文档内容
2024 年新结构模拟适应性特训卷（一）
高三数学
﹢耉诛旼闺ⅹ150刌钥 诛卽滧刌ⅹ150刌﹣
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
1．（2024上·河北沧州·高二校联考期末）已知数列{a }的通项公式a =n2+2，则123是该数列的（ ）
n n
A．第9项 B．第10项 C．第11项 D．第12项
2．（2024上·四川凉山·高二统考期末）空间四边形ABCD中，点M 在AD上，且 DM =2MA ，N 为BC
中点，则MN等于（ ）
1 2 1 1 1 1
A． AB− AC+ AD B． AB− AC+ AD
2 3 2 2 3 2
1 1 1 1 1 1
C． AB+ AC− AD D． AB− AC+ AD
2 2 3 2 2 3
3．（2024上·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期末）若直线l:mx+ny−1=0圆x2+y2+2x=0相切，
则原点O到直线l距离的最大值为（ ）
A． 3 B．2 C．2 2 D．1
4．（2024上·山西太原·高三统考期末）如图是函数 f (x)的部分图象，则 f (x)的解析式为（ ）
sin6x cos6x
A． f(x)= B． f(x)=
2x−2−x 2x−2−x
sin6x cos6x
C． f(x)= D． f(x)=
2−x−2x 2−x−2x
学科网（北京）股份有限公司5．（2024上·四川成都·高三成都七中校考期末）若x6 =a +a (x−6)+a (x−6)2++a (x−6)6，则a =
0 1 2 6 5
（ ）
A．6 B．16 C．36 D．90
6．（2024上·江西·高三校联考期末）下表统计了2017年～2022年我国的新生儿数量（单位：万人）.
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码x 1 2 3 4 5 6
新生儿数量y 1723 1523 1465 1200 1062 956
经研究发现新生儿数量与年份代码之间满足线性相关关系，且
y=−156.66x+a
，据此预测2023年新生
6
儿数量约为（ ）（精确到0.1）（参考数据：∑y =7929）
i
i=1
A．773.2万 B．791.1万 C．800.2万 D．821.1万
7．（2024上·山东潍坊·高二统考期末）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.
它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，
半圆所在的圆过椭圆的上焦点F(0,1)，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线x= 2 与半圆交于点A，与
2
半椭圆交于点B，则△ABF 的面积为（ ）
9( 2+1) 3( 2+1) 2+1
A． B． C． 2+1 D．
4 2 4
π
8．（2024上·江苏扬州·高二统考期末）在ABC中，已知D为边BC上一点，CD=λDB，∠BAD= ．若
4
tan∠ACB的最大值为2，则常数λ的值为（ ）
10−3 10+3 10+1 10−1
A． B． C． D．
4 4 4 4
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
学科网（北京）股份有限公司选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024上·浙江宁波·高三镇海中学校考期末）已知复数z ，z ，则下列结论正确的有（ ）
1 2
A．z2 = z2 B．z ⋅z =z ⋅z C． z z = z ⋅ z D． z +z = z + z
1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
10．（2024上·福建莆田·高一莆田第四中学校考期末）已知实数x，y满足x2+y2 =1，则一定有（ ）
1 1
A．−1≤x≤1 B．− ≤xy≤ C．−1≤x+y≤1 D．− 5≤x+2y≤ 5
2 2
11．（2024上·山东烟台·高三统考期末）我国著名数学家华罗庚先生说：“就数学本身而言，是壮丽多
彩､千姿百态､引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内
在美.”图形美是数学美的重要方面.如图，由抛物线y2 =2px(p>0)分别逆时针旋转90､1､80 270可围成“四角
花瓣”图案（阴影区域），则（ ）
A．开口向下的抛物线的方程为x2 =−2py(p>0)
B．若 AB =8，则p=2
C．设p=1，则t=1时，直线x=t截第一象限花瓣的弦长最大
D．无论p为何值，过点B且与第二象限花瓣相切的两条直线的夹角为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024上·广东深圳·高一统考期末）已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B={ x∈N 2x−3<0 } ，则AB= ．
13．（2024·广东肇庆·校考模拟预测）采取随机模拟的方法估计某型号防空导弹击中目标的概率，先由
计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9，0表示未击中
目标，以三个随机数为一组，代表三次发射的结果，经随机数模拟产生了20组随机数：
107 956 181 935 271 832 612 458 329 683
331 257 393 027 556 498 730 113 537 989
根据以上数据，估计该型号防空导弹三次发射至少有一次击中目标的概率为 .
