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沈阳市第 120 中学 2023-2024 学年度上学期
高三年级第一次质量监测
数学试题
满分：150分 时间：120分钟 命题人：董贵臣 佟艳丽 校对人：高越
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设集合 ，则 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
化简集合A，B，根据交集计算即可.
【详解】因为 ，
所以 ，
故选：A
2. 已知 ，那么命题p的一个必要条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先解不等式 ，得到不等式的解，利用集合之间的关系，判断充分必要性，得到结果.
【详解】 ，运用集合的知识易知，
A中 是p的充要条件；
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学科网（北京）股份有限公司B中 是p的必要条件；
C中 是p的充分条件；
D中 是p的既不充分也不必要条件.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关充分必要条件的判段，正确解题的关键是理解充分必要条件的定
义.
3. 给定函数 ，若函数 恰有两个零点，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函数与方程的思想将函数 恰有两个零点转化成函数 与函数 图象有
两个交点，画出图像数形结合即可得 .
【详解】若函数 恰有两个零点，即方程 有两个不相等的实数根，
即函数 与函数 图象有两个交点，
易知 ，
令 ，解得 ，
所以当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司所以 在 取得最小值 ，
易知当 时， ，且 时 ，
在同一坐标系下分别画出两函数图象，如下图所示：
由图可知当 时，函数 与函数 图象有两个交点.
故选：C
4. 若函数 的图像向左平移 （ ）个单位，所得的图像关于 轴对称，则当 最小
时，
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移变换得到解析式后,利用所得的图像关于 轴对称列式,再求最小值.
【 详 解 】 将 函 数 的 图 像 向 左 平 移 （ ） 个 单 位 后 , 得 到 函 数
,
因为其图像关于 轴对称,所以 , ,即 , ,
因为 ,所以 时, 取得最小值 ,此时 .
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学科网（北京）股份有限公司故选B.
【点睛】本题考查了三角函数图像的平移变换,以及对称轴,属于中档题.
5. 函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，若对任意的正实数 ，都有
恒成立，且 ，则使 成立的实数 的集合为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据 的特征，构造 ，研究其单性与奇偶性，又 ，
得到 ，将 ，转化为 ，利用单调性与奇偶性求解.
【详解】设 ，
所以 ，
因为 时 ，都有x +2f（x）＞0恒成立，
所以 ，
所以 在 上是增函数，
又因为函数f（x）是定义在R上的偶函数
所以 也是定义在R上的偶函数
所以 在 上是减函数，
又因为 ，
所以 ，
又因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 .
所以
故选：A
6. 已知 ( )，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出 ，再求出 ，再求 的值即得解.
【详解】∵ ，∴ ，
将两边同时平方得： ，
则 ，
∵ ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
故选：C
【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法：三看（看角看名看式）三变（变角变名变式）.要根据已
知灵活选用方法求解.
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学科网（北京）股份有限公司7. 已知 是定义在 上的偶函数，且当 时 ，若对任意实数 ，都有
恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】探讨给定函数在 上的单调性，结合偶函数的性质脱去法则“f”，再借助一次函数的性质求
解作答.
【详解】依题意，当 时， ， 在 上单调递增，
又 是定义在 上的偶函数，即有 在 上单调递减，且它的图像关于 轴对称，
对 ， ，
于是得 ，两边平方整理得 ，令 ，
因此 ，解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：A
8. 已知函数 在定义域上是单调函数，且 ，当 在
上与 在R上的单调性相同时，实数 的取值范围是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
依题意可得， 为定值，设 ，则 ，不难得到 在 上为增
函数，再对 求导，利用三角恒等变换将 化简为 ，又 在 上
与 在 上单调性相同，所以 时， 恒成立，即 恒成立，最后
根据三角函数的性质求出参数 的取值范围；
【详解】解：因为函数 在定义域上是单调函数，则 没有零点，所以 或
恒成立，
又 ， ，所以 为定值，设 ，则
，不难得到 在 上为增函数，因为 ，
所以 ，
又 在 上与 在 上单调性相同，所以 时， 恒成立，即
恒成立，
因 为
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学科网（北京）股份有限公司则 ，
所以
故选：B
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，三角函数的性质的应用，属于中档题.
