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2024年高考数学小专题(8+3+3)特训：指数函数与对数函数(难题篇)
一、选择题
(x+1)2 m(x-1)2
1. 若关于x的方程 + =5恰有三个不同的实数解x ，x ，x ，且x<0<x <x ，其中m
x x2+1 1 2 3 1 2 3
∈R，则x+x +x 的值为 ( )
1 2 3
3 1
A. B. C.1 D.2
2 2
2. 过点(1，a)可以做三条直线与曲线y=xex相切，则实数a的取值范围是 ( )
5
A. - ，0
e2
5
B. - ，e
e2
5 1
C. - ，-
e2 e
1
D. - ，0
e
3. 已知 f(x)=|ex-1|+1 ，若函数 g(x)=[f(x)]2+(a-2)f(x)-2a 有三个零点，则实数 a 的取值范围
是 ( )
A.(-2，-1) B.(-1，0) C.(0，1) D.(1，2)
4. 取整函数最早出现在著名科学家阿兰⋅图灵(Alan Turing)在20世纪30年代提出的图灵机理论中。
图灵机是一种理论上的计算模型，其中操作包括整数运算和简单逻辑判断。由于图灵机需要进行整数
计算，因此取整函数成为了必需的工具之一。现代数学中，常用符号[x]表示为不超过x的最大整数，如
[1.4]=1，现有函数f(x)=x-[x]，f(x)=k x在区间[1，5]上恰好有三个不相等的实数解，则k的取
值范围是 ( )
A. 6 ， 5
6 5
B. 5 ， 1
5 2
C. 1 ， 3
2 3
D. 5 ， 3
5 3
2sin2πx，-15 ≤x≤ 5
5. 已知函数f(x)=
|log (
5
x-1)|，
4
x> 5
4 ，若存在实数x
1
，x
2
，x
3
，x
4
(x
1
<x
2
<x
3
<x
4
)满足f(x
1
)=f(x
2
)
2 4
=f(x )=f(x )=m，则 ( )
3 4
5
A.0≤m≤1 B.x+x = C.x x -x -x =0 D.x x >0
1 2 2 3 4 3 4 3 4
|lg|x-1||，x≠1
6. 已知函数f(x)= ，则函数y=f(f(x))+m(m∈R)零点个数最多是 ( )
0，x=1
A.10 B.12 C.14 D.16
7. 已知函数f(x)=|sinx|，g(x)=kx(k>0)，若f(x)与g(x)图像的公共点个数为n，且这些公共点的横坐
标从小到大依次为x ，x ，⋯，x ，则下列说法正确的是 ( )
1 2 n
2 1
A.若n=1，则k>1 B.若n=3，则 =x +
sin2x 3 x
3 3
2
C.若n=4，则x+x >x +x D.若k= ，则n=2023
1 4 2 3 2023π
a
8. 已知函数f(x)=2x+lnx+1-a和函数g(x)=x- ，具有相同的零点x ，则e2x0lnx2的值为 ( )
e2x 0 0
A.2 B.-e C.-4 D.e2
二、多项选择题
9. 已知函数f(x)=
-x2-2x，x≤0，
且3f2(x)-4af(x)+2a+3=0有5个零点，则a的可能取值有
|log x|，x>0，
2
·1·( )
3
A.1 B.- C.-3 D.-5
2
π
10.已知函数f(x)满足：∀m，n∈R，f(m+n)+f(m-n)=2f(m)cosn，f(0)=1，f
2
= 3，则 ( )
π
A. f(x)为奇函数 B. f- -x
3
+f(x)=0
1
C.方程f(x)- x=0有三个实根 D. f(x)在(-1，0)上单调递增
2
-2，x<0
11.设f(x)= x ，则下列选项中正确的有 ( )
(x-1)2，x≥0
A.y=f(x)与y=a，a∈R的图象有两个交点，则a∈(1，+∞)
B.方程f(x)-m=0有三个实数根，则m∈(0，1]
C. f(x)≥1的解集是[2，+∞)
D.0≤f(f(x))≤1的解集是(-∞，-1]∪[0， 2+1]
三、填空题
12.函数f(x)=x4-24x+16，g(x)=6x3+ax2，方程f(x)=g(x)恰有三个根x ，x ，x ，其中x<x <x ，则
1 2 3 1 2 3
1
x+
1 x
1
(x +x )的值为 ．
2 3
|log x|，0<x≤3
3
13.已知函数f(x)=1x2-10x+8，x>3 ，若方程f(x)=m有四个不同的实根x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，则m的取值
3 3
(x -3)(x -3)
范围是 ；若满足x<x <x <x ，则 3 4 的取值范围是 .
1 2 3 4 xx
1 2
14.已知函数f(x)=
|2x-1|，x≤1
，关于x的方程f2(x)-a⋅f(x)=0有六个不等的实根，则实数a的取值
(x-2)2，x>1
范围是 .
·2·答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】A
3．【答案】A
4．【答案】B
5．【答案】C
6．【答案】B
7．【答案】B
8．【答案】C
9．【答案】C,D
10．【答案】B,C,D
11．【答案】A,B,D
12．【答案】-25
13．【答案】0<m<1；(0，3)
14．【答案】(0，1)
·3·
