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衡阳市八中 2024 届高三暑期检测
数学参考答案：
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
D A C B A C D D
1．D 2．A 3．C
4．B【详解】由 ，有 ，得 ，
可得 ，所以 .故A，C，D错误.故选：B.
5．A【详解】双曲线 的渐近线方程为 ，
圆的标准方程为 ，圆心坐标为 ，半径为 ，
所以，圆心到直线 的距离为 ，解得 ，
因此，双曲线 的离心率的值为 .故选：A.
6．C【详解】A项，由于 ，明显有 ，故 正确；
B项，因为每个边对应的中心角为 ，则 ，
所以 ，
又 ，且 ，所以 ，B正确；
C项， 和 方向相反，但长度不等，因此不是一对相反向量，C错误；
D项，因为 ，所以 ，D正确.故选：C.
7．D【详解】对于①：若 ，则 ， ，关于 对称，
若 为无理数，则 也是无理数， ，也关于 对称，
若 ，并且 是既约的真分数，则 ，并且 是互质的 ， ，
也是真分数，若 不是既约分数，则 与 必定存在公约数 ，
不妨假设 ，则有 ，即 存在大于1的公约数，
答案第1页，共8页
学科网（北京）股份有限公司与题设矛盾，故 也是既约分数， ，即关于 对称，
故①正确；
对于②， 时， ，故②错误；
对于③，当 时，有 ， ，但当 时 ，故③错误；
对于④， ， ，
构造函数 ， ，则 ， 单调递增，
，即 当 时 ，
， ，
当 时， ， ， ，故④正确；
对于⑤，
，故⑤正确；
故选：D.
8．D【详解】不等式 可整理为 ，
令 ，定义域为 ，则原不等式可看成 ，
，令 ，解得 ，令 ，解得 ，所以 在 上单调递减， 上
单调递增，
令 ，则 ，令 ，则 ，令 ，则 ，
所以 在 上单调递增， 上单调递减，且 ，所以 ，即 ，即
，
当 时， ， ，所以 ，解得 ；
答案第2页，共8页当 时， ， ，所以 ，不成立；
综上可得，不等式 的解集为 .故选：D.
二、多选题
9 10 11 12
ABC ACD BC AB
9．ABC【详解】对选项A，从2010-2019年，我国研究生在校女生人数逐渐增加，故A正确；
对选项B，由于2010-2019年，我国研究生在校女生人数逐年增加，且2019年人数为144.8万，故B正确；
对选项C，2017年我国研究生在校女生人数所占比重为48.4%，不足一半，故C正确；
对选项D， ，故2019年我国研究生在校总人数超过285万，故D项错误.
故选：ABC
10．ACD【详解】由函数的图象可知， ， ，则 ， ，
由 ，解得 ，因为 ，所以 ， ，
所以A正确.
令 ，解得 ，故B错误.
令 ,解得 ，所以C正确.
对于D， ，则 ，值域为 ，
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围为 ，故D正确.
11．BC
【详解】对于A，连接 ，
由题意可知 ，因为 ，所以 ，所以 共面，
故选项A错误；
对于B，连接 ，
由题意可知 ，
所以 ，故选项B正确；
对于C，连接 ，
答案第3页，共8页
学科网（北京）股份有限公司由正方体的性质可知 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成的角，则
，故选项C正确；
对于D，连接 ，根据正方体的性质可得 ，且 ，
所以平面 即为过点B，E，F的平面截正方体的截面，该四边形为梯形，其上底 ，
下底为 ，高为 ，所以截面面积为 ，故选项D错误；
12．AB【详解】由题意，对于选项A，因为 ，所以 的中垂线 与双曲线有交点，即有 ，
解得 ，故选项A正确；对于选项B，因为 ，解得 ，所以
，所以 ，故选项B正确；对于选项C，由题意可得
显然不等，故选项C错误；
对于选项D，若 为右顶点时，则 为坐标原点，此时 ，故选项D错误.
三、填空题
13． 【详解】由已知条件可知二项式系数和为 ，可得 ，
令 ，则 .故答案为： .