二、多选题（本题共4小题，共20分，每题选项全对给5分，少选或漏选给2分，错选、多
选和不选给0分）
.
9 已知函数f(x)＝ ＋ ，则（ ）
A. f(x)的定义域为[－3，1] B. f(x)为非奇非偶函数
C. f(x)的最大值为8 D. f(x)的最小值为2
【答案】ABD
【解析】
【分析】
先求得函数定义域为 ，AB对，对表达式同时平方，求得 的范围，进一步判断 范围即
可
【详解】由题设可得函数的定义域为 ，则选项AB正确；
f 2(x)＝4＋2× ＝4＋2× ，而0≤ ≤2，即4≤f 2(x)≤8，∵f(x)＞0，
∴2≤f(x)≤2 ，∴f(x)的最大值为2 ，最小值为2，则选项C错误，D正确.
故选：ABD．
的
10. 已知函数 部分图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A.
B. 函数 的图象关于点 对称
C. ，
D. 函数 在 上无最小值
【答案】BC
【解析】
【分析】由图可知 ， ，进而结合 待定系数得 ，再依次讨论各
选项即可得答案.
【详解】解：由图可知， ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
再将 代入得 ，即 ，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，故A选项错误；
令 ，解得 ，即函数的对称中心为 ，所以当
时，函数 的图象关于点 对称，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司因为 ， ，即函数 关于 对称，由函数图像易知正确，故C正确；
当 时， ，所以当 ，即 时函数 取得最小值 ，故D
错误.
故选：BC
11. 已知正实数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由基本不等式，即可结合选项逐一求解.
【详解】因为 ，且 均为正实数，所以由基本不等式得 ，即
，当且仅当 时等号成立， 正确；
由不等式 ，得 ，所以 ，即 ，当
且 仅 当 时 等 号 成 立 ， C 错 误 （ 或
）；
因为 ，所以 ，当且仅当
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学科网（北京）股份有限公司时等号成立，D正确．
故选：ABD
12. 已知直线 分别与函数 和 的图象交于点 ，则下列结论正
确的是
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据互为反函数的性质可得 的中点坐标为 ，从而可判断A；利用基本不
等式可判断B、D；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C.
【详解】函数 与 互为反函数，
则 与 的图象关于 对称，
将 与 联立，则 ，
由直线 分别与函数 和 的图象交于点 ，
作出函数图像：
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学科网（北京）股份有限公司则 的中点坐标为 ，
对于A，由 ，解得 ，故A正确；
对于B， ，
因为 ，即等号不成立，所以 ，故B正确；
对于C，将 与 联立可得 ，即 ，
设 ，且函数为单调递增函数，
， ，
故函数的零点在 上，即 ，由 ，则 ，
，故C正确；
对于D，由 ，解得 ，
由于 ，则 ，故D错误；
故选：ABC
【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查
了数形结合的思想，属于难题.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若命题：“ ，使 ”是假命题，则实数m的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据特称命题的否定，结合二次函数的性质，可得答案.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可知：命题： ， .是真命题，
①当 时，结论显然成立；
②当 时，则 ，解得 ；
故答案为： .
14. 已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】分别讨论 和 时，结合基本不等式和二次函数的单调性可得 的最小值，解不等式
可得所求范围.
【详解】函数 ，可得 时， ，当
且仅当 时， 取得最小值 ，
由 时， ，
若 时， 在 递减，可得 ，
由于 的最小值为 ，所以 ，解得 ；
若 时， 在 处取得最小值与题意矛盾，故舍去；
综上得实数a的取值范围是 ，
故答案为： .
【点睛】本题主要考查分段函数的最值求法，考查二次函数的单调性和运用，以及不等式的解法，属于中
档题.
