2024年高考数学新模式新题型数学与阅读理解学生版(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

2024年高考数学19题新模式新结构新题型
a 1,1 a 1,2 ⋯ a 1,m

a a ⋯ a
1 (2023上·北京朝阳·高三统考期中/24南通)已知A =  2,1 2,2 2,m
m  ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

a a ⋯ a
m,1 m,2 m,m
1

(m≥2)是m2个正整
数组成的m行m列的数表，当1≤i<s≤m,1≤j<t≤m时，记da ,a
i,j s,t
 =a -a
i,j s,j
 +a -a
s,j s,t
 ．设n
∈N*，若A 满足如下两个性质：
m
①a ∈1,2,3;⋯,n
i,j
 (i=1,2,⋯,m;j=1,2,⋯,m)；
②对任意k∈1,2,3,⋯,n  ，存在i∈1,2,⋯,m  ,j∈1,2,⋯,m  ，使得a =k，则称A 为Γ 数表．
i,j m n
1 2 3

(1)判断A = 2 3 1 3 
3 1 2

是否为Γ 3 数表，并求da 1,1 ,a 2,2  +da 2,2 ,a 3,3  的值；
(2)若Γ 数表A 满足da ,a
2 4 i,j i+1,j+1
 =1(i=1,2,3;j=1,2,3)，求A 中各数之和的最小值；
4
(3)证明：对任意Γ 数表A ，存在1≤i<s≤10,1≤j<t≤10，使得da ,a
4 10 i,j s,t
 =0．2 (镇海高三期末)19. 在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．
考察如图所示的光滑曲线C：y=fx
2

 
上的曲线段AB，其弧长为Δs，当动点从A沿曲线段AB运动到B点
时，A点的切线l 也随着转动到B点的切线l ，记这两条切线之间的夹角为Δθ(它等于l 的倾斜角与l 的
A B B A
倾斜角之差)．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程
 Δθ
度越大，因此可以定义K=
Δs


为曲线段AB的平均曲率；显然当B越接近A，即Δs越小，K就越能精确
Δθ
刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义K=lim
Δs→0 Δs

y
=

1+y2 
(若极限存在)为曲线C在点A处的
3 2
曲率．(其中y＇，y＇＇分别表示y=fx  在点A处的一阶、二阶导数)
(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；
x2 1
(2)求椭圆 +y2=1在 3,
4 2
 处的曲率；
(3)定义φy 
2 2y
=

1+y

为曲线y=fx
3
 的“柯西曲率”．已知在曲线fx  =xlnx-2x上存在两点
P x 1 ,fx 1    和Q x 2 ,fx 2    ，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求 3x + 3x 的取值范围． 1 23 (合肥一中期末)19．同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设a，b∈Z，m∈N*且m>1．
若ma-b则称a与b关于模m同余，记作a≡b(modm)(“|”为整除符号)．
(1)解同余方程x2-x≡0(mod3)；
(2)设(1)中方程的所有正根构成数列a
n
3
 ，其中a<a <a <⋯<a ．
1 2 3 n
①若b =a -a (n∈N*)，数列b
n n+1 n n
 的前n项和为S ，求S ；
n 2024
②若c =tana ⋅tana (n∈N*)，求数列c
n 2n+1 2n-1 n
 的前n项和T．
n
4 (北京西城)给定正整数N≥3，已知项数为m且无重复项的数对序列A：x 1 ,y 1  ,x 2 ,y 2  ,⋅⋅⋅,x m ,y m 
满足如下三个性质：①x,y∈1,2,⋅⋅⋅,N i i  ，且x i ≠y ii=1,2,⋅⋅⋅,m  ；②x i+1 =y ii=1,2,⋅⋅⋅,m-1  ；③p,q  与
q,p  不同时在数对序列A中.
(1)当N=3，m=3时，写出所有满足x=1的数对序列A；
1
(2)当N=6时，证明：m≤13；
(3)当N为奇数时，记m的最大值为TN  ，求TN  . 
5 (如皋市)对于给定的正整数n，记集合Rn={α|α=(x,x ,x ,⋅⋅⋅,x ),x∈R,j=1,2,3,⋅⋅⋅,n}，其中元素
1 2 3 n j
 
α称为一个n维向量.特别地，0=(0,0,⋅⋅⋅,0)称为零向量.
    
