文档内容
理科数学参考答案及评分细则
一!选择题"本题共!#小题#每小题$分#共"%分$
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二!填空题"本题共*小题#每小题$分#共#%分$
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因此$有/%5的把握认为该校学生选择课外活动类别与性别有关系!…………………… *分
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槡"
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数学!理科"试题答案 第!!!!!页!共"页"
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书书书)槡#
所以’(0 !……………………………………………………………………………… !分
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于是*)&’)$*)&’(! ………………………………………………………………… )分
又%)&’($所以’(&平面%*)! ……………………………………………………… *分
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过点%作%+&平面’*(于+点$则+点必在线段*)上! ………………………… "分
连接’+$可知%%’+为%’与平面’*(所成的角!…………………………………… ,分
槡) )
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在;<$%)+中$%)0!$%+0 $得)+0 !………………………………………… .分
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同理$平面)’%即平面(’%的一个法向量为
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设二面角*2’%2(的平面角为"$
,!*", 槡, 槡*#
所以,89:",0 0 $即:=>"0 !
,!,,", , ,
槡*#
故二面角*2’%2(的正弦值为 ! ………………………………………………… !#分
,
数学!理科"试题答案 第!!!!#页!共"页"
{#{QQABKQAAggCoAJJAARgCQQ3ACEIQkBAACIoGhAAEsAAAiAFABAA=}#}槡)-
!/!&解析’!!"由*6(0 $根据正弦定理可得
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6 0 $…………………………………………………………………… #分
89:* 89:( :=>(89:*
:=>* :=>( :=>*89:(689:*:=>( :=>!*6(" :=>’
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89:* 89:( 89:*89:( 89:*89:( 89:*89:(
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所以 0 $………………………………………………………………… *分
89:*89:( :=>(89:*
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因为(1为角平分线$所以%’(10%*(10 $又(10*槡)$
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所以有 03*槡)3 6 -3*槡)3 0!.槡)$
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所以-600!.$……………………………………………………………………………… !%分
由余弦定理得.#0-#60#2#-089:(0-#60#2-0
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所以.0"槡)! ……………………………………………………………………………… !#分
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从而$42)的面积/ 0 * *30!$则30#4 …………………………………… )分
$42) # #
所以$抛物线(的方程为"#0*#! ………………………………………………………… *分
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!#"设) $5!5#%"$则)20!!2 $25"$420!!$%"!
* *
数学!理科"试题答案 第!!!!)页!共"页"
{#{QQABKQAAggCoAJJAARgCQQ3ACEIQkBAACIoGhAAEsAAAiAFABAA=}#}00/ 00/ 5#
由)2*4202)$得!2 02)$即50*!
*
所以$此时)!*$*"! ………………………………………………………………………… "分
由题意可知$6斜率必不等于%$于是可设6)#07"68!
*#07"68$
由) !可得"#2*7"2*80%4 ………………………………………………… ,分
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上述方程的判别式满足#0!2*7"#2**!2*8"#%$即7##28!
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* ! * #
根据韦达定理有)"6"0*7$""02*8! ……………………………………………… .分
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"2* "2* * *
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! # ! #
所以$2*86!"76#*0%$即80*76"4 ………………………………………………… !%分
故直线6的方程为#07"6*76"$即#2"07!"6*"$
所以直线6恒过定点+!"$2*"! ………………………………………………………… !!分
过点)作7&6$且6(70) $则,)),1,)+,0#槡!,!
! !
其中$当)+&6时等号成立!
所以$点)到直线6的距离的最大值为#槡!,!………………………………………… !#分
#!!&解析’!!"由:!#"01#2-#2#$得:;!#"01#2-$
当-1%时$:;!#"#%$则:!#"单调递增$:!#"不存在极值!……………………………… !分
当-#%时$令:;!#"0%$则#0@>-$
若#-@>-$则:;!#"-%$:!#"单调递减(若##@>-$则:;!#"#%$:!#"单调递增!