14．（2024·全国·模拟预测）在三棱锥S−ABC中，侧面SBC ⊥底面ABC,△ABC是等腰直角三角形，
且斜边AC =4，SB=SC = 10，则三棱锥S−ABC的外接球的表面积为 ．
学科网（北京）股份有限公司四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（ 满分13分）（ 2024·广东广州·仲元中学校考一模）在ABC内，角A，B，C所对的边分别为a，
b，c，且bcosA−ccosB=(a−c)cos(A+C)．
(1)求角B的值；
(2)若ABC的面积为3 3，b= 13，求ABC的周长．
16．（ 满分15分）（ 2024·广东肇庆·校考模拟预测）在四棱锥P−ABCD中，底面是边长为2的正方形，
PD⊥平面ABCD，PD=3，E是棱PB上一点.
(1)若E为PB的中点，求直线PB与平面AEC所成角的正弦值；
3 26
(2)若平面AEC与平面PBC的夹角的余弦值为 ，求点E的位置.
26
17．（满分15分）（2024·湖南邵阳·统考一模）已知递增的等差数列{a }( n∈N*) 满足：
n
a +a +a =21,a,a ,a 成等比数列.
2 4 6 1 2 5
(1)求数列{a }的通项公式；
n
S
(2)记S 为数列{a }的前n项和，b = n ，求数列{b }的前n项和T .
n n n 2n n n
18．（满分17分）（2024·全国·模拟预测）已知函数 f(x)=ax+lnx+1，g(x)=xex−2x.
(1)若 f(x)的极大值为1，求实数a的值；
(2)若a=−1，求证： f(x)≤g(x).
19．（满分17分）（2024·陕西铜川·统考一模）概率论中有很多经典的不等式，其中最著名的两个当
属由两位俄国数学家马尔科夫和切比雪夫分别提出的马尔科夫（Markov）不等式和切比雪夫（Chebyshev）
不等式．马尔科夫不等式的形式如下：
E(X)
设X 为一个非负随机变量，其数学期望为E(X)，则对任意ε>0，均有P(X ≥ε)≤ ，
ε
马尔科夫不等式给出了随机变量取值不小于某正数的概率上界，阐释了随机变量尾部取值概率与其数
学期望间的关系．当X 为非负离散型随机变量时，马尔科夫不等式的证明如下：
学科网（北京）股份有限公司n
设X 的分布列为P(X = x )= p,i=1,2,,n,其中p ∈(0,+∞),x ∈[0,+∞)(i=1,2,,n),∑p =1，则对任
i i i i i
i=1
意ε>0，P(X ≥ε)= ∑ p ≤∑ x i p = 1 ∑x p ≤ 1 ∑ n x p = E(X) ，其中符号 ∑A i 表示对所有满足x ≥ε的
xi ≥ε i xi ≥ε ε i ε xi ≥ε i i ε i=1 i i ε xi ≥ε i
指标i所对应的A求和．
i
切比雪夫不等式的形式如下：
设随机变量X 的期望为E(X)，方差为D(X)，则对任意ε>0，均有P ( X −E(X) ≥ε ) ≤
D(X)
ε2
(1)根据以上参考资料，证明切比雪夫不等式对离散型随机变量X 成立．
(2)某药企研制出一种新药，宣称对治疗某种疾病的有效率为80%．现随机选择了100名患者，经过使
用该药治疗后，治愈的人数为60人，请结合切比雪夫不等式通过计算说明药厂的宣传内容是否真实可信．
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