïn AB 3 y 3 z
ï ⋅ 1= - = 0
则í 3 3 ，可取n ，
ï =(1, 3, 3 )
ïn A B x 3 z
î ⋅ 1 1= - = 0
3
同理可得平面A B C 的一个法向量m ，……………………………… 分
1 m 1 1 n =(1, - 3, 3 ) 11
m，n ⋅ 1，
∴cos< >= |m||n| =
7
由图可知，二面角A A B C 的平面角是锐角，即二面角A A B C 的余弦值为1 …… 分
∴ - 1 1- 1 - 1 1- 1 . 12
7
. 解：（）由题意知：x-
19 1 = 45×0.1 + 55×0.15 + 65×0.2 + 75×0.3 + 85×0.15 + 95×0.1 =
，
70.5
名考生的竞赛平均成绩x-为 ……………………………………………… 分
∴4000 70.5. 3
（）依题意z服从正态分布N μσ
2
，其中μ x- ，σ
2
，σ ，
2 ( , ) = = 70.5 = 204.75 = 14.31
z服从正态分布N μσ 2 N 2 ，…………………………………………… 分
∴ ( , )= (70.5,14.31 ) 5
而P μ σ z μ σ P z ，
( - < < + )= (56.19< <84.81)= 0.6826
P z 1 - 0.6826 ． ……………………………………………… 分
∴ ( ≥84.81)= = 0.1587 7
竞赛成绩超过 的2 人数估计为 人 人． …………… 分
∴ 84.81 0.1587×4000 = 634.8 ≈634 8
（）由样本估计总体可知竞赛考生成绩不超过 的概率为 ．
3 84.81 1 - 0.1587 = 0.8413
而ξ~B ，………………………………………………………………………… 分
(4,0.8413) 10
P ξ P ξ C 4 4 ………………… 分
. 解 ∴ ：（ ( ）由 ≤ 已 3) 知 = 得 1 - F ( = ，故 4) c = 1 - ， 4 ⋅0.8413 = 1 - 0.501 = 0.499. 12
20 1 (1,0) = 1
由|AF| |FN|得，a ，得a ，
= + 1 = 4 - 1 = 2
又因a b c ，所以b ，…………………………………………………………… 分
2 2 2
= + = 3 3
x y
2 2
所以椭圆C的标准方程 ；……………………………………………………… 分
+ = 1 4
（） MFN PFN恒成4 立3
2 ∠ = 2∠
理由：由 A ，则设直线AM的方程为x my ，
(1) (-2,0) = - 2
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2 4x y
2 2
与椭圆方程 联立，可得 m 2 y 2 my ，…………………………… 分
+ = 1 (3 + 4) - 12 = 0 5
m4 3 m m
2 2
得y 12 ，x my 12 6 - 8，
= m = - 2 = m - 2 = m
2 2 2
( 3 + 4 ) 3 + 4 3 + 4
m m
2
即M 6 - 8 12 ，………………………………………………………………… 分
m 2 , m 2 7
3 + 4 3 + 4 ( )
直线AM：x my 与x 的交点P 6 ，
= - 2 = 4 4,m
6
m ，
所以k 2 即 PFN 2；………………………………………………… 分
PF = = m tan∠ = m 9
4m- 1
12
m m m m
k MF = m 3 2 + 4 = m 12 = m 4 ，即 tan∠ MFN = m 4 ，…………………… 10 分
2 2 2 2
6 - 8 3 - 12 - 4 - 4
m - 1
2
3 + 4
2
PFN 2× m m
又 PFN 2tan∠ 4 MFN
tan2∠ = PFN = ( ) = m = tan∠ ．
2 2 2
1 - tan ∠ 2 - 4
1 - m
所以 MFN PFN， ………………………………………………………………… 分
∠ = 2∠ 11
特别的，当k 时，k k ，则 MFN PFN ，MFN PFN，
AM = 0 MF= PF=0 tan∠ =tan∠ =0 ∠ = 2∠
综上所述 MFN PFN …………………………………………………………… 分
∠ = 2∠ . 12
. 解：（）当a 时，f x ex 1 x，f' x ex 1 1，k f' e，
21 1 = -1 ( )= + x + ln ( )= - x + x = (1)=
2
切点 e ， 切线方程为y e x e ，即y ex ，……………………… 分
(1, + 1) ∴ = ( - 1)+ + 1 = + 1 2
令x ，得y ；令y ，得x 1，所以三角形的面积是：S 1 1 1 ； …… 分
= 0 = 1 = 0 = -e = × e ×1 = e 5
|xex a| 2 2
（）因为x ，所以f x - a x（a ）
2 >0 ( )= x - ln >0
令h x xex a x ，h' x x ex x ，
( )= - ( >0) ( )=( + 1) ( >0)
则h x 在 ∞ 上单调递增，又h a ，h a a ea ，
( ) (0, + ) (0)= - <0 ( )= ( - 1)>0
存在唯一的x a 使h x ，且a x ex，
0
0 ∈(0, ) ( 0)= 0 = 0
ìa
ï ex a x x x
