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2024 年新结构模拟适应性特训卷（一）
高三数学
﹢耉诛旼闺ⅹ150刌钥 诛卽滧刌ⅹ150刌﹣
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．（2024上·河北沧州·高二校联考期末）已知数列{a }的通项公式a =n2+2，则123是该数列的（ ）
n n
A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项
【答案】C
【分析】根据通项公式可直接求出.
【详解】由a =n2 +2=123，解得n=11（n=−11舍去），
n
故选：C．
2．（2024上·四川凉山·高二统考期末）空间四边形ABCD中，点M 在AD上，且 DM =2MA ，N 为BC
中点，则MN等于（ ）
1 2 1 1 1 1
A． AB− AC+ AD B． AB− AC+ AD
2 3 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1
C． AB+ AC− AD D． AB− AC+ AD
2 2 3 2 2 3
【答案】C
【分析】作出空间四边形，即可得出MN的表达式.
【详解】由题意，在空间四边形ABCD中， DM =2MA ，N 为BC中点，
1 1
∴MA=− AD,BN = BC,
3 2
1 1 1 1( )
∴MN =MA+AB+BN =− AD+AB+ BC =− AD+AB+ AC−AB
3 2 3 2
1 1 1
=− AD+ AB+ AC,
3 2 2
故选：C.
学科网（北京）股份有限公司3．（2024上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末）若直线l:mx+ny−1=0圆x2+y2+2x=0相切，
则原点O到直线l距离的最大值为（ ）
A． 3 B．2 C．2 2 D．1
【答案】B
【分析】原点O在圆上，到切线的最大距离等于圆的直径.
【详解】圆x2+y2+2x=0，即(x+1)2+y2 =1，圆心坐标(−1,0)，半径为1，
直线l:mx+ny−1=0与圆相切，则圆心到直线距离等于半径1，
原点O在圆上，所以原点O到直线l距离的最大值为1+1=2.
故选：B
4．（2024上·山西太原·高三统考期末）如图是函数 f (x)的部分图象，则 f (x)的解析式为（ ）
sin6x cos6x
A． f(x)= B． f(x)=
2x−2−x 2x−2−x
sin6x cos6x
C． f(x)= D． f(x)=
2−x−2x 2−x−2x
【答案】C
【分析】利用函数的奇偶性及函数值符号判定选项即可.
【详解】由图象可知函数 f (x)为偶函数，且x→0+, f (x)<0，
四个选项函数的定义域均为 { x x≠0 } ，
sin(−6x) −sin6x
对于A项， f (−x)=
2−x−2x
=
− ( 2x−2−x)
= f (x) ，即 f (x)为偶函数，
而x→0+,2x−2−x >0,sin6x>0⇒ f (x)>0，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司cos(−6x)
cos6x
对于B、D项， f (−x)=
2−x−2x
=
− ( 2x−2−x)
=−f (x) ，
cos(−6x)
cos6x
f (−x)=
2x−2−x
=
− ( 2−x−2x)
=−f (x) ，显然两项均为奇函数，故B、D错误；
对于C项， f (−x)=
sin(−6x)
= sin6x = f (x)，即 f (x)为偶函数，
2x−2−x 2−x−2x
而x→0+,2−x−2x 0,sin6x 0⇒ f (x)<0，故C正确.
故选：C
5．（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）若x6 =a +a (x−6)+a (x−6)2++a (x−6)6，则a =
0 1 2 6 5
（ ）
A．6 B．16 C．36 D．90
【答案】C
【分析】将x6变形为
6+(x−6)
6，然后令展开式的通项公式中r =5即可求得结果.
【详解】因为x6 = 6+(x−6)
6，展开式的通项为T
r+1
=C
6
r×66−r×(x−6)r，
令r =5，可得T =C5×61×(x−6)5 =36(x−6)5，
6 6
所以a =36，
5
故选：C.
6．（2024上·江西·高三校联考期末）下表统计了2017年～2022年我国的新生儿数量（单位：万人）.
2 2 2 2 2 2
年份
017 018 019 020 021 022
年份代
1 2 3 4 5 6
码x
新生儿
1 1 1 1 1 9
数量y 723 523 465 200 062 56
经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且
y=−156.66x+a
，据此预测2023年新生
6
儿数量约为（ ）（精确到0.1）（参考数据：∑y =7929）
i
i=1
A．773.2万 B．791.1万 C．800.2万 D．821.1万
【答案】A
【分析】先求出x，y，
a
，得回归直线方程，再代入x=7可得结果.
7929
【详解】由题意得 x=3.5 ，y= =1321.5，
6
学科网（北京）股份有限公司所以a = y+156.66×3.5=1321.5+548.31=1869.81，
y=−156.66x+1869.81，
当x=7时，
y=−156.66×7+1869.81=773.19≈773.2.