14． 【详解】由题得 在 方向上的投影为 ，又因为 ， 为单位向量，则 ，所以
，所以 ，即 ．故答案为： ．
15．1【详解】由抛物线 可得准线方程为 ，
设 ，由余弦定理可得 ,
由抛物线定义可得P到准线的距离等于 ，Q到准线的距离等于 ，
M为 的中点，由梯形的中位线定理可得M到准线 的距离为 ，
则弦 的中点M到y轴的距离 ，
故 ，
又 ，
答案第4页，共8页则 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的最小值为1，故答案为：1
16． ．【详解】因为 ，
当 时， 时， 单调递增，不合题意；
当 时， 时， ，函数 在区间 上是严格减函数，
则 ，即 ；
当 时， 时， ，函数 在区间 上是严格减函数，则 ，即 ；
当 时， ，
，因此 在 是单调递增，不合题意；
综上， 的范围是 ．故答案为： ．
四、解答题
17．(1) (2)证明见解析
【详解】（1）因为 ，则 化为 ，
即 ，所以 ，所以 是首项为 ，公差为 的等差数列，
所以 ，解得 ，
当 时， ， 不满足上式，所以 .
（2）结合（1）得， ，
所以 ，因为 ，所以 ．
18．(1)3 (2)
【详解】（1）因为平面四边形 存在外接圆，
答案第5页，共8页
学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
又 ，所以 ，
所以 的面积 ．
（2）在 中，由余弦定理得
，解得 ．
在 中，由余弦定理得 ，
即 ．
由此得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，故 的周长 ．
19．（1）证明见解析 （2）
【详解】（1）证明：因为侧面 底面ABCD， ，
所以 底面ABCD，所以 ．又因为 ，即 ，
因此可以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
所以 ，所以 ．由 底面ABCD，可得 ，
又因为 ，所以 平面 ．
（2）因为 ，又 ，设 ，则
，
所以 ．设平面EBD的法向量为 ，
因为 ，由 ，得 ，
令 ，则可得平面EBD的一个法向量为 ， ， ， ，
代入 ，化简得 ，解得 或 ，又由题意知 ，故 ．
答案第6页，共8页20．(1) (2)分布列见解析，
【详解】（1）用事件 分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”或“平局”，则
，
记“进行4局比赛后甲学员赢得比赛”为事件 ，则事件 包括事件 共5种，
所以
.
（2）因为 ，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即 ，
由题意得 的所有可能取值为 ，则
，
，
.
所以 的分布列为
2 4 5
所以 的期望
，
因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，所以 ，
所以 ，故 的最大值为 .
21．(1) (2) .
答案第7页，共8页
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）依题意 ，解得 ，所以 的方程为 .
（2）因为 不与 轴重合，所以设 的方程为 ，
设点 ，则 联立 ，得 ，
则
因为点 三点共线且斜率一定存在，所以 ，
所以 ，将 代入
化简可得 ，故 ，解得 ，满足
所以直线 过定点 ，且 为椭圆右焦点
设所求内切圆半径为 ，因为 ，
所以
令 ，则 ，所以 ，
因为 ，对勾函数 在 上单调递增，所以 ，则 .
所以内切圆半径 的范围为 .
22．(1)答案见解析 (2) ，理由见解析
【详解】（1）由 ，得 ，又 ，所以 ，
则 ，所以 ， ．
当 时，令 ，得 或 ；令 ，得 ；
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，令 ，得 ；令 ，得 或 ；
答案第8页，共8页所以 在 与 上单调递减，在 上单调递增．
（2） ，理由如下：因为 ，
由 ，得 ，解得 或 ．
因为 ，所以 ， ， 是 的正根，则 ，
又 ，所以 ， ，
两式相减得 ．
令 ， ，则 ，得 ，则 ．
令 ，则 ，
所以 ， ，可得
．
设 ，则 ，再设 ，则 ，
所以 在 上为增函数，则 ，
即 ，则 在 上为增函数，
从而 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ．
【点睛】关键点睛：本题第2小题的解决关键是利用换元法，将
转化为 ，从而再利用导数处理双变量的方法求解即可.
答案第9页，共8页
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