ïx - - ln ,0< < 0
所以f x í ，…………………………………………………… 分
( )= ï a 7
ïex a xx x
î - x - ln , ≥ 0
a
当 x x 时，f x ex a x，
0< < 0 ( )= x - - ln
a a
由f' x ex ，则f x 在 x 上单调递减，……………………………… 分
( )= -x 2 - - x <0 ( ) (0, 0) 8
a
当x x 时，f x ex a x，
≥ 0 ( )= - x - ln
a a
由f' x ex ，
( )= - x + x
2
a
当x x 时，y ex 在 x ∞ 上单调递增，
≥ 0 = - x [ 0, + )
则ex a ex 0 a ex 0 x 0 ex 0 ，所以当x x 时，f' x ex a a ，
- x ≥ - x = - x = 0 ≥ 0 ( )= - x + x 2 ≥0
0 0
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3 4[
所以f x 在 x ∞ 上单调递增，……………………………………………………… 分
( ) 0, + ) 9
综上所述 f x f x ，………………………………………………………………… 分
( )≥ a ( 0) 10
而f x ex
0
a x a x a x 1，
( 0)= - x - ln 0 = - ln 0 > ⇒0< 0 < e
0
又因为 a x ex x 1
0
= 0 0 ∈(0, e )
设y xex，则y' x ex 在 1 上恒成立，所以y xex在 1 上单调递增．
= =( + 1) >0 (0, e ) = (0, e )
此时a x ex
0
1·e 1 e ，即a e 1 e-1 ，
= 0 ∈(0, e ) ∈(0, )
1 ……………………………………………………………………………… 分
所以a ee-1
12
. 解：（） < 曲线C 是以C 为圆心的半圆，
22 1 1 1(4,0) π
所以半圆的极坐标方程为ρ cosθ θ ，……………………………………… 分
= 8 (0≤ ≤ ) 2
π 2
曲线 C 是以 C 为圆心的圆，转换为极坐标方程为 ρ sinθ θ π
2 2( 3, ) = 2 3 (0≤ ≤ )
…………………………2…………………………………………………………………… 分
π π 5
（）由 得：|MN| |ρ ρ | | cos | ． …………………………… 分
2 (1) = M - N = 8 - 2 3sin = 1 7
3 3
| |
点C 到直线MN的距离d OC 0 3．…………………………………………… 分
2 = 2 sin30 = 9
2
所以S 1 |MN| d 1 3 3．……………………………………… 分
△ C 2 MN = × ⋅ = ×1× = 10
. 解：（）设f x2 |x | |x2| ， 2 4
23 1 ( )= 2 - 3 - - 1
当x 时，f x |x | |x| x x x ，
≥3 ( )= 2 - 3 - - 1 = 2( - 3)- - 1 = - 7
显然此时f x f ；
( )≥ (3)= 3 - 7 = -4
当 x 时，f x |x | |x| x x x，
0< <3 ( )= 2 - 3 - - 1 = 2(3 - )- - 1 = 5 - 3
显然有f f x f f x ；
(3)< ( )< (0)⇒ -4< ( )<5
当x 时，f x |x | |x| x x x，
≤0 ( )= 2 - 3 - - 1 = 2(3 - )+ - 1 = 5 -
显然有f x f ，…………………………………………………………………… 分
( )≥ (0)= 5 4
综上所述：f x ，要想 |x | |x| m对任意的x R恒成立，
( )≥ -4 2 - 3 - - 1≥ ∈
只需m ，所以实数m的取值范围为 ∞ ；……………………………………… 分
≤ -4 (- , - 4] 5
（）因为m ∞ ，所以t m ，
2 ∈(- , - 4] = max = -4
即a b c ， ……………………………………………………………………… 分
2 2 2
+ + = 16 6
1 1 1 a 2 b 2 c 2
( a + b + c )[( + 1)+( + 2)+( + 3)]
2 2 2
+ 1 + 2 + 3
1 a 2 1 b 2 1 c 2 2
≥( a × + 1 + b × + 2 + c × + 3 ) = 9
2 2 2
+ 1 + 2 + 3
……………………………………………………………………………………………… 分
8
a b c
当且仅当 2 + 1 2 + 2 2 + 3 时取等号即a 57 b 48 c 39
= = , = ± , = ± , = ±
1 1 1 3 3 3
a b c
2 2 2
+ 1 + 2 + 3
时取等号，而a b c ，
2 2 2
+ + = 16
所以有 1 1 1 1 1 1 9
( a + b + c )×22≥9⇒a + b + c ≥ .
2 2 2 2 2 2
…………+…1………+2………+3…………………+…1 ……+…2……+…3… 2 … 2 …………………… 分
10
注：第 — 题提供的解法供阅卷时评分参考，考生其它解法可相应给分。
17 23
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4 4