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学科网（北京）股份有限公司15. 我们比较熟悉的网络新词，有“ ”、“内卷”、“躺平”等，定义方程 的实数根 叫做
函数 的“躺平点” 若函数 ， ， 的“躺平点”分别为 ，
， ，则 ， ， 的大小关系为______ ．
【答案】
【解析】
【分析】根据“躺平点”新定义，可解得 , ，利用零点存在定理可得 ,即可得出结论.
【详解】根据“躺平点”定义可得 ，又 ；
所以 ，解得 ；
同理 ，即 ；
令 ，则 ，
即 为 上的单调递增函数，
又 ，
所以 在 有唯一零点，即 ；
易知 ，即 ，
解得 ；
因此可得 .
故答案为： .
16. 对于给定的区间 ，如果存在一个正的常数 ，使得 都有 ，且 对
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学科网（北京）股份有限公司恒成立，那么称函数 为 上的“ 增函数”.已知函数 ，若函数
是 上的“3增函数”，则实数 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】先分析出 为偶函数， 为奇函数，所以
为偶函数，且 在R上单调递增，分 ， 与
三种情况，结合函数的单调性和对称性，得到实数 的取值范围.
【详解】设 ，则 定义域为R，
且 ，故 为偶函数，
定义域为R，且 ，
故 为奇函数，
所以 为偶函数，
且 在 上单调递增，
故 在R上单调递增，
若 ，则画出 的图象如下：
即 在 上单调递减，在 上单调递增，
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学科网（北京）股份有限公司由复合函数单调性满足“同增异减”，可知： 在 单调递减，在 上单调
递增，
因为 为偶函数，所以有 ，满足3增函数，
若 ，画出 的图象如下：
则 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在
上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知： 在 单调递减，在 上单调
递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，
所以只需任取 ，使得 ，
由对称性可知，存在 ，使得 ，且 ，
故满足 ，故满足3增函数，
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学科网（北京）股份有限公司若 时，画出 的图象如下：
则 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
由复合函数单调性满足“同增异减”，可知： 在 上单调递增，在 上单
调递减，在 上单调递增，
因为 为偶函数，
故只需满足任取 ，使得 ，
由对称性可知：存在 ，使得 ，
所以要满足 ，结合 ，解得： ，
综上：实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】复合函数的单调性，先考虑函数的定义域，再拆分为内层函数和外层函数，利用同增异减来判断
复合函数的单调性；
复合函数的奇偶性，先考虑函数定义域是否关于原点对称，再拆分为内层函数和外层函数，利用“内偶则
偶，内奇同外”进行判断，即若内层函数为偶函数，则复合函数为偶函数，若内层函数为奇函数，则复合
函数的奇偶性取决于外层函数的奇偶性，若外层函数为奇函数，则复合函数为奇函数，若外层函数为偶函
数，则复合函数为偶函数.
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学科网（北京）股份有限公司四、解答题（本题共6小题，共70分）
17. 数列 的前 项和为 ， ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 ，求数列 的前 项和 .
【答案】（1） ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用递推关系可求得 ，再得到 关系后即可证得数列 为等比数列，由此
可得通项公式；
（2）由（1）可得 ，利用错位相减法可求得结果.
【小问1详解】
由 得： ，两式相减得： 即
由 ， 得： ，故 ，且，故 且 ，
数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， ；
【小问2详解】
由（1）可得： ，
，
，
两式作差得：
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学科网（北京）股份有限公司，
.
18. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，讨论函数 在 上的单调性；
【答案】（1） ；
（2） 在 上单调递增.
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义即得；
（2）利用函数的单调性与导数符号之间的关系可得出结论.
【小问1详解】
因为 ，
所以 ，即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为 ，即 ；
【小问2详解】
因为
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴ ，
∴ 在 上恒成立，
在
∴ 上单调递增.