设k∈R，α=(a,a ,⋅⋅⋅,a )∈Rn，β=(b,b ,⋅⋅⋅,b )∈Rn，定义加法和数乘：kα=(ka,ka ,⋅⋅⋅,ka )，α+β=(a
1 2 n 1 2 n 1 2 n 1
+b,a +b ,⋅⋅⋅,a +b ).
1 2 2 n n
    
对一组向量α ，α ，⋯，α(s∈N ,s≥2)，若存在一组不全为零的实数k ，k ，⋯，k ，使得kα +k α +⋅⋅⋅+k
1 2 s + 1 2 s 1 1 2 2 s
 
α =0，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
s
(1)对n=3，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
 
①α=(1,1,1)，β=(2,2,2)；
  
②α=(1,1,1)，β=(2,2,2)，γ=(5,1,4)；
   
③α=(1,1,0)，β=(1,0,1)，γ=(0,1,1)，δ=(1,1,1).
        
(2)已知α，β，γ线性无关，判断α+β，β+γ，α+γ是线性相关还是线性无关，并说明理由．
  
(3)已知m(m≥2)个向量α ，α ，⋯，α 线性相关，但其中任意m-1个都线性无关，证明：
1 2 m
   
①如果存在等式kα +k α +⋅⋅⋅+k α =0(k∈R,i=1,2,3,⋅⋅⋅,m)，则这些系数k ，k ，⋯，k 或者全为零，
1 1 2 2 m m i 1 2 m
或者全不为零；
       
②如果两个等式kα +k α +⋅⋅⋅+k α =0，lα +l α +⋅⋅⋅+l α =0(k∈R,l∈R,i=1,2,3,⋅⋅⋅,m)同时成立，
1 1 2 2 m m 1 1 2 2 m m i i
k k k
其中l≠0，则 1 = 2 =⋅⋅⋅= m.
1 l l l
1 2 m
46 (江苏四校)交比是射影几何中最基本的不变量，在欧氏几何中亦有应用．设A，B，C，D是直线l上
AC BD
互异且非无穷远的四点，则称 ⋅ (分式中各项均为有向线段长度，例如AB=-BA)为A，B，C，D
BC AD
四点的交比，记为(A,B;C,D)．
1
(1)证明：1-(D,B;C,A)= ；
(B,A;C,D)
(2)若l ，l ，l ，l 为平面上过定点P且互异的四条直线，L ，L 为不过点P且互异的两条直线，L 与l ，l ，
1 2 3 4 1 2 1 1 2
l ，l 的交点分别为A ，B ，C ，D ，L 与l ，l ，l ，l 的交点分别为A ，B ，C ，D ，证明：(A ,B ;C ,D )=
3 4 1 1 1 1 2 1 2 3 4 2 2 2 2 1 1 1 1
(A ,B ;C ,D )；
2 2 2 2
(3)已知第(2)问的逆命题成立，证明：若ΔEFG与ΔEFG的对应边不平行，对应顶点的连线交于同一点，
则ΔEFG与ΔEFG对应边的交点在一条直线上．
7 (高考仿真)已知无穷数列a
n
5
 满足a =maxa ,a
n n+1 n+2
 -mina ,a
n+1 n+2
 (n=1,2,3,⋯)，其中max
{x,y}表示x，y中最大的数，min{x,y}表示x，y中最小的数.
(1)当a=1，a =2时，写出a 的所有可能值；
1 2 4
(2)若数列a
n
 中的项存在最大值，证明：0为数列a
n
 中的项；
(3)若a >0(n=1,2,3,⋯)，是否存在正实数M，使得对任意的正整数n，都有a ≤M？如果存在，写出一个
n n
满足条件的M；如果不存在，说明理由.8 (高考仿真)若项数为k(k∈N*，k≥3)的有穷数列{a }满足：0≤a<a <a <⋅⋅⋅<a ，且对任意的
n 1 2 3 k
i，j(1≤i≤j≤k)，a+a 或a-a 是数列{a }中的项，则称数列{a }具有性质P．
j i j i n n
(1)判断数列0,1,2是否具有性质P，并说明理由；
(2)设数列{a }具有性质P，a(i=1，2，⋯，k)是{a }中的任意一项，证明：a -a 一定是{a }中的项；
n i n k i n
(3)若数列{a }具有性质P，证明：当k≥5时，数列{a }是等差数列．
n n
69 (安徽)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中.
MQ
阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点M与两定点Q,P的距离之比
7

MP 
=λ(λ>0,λ≠1),
λ是一个常数，那么动点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线PQ上.已知动点M的轨迹是阿波罗尼斯
x2 y2
圆，其方程为x2+y2=4，定点分别为椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点F与右顶点A，且椭圆C的离
a2 b2
1
心率为e= .
2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，过右焦点F斜率为k(k>0)的直线l与椭圆C相交于B,D(点B在x轴上方)，点S,T是椭圆C上
异于B,D的两点，SF平分∠BSD,TF平分∠BTD.
BS
①求