所以#0@>-是:!#"的极小值点! ………………………………………………………… )分
因为:!#"在区间!%$!"存在极值$则%-@>--!$即!---1!
所以$:!#"在区间!%$!"存在极值时$-的取值范围是!!$1"! …………………………… *分
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即1#689:#6:=>#2!-6!"#2##%在#2!%$6A"时恒成立! ……………………… $分
设#2!-6!"#2#$则#689:#2!-6!"$
数学!理科"试题答案 第!!!!*页!共"页"
{#{QQABKQAAggCoAJJAARgCQQ3ACEIQkBAACIoGhAAEsAAAiAFABAA=}#}令7!#"0<;!#"01#2:=>#689:#2!-6!"$则7;!#"01#289:#2:=>#!
令8!#"07;!#"01#289:#2:=>#$则8;!#"01#6:=>#289:#$
则#2!%$!"时$1#6:=>##!$则8;!#"01#6:=>#289:##%(#2+!$6A"时$1#31$
则8;!#"#%$
所以#2!%$6A"时$8;!#"#%$则8!#"即7;!#"单调递增$
所以7;!#"#7;!%"0%$则7!#"即<;!#"单调递增$
所以<;!#"#<;!%"0!2-!………………………………………………………………… ,分
"当-1!时$<;!%"0!2-3%$故#2!%$6A"$<;!#"#%$则#289:#在#2!%$6A"时恒成立!………………………………… /分
#当-#!时$<;!%"0!2--%$
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故在区间!%$@>!-6)""上函数<;!#"存在零点#$即<;!#"0%$……………………… !%分
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由于函数<;!#"在!%$6A"上单调递增$则#2!%$#"时$<;!#"-<;!#"0%$
% %
故函数#$$
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则曲线(的普通方程为!#2!"#6"#0*4 ………………………………………………… #分
! !" )槡#
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* #
*#0%89:"$
由) 可得#2"6)0%!
+"0%:=>"
所以直线6的直角坐标方程为#2"6)0%4 ……………………………………………… *分
!#"由!!"可知$点’的坐标为!2)$%"!
00/ 00/
因为’)0)*$所以)是线段’*的中点! ……………………………………………… $分
由题意$可设)!#$""$*!!6#89:$$#:=>$"$
数学!理科"试题答案 第!!!!$页!共"页"
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则)
+#"0#:=>$6%$
*#089:$2!$
即) ……………………………………………………………………………… ,分
+"0:=>$!
代入曲线(的方程$可得
!89:$2!2!"#6:=>#$0*$即89:#$2*89:$6*6:=>#$0*!
)
解之可得$89:$2!02 ! ………………………………………………………………… /分
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此时$:=>$0B !
*
! ) 槡!$ "
由此可知$两曲线有两个公共点$其直角坐标为 2 $B !……………………… !%分
* *
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#)!&解析’!!"不存在-$0$.$使得 6 2!%$$"!理由如下)
- 06.
因为-$0$.都是正数$且-606.0)$所以06.0)2-#%$
! / ! / ! !! / "
所以 6 0 6 0 +-6!)2-", 6
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0 !%6 6 3 !%6#槡 * 0 $
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)2- /- ) /
当且仅当 0 $即-0 $06.0 时取等号$
- )2- * *
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即 6 的最小值为 $
- 06. )
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所以$不存在-$0$.$使得 6 2!%$$"! ……………………………………………… $分
- 06.
!#"&证明’!槡)6-6槡)606槡)6."#
0/6!-606."6#槡)6-*槡)606#槡)60*槡)6.6#槡)6-*槡)6.
1!#6!)6-"6!)60"6!)60"6!)6."6!)6-"6!)6."
0)%6#!-606."
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当且仅当-000.0!时等号成立$
所以槡)6-6槡)606槡)6.1"& ……………………………………………………… !%分
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