19. 在 中，已知 ＝ ．
（1）求 的值；
（2）求 ＋ ＋ 的最小值．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角余弦公式和同角三角函数关系对题给条件化简即可得到 的值；
（2）利用（1）的结论和均值定理即可求得 ＋ ＋ 的最小值．
【小问1详解】
在 中，因为 ＝ ，
所以 ＝ ，即 ＝ ，
即 ，即 ＝2；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
在 中， ，
则A、B均为锐角，则 ；
因为 ，所以
＝－ ＝－ ；
故 ＋ ＋ ＝ ＋ －
＝ ＝ ＋ ≥2 ＝ ，
（当且仅当 时取等号）
所以 ＋ ＋ 的最小值为 ．
20. 已知函数 ， 的图象与直线 相交，且两相
邻交点之间的距离为 .
（1）求 的解析式，并求 的单调区间；
（2）已知函数 ，若对任意 ，均有 ，求 的取值
范围.
【答案】（1） ， （2）
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【详解】分析：（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数
化为 ，利用正弦函数的周期公式可得 的值，利用正弦函数的单调性解不等式，可得
到函数 的递增区间；（2）对任意 ，均有 ，等价于 的最小值不小
于 的最大值，即 或 ，由此求得 的取值范围.
详解：（1）
与直线y=2的图象的两相邻交点之间的距离为 .
则T= .所以
单调增区间
(2)由 ，得
，当 时， ，要使 恒成立，
只需 ，解得
当 时， ，要使 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司只需 ，矛盾.
综上 的取值范围是
点睛：以三角恒等变换为手段，对三角函数恒等变换，进行考查三角函数的图象与性质是近几年高考考查
的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及
二倍角公一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
21. 近期受新冠疫情的影响，某地区遭受了奥密克戎病毒的袭击，为了控制疫情，某单位购入了一种新型
的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的消毒剂浓度y
（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：小时）变化的关系如下：当 时， ；当
时， .若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻
所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中
病毒的作用.
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒a（ ）个单位的消毒剂，要使接下来的4
小时中能够持续有效消毒，试求a的最小值.
【答案】（1）6小时 （2）2
【解析】
【分析】（1）根据题意得到 ，再分类讨论 与 两种情况下， 的解
集情况，从而得解；
（2）根据题意得到从第一次喷洒起，经过x（ ）小时后，浓度为 ，从而利用基本不等式
求得 ，进而解不等式 即可得解.
【小问1详解】
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学科网（北京）股份有限公司因为一次喷洒4个单位的消毒剂，所以空气中释放的消毒剂浓度为 ，
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ；
综上求得 ，
所以一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间最长可达6小时.
【小问2详解】
设从第一次喷洒起，经过x（ ）小时后，浓度为
，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
又 ，则 ，满足 ，等号成立，
所以当接下来的4小时中能够持续有效消毒时，可得 ，
解得 ，又 ， ，所以a的最小值为2.
【点睛】关键点点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项
均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
22. 已知函数 ， ．
（1）研究函数 在区间 上的单调性；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若对于 ，恒有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）在 上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1） 求导后对 的范围进行讨论，研究其单调性；
（2）构造函数 ，根据 对 的范围进行讨论进而求出结果.
【小问1详解】
函数 的定义域为 ．
，
当 时， ，而 ，所以 ，
当 时， ，而 ，
所以 ．
所以当 时， ，即 ．
综上， 在 上单调递增．
【小问2详解】
即 ，
设 ，
当 时，结合（1）知， 在 上是增函数，则 ，
所以当 时，不等式显然成立．
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，
当 时， ， ，所以 ，
所以 为增函数， ．
当 时， ，从而有 ，此时不等式恒成立．
当 时，令 ，即 ，
由前面分析知，函数 在 上是增函数，
且 ，
．
故存在唯一的 ，使得 ．
当 时， ， 为减函数且 ．
所以 与 恒成立矛盾．
综上所述， 的取值范围为 ．
第26页/共26页
学科网（北京）股份有限公司