故选：A.
7．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.
它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，
半圆所在的圆过椭圆的上焦点F(0,1)，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线x= 2 与半圆交于点A，与
2
半椭圆交于点B，则△ABF 的面积为（ ）
9( 2+1) 3( 2+1) 2+1
A． B． C． 2+1 D．
4 2 4
【答案】D
【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可.
【详解】由题意得，半圆的方程为x2+y2 =1(y≤0)，在半椭圆中b=c=1，则a= 2，
故半椭圆方程为 y2 +x2 =1(y≥0)，将x= 2 代入半椭圆，解得y =1，
B
2 2
2 2 2+2
将x= 代入半圆，解得y =− ，故 AB = ，
2 A 2 2
1 2+2 2 1+ 2
然S = × × = ，
ABF
2 2 2 4
故选：D
π
8．（2024上·江苏扬州·高二统考期末）在ABC中，已知D为边BC上一点，CD=λDB，∠BAD= ．若
4
tan∠ACB的最大值为2，则常数λ的值为（ ）
10−3 10+3 10+1 10−1
A． B． C． D．
4 4 4 4
【答案】D
学科网（北京）股份有限公司【分析】令CD=λDB=2λ且0≤λ≤1，求得△ABD外接圆半径为r= 2，若B(−1,0),D(1,0)，结合已
知得点A在圆x2+(y−1)2 =2被BD分割的优弧上运动，进而确定tan∠ACB的最大，只需AC与圆相切，综合
运用两点距离、圆的性质、正弦定理、三角恒等变换列方程求参数λ.
BD
【详解】令CD=λDB=2λ且0≤λ≤1，即BD=2，则△ABD外接圆半径为r= = 2，
2sin∠BAD
若B(−1,0),D(1,0)，△ABD的外接圆方程为(x−m)2+(y−n)2 =2，
(m+1)2+n2 =2 m=0
所以 ⇒ ，令圆心(m,n)为(0,1)，
(m−1)2+n2 =2 n=±1
即点A在圆x2+(y−1)2 =2被BD分割的优弧上运动，如下图，
要使tan∠ACB的最大，只需AC与圆相切，由上易知C(1+2λ,0)，
则|AC|= (1+2λ)2+1−2 =2 λ(λ+1)，而|BC|=2(λ+1)，由圆的性质有∠DAC =∠B，
|AC| |BC|
= π 3π 3π
ABC中sin∠B π ，∠ACB=π−(2∠B+ )= −2∠B，显然∠B< ，
sin(∠B+ ) 4 4 8
4
3π 1+tan2∠B
由tan∠ACB=tan( −2∠B)=2，则 =2⇒tan2∠B=3，
4 tan2∠B−1
2tan∠B 10−1
所以 =3⇒3tan2∠B+2tan∠B−3=0，可得tan∠B= （负值舍），
1−tan2∠B 3
λ λ+1
10−1 3 =
故sin∠B= ,cos∠B= ，而 sin∠B π ，
20−2 10 20−2 10 sin(∠B+ )
4
λ 2(λ+1) λ 2(λ+1)
所以 = ⇒ = ，
sin∠B sin∠B+cos∠B sin2∠B 1+2sin∠Bcos∠B
λ λ+1 11−2 10 10−1
整理得 = ，则λ= = .
11−2 10 7+2 10 4( 10−1) 4
故选：D
【点睛】关键点点睛：令CD=λDB=2λ且0≤λ≤1，B(−1,0),D(1,0)得到点A在圆x2+(y−1)2 =2被BD
分割的优弧上运动为关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
学科网（北京）股份有限公司9．（2024上·浙江宁波·高三镇海中学校考期末）已知复数z ，z ，则下列结论正确的有（ ）
1 2
A．z2 = z2 B．z ⋅z =z ⋅z C． z z = z ⋅ z D． z +z = z + z
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】BC
【分析】根据复数的运算性质以及模的运算公式对应各个选项逐个判断即可求解．
【详解】设z =a+bi，z =c+di，其中a,b,c,d∈R.
1 2
对于选项A: z2 =(a+bi)2 =a2−b2+2abi,z2 =a2−b2−2abi，所以2ab与−2ab不一定相等，故选项A
1 1
错误；
对于选项B: 因为z ⋅z =(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i，
1 2
所以z ⋅z =(ac−bd)−(ad+bc)i，
1 2
因为z ⋅z =(a−bi)(c−di)=(ac−bd)−(ad+bc)i，
1 2
所以z ⋅z =z ⋅z ,故选项B正确；
1 2 1 2
对于选项C: 因为z ⋅z =(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i,
1 2
所有 z z = (ac−bd)2+(ad+bc)2 = a2c2+b2d2+a2d2+b2c2
1 2
因为 z z = a2+b2 c2+d2 = a2c2+b2d2+a2d2+b2c2 ，
1 1
所以 z z = z ⋅ z ,故选项C正确；
1 2 1 2
对于选项D:因为z +z =(a+c)+(b+d)i，所以 z +z = (a+c)2+(b+d)2
1 2 1 2
z + z = a2+b2 + c2+d2 ，而 (a+c)2+(b+d)2 与 a2+b2 + c2+d2 不一定相等,故选项D 错误；
1 2
故选：BC.