DS 
的取值范围；
81π
②将点S､F､T看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若△SFT外接圆的面积为 ，求直线l的方程.
810 (郑州外国语)记U={1,2,⋯,100}．对数列a
n
8
 n∈N*  和U的子集T，若T=∅，定义S =0；若
T
T=t,t ,⋯,t
1 2 k
 ，定义S =a +a +⋯+a ．例如：T=1,3,66
T t1 t2 tk
 时，S =a+a +a ．现设a
T 1 3 66 n
 n∈N* 
是公比为3的等比数列，且当T=2,4  时，S =30．
T
(1)求数列a
n
 的通项公式；
(2)对任意正整数k1≤k≤100  ，若T1,2,⋯,k  ，求证：S <a +1； T k
(3)设C⊆U,D⊆U,SC≥SD，求证：S +S ≥2S ．
C C∩D D
11 (福建模拟)2022年北京冬奥会标志性场馆--国家速滑馆的设计理念来源于一个冰和速度结合的
创意，沿着外墙面由低到高盘旋而成的“冰丝带”，就像速度滑冰运动员高速滑动时留下的一圈圈风驰电掣
的轨迹，冰上划痕成丝带，22条“冰丝带”又象征北京2022年冬奥会.其中“冰丝带”呈现出圆形平面、椭圆
形平面、马鞍形双曲面三种造型，这种造型富有动感，体现了冰上运动的速度和激情这三种造型取自于球、
椭球、椭圆柱等空间几何体，其设计参数包括曲率、挠率、面积体积等对几何图形的面积、体积计算方法的研
究在中国数学史上有过辉煌的成就，如《九章算术》中记录了数学家刘徽提出利用牟合方盖的体积来推导
球的体积公式，但由于不能计算牟合方盖的体积并没有得出球的体积计算公式直到200年以后数学家祖冲
之、祖眶父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，才利用牟合方盖的体积推导出球的体积公
式原理的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．(Ⅰ)利用祖暅原理推导半径为R的球的体积公式时，可以构造如图所示的几何体M，几何体M的底面半径
和高都为R，其底面和半球体的底面同在平面α内.设与平面α平行且距离为d的平面β截两个几何体得
到两个截面，请在图中用阴影画出与图中阴影截面面积相等的图形并给出证明；
x2 y2
(Ⅱ)现将椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
9
 所围成的椭圆面分别绕其长轴、短轴旋转一周后得两个不同的椭球
A，B(如图)，类比(Ⅰ)中的方法，探究椭球A的体积公式，并写出椭球A，B的体积之比．12 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲
线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若f'x
10
 是fx  的导函数，f''x  是f'x  的导函数，
则曲线y=fx  在点 x,fx   
|f(x)|
处的曲率K=
1+[​f​ (x)]2
​

．
3
2
(1)若曲线fx  =lnx+x与gx  = x在1,1  处的曲率分别为K ，K ，比较K ，K 的大小； 1 2 1 2
(2)求正弦曲线hx  =sinx(x∈R)曲率的平方K2的最大值．1
13 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为1- (∠QPQ +∠Q PQ
2π 1 2 2 3
+⋯+∠Q PQ +∠Q PQ)，其中Q(i=1，2，⋯，k，k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平
k-1 k k 1 i
面Q PQ ，平面Q PQ ，⋯，平面Q PQ 和平面Q PQ 遍历多面体M的所有以P为公共点的面．
1 2 2 3 k -1 k k 1
​ ​ ​ ​
(1)任取正四面体的一个顶点，求该点处的离散曲率；
2
(2)如图1，已知长方体A B C D -ABCD，AB=BC=1，AA = ，点P为底面A B C D 内的一
1 1 1 1 1 2 1 1 1 1
个动点，则求四棱锥P-A ​BC ​D 在 ​ 点 ​ P处的离散曲率的最小值； ​ ​ ​ ​
(3)图2为对某个女孩面部识别过程中的三角剖分结果，所谓三角剖分，就是先在面部取若干采样点，然后
用短小的直线段连接相邻三个采样点形成三角形网格．区域α和区域β中点的离散曲率的平均值更大的
是哪个区域?(只需确定“区域α”还是“区域β”)
1114 近些年来，三维扫描技术得到空前发展，从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何
和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率，用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定：
多面体在顶点处的曲率等于2π与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的
多边形的内角的大小，用弧度制表示)，多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知，多面体的总曲率等
π
于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正方体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正方体在各顶点
2
π π
的曲率为2π-3× = ，故其总曲率为4π．
2 2
(1)求四棱锥的总曲率；
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多
面体的顶点数为D，棱数为L，面数为M，则有：D-L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率是
常数．
12