10．（2024上·福建莆田·高一莆田第四中学校考期末）已知实数x，y满足x2+y2 =1，则一定有（ ）
1 1
A．−1≤x≤1 B．− ≤xy≤ C．−1≤x+y≤1D．− 5≤x+2y≤ 5
2 2
【答案】ABD
【分析】利用三角代换，结合三角函数恒等变换和性质，即可求解.
【详解】由cos2α+sin2α=1，
令x=cosα,y=sinα，
∴−1≤x=cosα≤1，故A正确；
1 1 1 1
xy=cosαsinα= sin2α∴− ≤ sin2α≤ ，故B正确；
2 2 2 2
π
x+y=cosα+sinα= 2sinα+ ∴− 2≤x+y≤ 2，故C错误；
4
x+2y=cosα+2sinα= 5sin(α+ϕ)∴− 5≤x+2y≤ 5，故D正确.
学科网（北京）股份有限公司故选：ABD
11．（2024上·山东烟台·高三统考期末）我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多
彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内
在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线y2 =2px(p>0)分别逆时针旋转90､1､80 270可围成“四角
花瓣”图案（阴影区域），则（ ）
A．开口向下的抛物线的方程为x2 =−2py(p>0)
B．若 AB =8，则p=2
C．设p=1，则t=1时，直线x=t截第一象限花瓣的弦长最大
D．无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值
【答案】ABD
【分析】根据图象的对称性判断A；由 AB =8及抛物线方程得到点A的坐标，由对称性得到点B坐标，
代入x2 =−2py(p>0)即可求p，判断B；由题意得到直线x=t截第一象限花瓣弦长的函数，借助导数即可
判断C；利用导数的几何意义求出过点B的切线，借助图象的对称性判断D.
p
【详解】对于A，因为抛物线y2 =2px(p>0)的焦点为 ,0，
2
p
若抛物线逆时针旋转270°，则开口向下，焦点为0,− ，
2
故开口向下的抛物线方程为：x2 =−2py(p>0)，故A正确；
对于B，由题意可知，A,B关于x轴对称，
因为 AB =8，设A(x ,y ),B(x ,y )，所以y =4，y =−4，
A A B B A B
因为点A在抛物线y2 =2px(p>0)上，所以16=2px ，
A
学科网（北京）股份有限公司8 8 8
所以x = ，即A ,4，所以B ,−4，
A p p p
64
由B在抛物线x2 =−2py(p>0)上，所以 =−2p×(−4)，解得p=2，故B正确；
p2
y2 =2x
对于C，当p=1，由 得A(2,2)，所以00，函数单调递增，
2
1
当3 0，
n 1
学科网（北京）股份有限公司3a =21 3(a +3d)=21 a =1 a =7
由题意得 4 ，即 1 ，解得 1 或 1 （舍去）
a 2 2 =a 1 a 5 (a 1 +d)2 =a 1 (a 1 +4d) d =2 d =0
∴a =2n−1,n∈N*.
n
n(a +a )
（2）由（1）可得S = 1 n =n2，
n 2
S n2 S S S S
则b = n = ,T =b +b +b ++b = 1 + 2 + 3 ++ n ，①
n 2n 2n n 1 2 3 n 2 22 23 2n
1 S S S S S
可得： T = 1 + 2 + 3 ++ n−1 + n ，②
2 n 22 23 24 2n 2n+1
1 a a a a S
①-②可得： T = 1 + 2 + 3 ++ n − n ，
2 n 2 22 23 2n 2n+1
a a a a
设K = 1 + 2 + 3 ++ n .③
n 2 22 23 2n
1 a a a a a
K = 1 + 2 + 3 ++ n−1 + n ，④
2 n 22 23 24 2n 2n+1
③-④可得：
1 1 n−1
1−
1
K =
1
+
2
+
2
++
2
−
2n−1
=
1
+2⋅
4 2
−
2n−1
=
3
−
2n+3，
2 n 2 22 23 2n 2n+1 2 1 2n+1 2 2n+1
1−
2
2n+3
则K =3− ，
n 2n
1 n2 2n+3 n2
∴ T =K − =3− − ，
2 n n 2n+1 2n 2n+1
n2+4n+6
∴T =6− ,n∈N*.
n 2n
18．（满分17分）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f(x)=ax+lnx+1，g(x)=xex−2x.
(1)若 f(x)的极大值为1，求实数a的值；
(2)若a=−1，求证： f(x)≤g(x).
1
【答案】(1)−
e
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可；
（2）把问题转化为证明xex−x−lnx−1≥0，构造函数，利用导数研究函数最值即可证明.
1 ax+1
【详解】（1） f(x)的定义域为(0,+∞)， f′(x)=a+ = .
x x
当a≥0时， f′(x)>0， f(x)在(0,+∞)上单调递增，函数 f(x)无极值；
学科网（北京）股份有限公司1 1
当a<0时，令 f′(x)>0，得0− ，
a a
1 1
所以 f(x)在0,− 上单调递增，在− ,+∞上单调递减，
a a
1 1 1 1
故当x=− 时， f(x)取得极大值，极大值为 f − =ln− =1，解得a=− .
a a a e
1 1
经验证a=− 符合题意，故实数a的值为− .
e e
（2）当a=−1时， f(x)=lnx−x+1，故要证 f(x)≤g(x)，即证xex−x−lnx−1≥0.
1 1
令F(x)=xex−x−lnx−1，则F′(x)=(x+1)ex− −1=(x+1)ex− ，x>0.
x x
1 1
令G(x)=ex− ，x>0，则G′(x)=ex+ >0，
x x2
所以G(x)在(0,+∞)上单调递增，
1
又因为G = e−2<0，G(1)=e−1>0，
2
1 1
所以∃x ∈ ,1，使得G(x )=0，即ex0 = ，
0 2 0 x
0
当x∈(0,x )时，G(x)<0，当x∈(x ,+∞)时，G(x)>0，
0 0
所以F(x)在(0,x )上单调递减，在(x ,+∞)上单调递增，
0 0
所以F(x) =F(x )=x ex0 −x −lnx −1.
min 0 0 0 0
1
又因为ex0 = ，即x =−lnx ，
x 0 0
0
所以F(x) =1−x +x −1=0，
min 0 0
所以F(x)≥0，即xex−x−lnx−1≥0，故 f(x)≤g(x)得证.
19．（满分17分）（2024·陕西铜川·统考一模）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当属由
两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）不等
式．马尔科夫不等式的形式如下：
E(X)
设X 为一个非负随机变量，其数学期望为E(X)，则对任意ε>0，均有P(X ≥ε)≤ ，
ε
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数
学期望间的关系．当X 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
学科网（北京）股份有限公司n
设X 的分布列为P(X = x )= p,i=1,2,,n,其中p ∈(0,+∞),x ∈[0,+∞)(i=1,2,,n),∑p =1，则对任
i i i i i
i=1
意ε>0，P(X ≥ε)= ∑ p ≤∑ x i p = 1 ∑x p ≤ 1 ∑ n x p = E(X) ，其中符号 ∑A i 表示对所有满足x ≥ε的
xi ≥ε i xi ≥ε ε i ε xi ≥ε i i ε i=1 i i ε xi ≥ε i
指标i所对应的A求和．
i
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量X 的期望为E(X)，方差为D(X)，则对任意ε>0，均有P ( X −E(X) ≥ε ) ≤
D(X)
ε2
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X 成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使
用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
【答案】(1)证明见解析
(2)不可信
【分析】（1）利用马尔科夫不等式的证明示例证明即可；
（2）由题意可知治愈的人数为X 服从二项分布，由二项分布计算均值与方差，再结合切比雪夫不等式
说明即可.
【详解】（1）法一：对非负离散型随机变量[X −E(X)]2及正数ε2使用马尔科夫不等式，
有P ( X −E(X) ≥ε ) =P ( [X −E(X)]2 ≥ε2) ≤ E[X −E(X)]2 = D(X) ．
ε2 ε2
法二：设X 的分布列为
P(X = x )= p,i=1,2,,n,
i i
n
其中p,x ∈(0,+∞)(i=1,2,,n),∑p =1，记µ=E(X)，则对任意ε>0，
i i i
i=1
P ( X −µ≥ε)= ∑ P ≤ ∑ (x i −µ)2 P = 1 ∑ (x −µ)2 P ≤ 1 ∑ n (x −µ)2 P = D(X) .（ 2）设在100
i ε2 i ε2 i i ε2 i i ε2
xi −µ≥ε xi −µ≥ε xi −µ≥ε i=1
名患者中治愈的人数为X ．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，
那么在此假设下，X ∼B(100,0.8),E(X)=100×0.8=80,D(X)=100×0.8×(1−0.8)=16．
D(X)
由切比雪夫不等式，有P(X ≤60)≤P ( X −80 ≥20 )≤ =0.04．
202
即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小，
据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．
学科网（北京）股份有限公司
