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2024 年新结构模拟适应性特训卷（三）
高三数学
（考试时间：150分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的．
1．已知数据4x +1，4x +1，…，4x +1的平均数和方差分别为4，10，那么数据x，x，…，x 的平均数
1 2 10 1 2 10
和方差分别为（ ）
5 5 3 3 5
A．−1， B．1， C．1， D． ，
2 2 2 4 8
1
2．“1<x<3”是“ >1”的（ ）
x−2
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知tanα2，且0<α<π，则cosα−sinα的值为（ ）
3 5 2 5 5 5
A．− B．− C．− D．
5 5 5 5
4．在财务审计中，我们可以用“本•福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的
自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是19这九个事件不是等可能的.具体来说，随机变量χ是一
k+1
组没有人为编造的首位非零数字，则P(χ=k)=lg ,k =1,2,,9.则根据本•福特定律，首位非零数字是1与首位
k
非零数字是8的概率之比约为（ ）（保留至整数，参考数据：lg2=0.301,lg3=0.477）.
A．4 B．6 C．7 D．8
5．一个球的内接正四棱柱的侧面积与上、下两底面面积的和的比为4:1，且正四棱柱的体积是4 2，则这个
球的体积是（ ）
A． 3π B．2 3π C．3 2π D．4 3π
6．在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是0.6,0.7和0.5，且三人的测试结果
相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率
为（ ）15 7 5 17
A． B． C． D．
29 8 8 29
x2 y2
7．如图，椭圆C: + =1(a>b>0)的左､右焦点分别为F，F，A为椭圆C上一点，B为y轴上一点，F在
a2 b2 1 2 1
以AB为直径的圆上，且3F A=−2F B，则椭圆C的离心率为（ ）
2 2
4 3 2 5 5
A． B． C． D．
5 5 5 5
8．键线式可以简洁直观地描述有机物的结构，在有机化学中极其重要．有机物萘可以用左图所示的键线式表
示，其结构简式可以抽象为右图所示的图形．已知ABCHIJ 与CDEFGH 为全等的正六边形，且AB=2，点P为该
图形边界（包括顶点）上的一点，则 AP⋅BP 的取值范围为（ ）
A．[
0,42
] B．[−1,42 ] C．[
0,36
] D．[−1,36 ]
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选
对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知集合A={x| y= 2−x}，B={y|y=x2+1}，则（ ）
A．A∩B=∅ B．AB=[1,2]
C．A∪B=R D．A∪( B )=(−∞,2 ]
R
10．在ABC中，AB = 6 ，BC =2，∠A=45°，则ABC的面积可以为（ ）
3− 3 3 3+ 3 6+ 2
A． B． C． D．
2 2 2 2
11．正项等比数列{a }的前n项积为T ，且满足a >1，(a −1)(a −1)<0，则下列判断正确的是（ ）
n n 1 6 7
A．0<q<1 B．a a >1 C．T 的最大值为T D．T >1
5 7 n 6 13
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
4+2i
12．i是虚数单位，复数 = ．
1−i13．函数 f (x)=log
1
( −x2−x+6 ) 的单调递减区间是 ．
2
14．我们称n ( n∈N*) 元有序实数组(x,x ,,x )为n维向量， x + x ++ x 为该向量的范数.已知n维向量
1 2 n 1 2 n
a=(x,x ,,x )，其中x ∈{−1,0,1}(i=1,2,n)，记范数为奇数的a的个数为A ，则A = ；A =
1 2 n i n 3 2n
（用含n的式子表示，n∈N∗）.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写
出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（满分13分）已知数列{a }的首项a =1，前n项和为S ，且S =2S +n+1 ( n∈N*) ．设b =a +1．
n 1 n n+1 n n n
(1)求数列{b }的通项公式；
n
1 1 1
(2)设c
n
=
4(log b )2−1
，数列{c
n
}的前n项和为T
n
，证明：
3
≤T
n
<
2
．
2 n
16．（满分15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，
BC =BD=CD= 3AB= 3AD，POOC.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.
17．（ 满分15分）2024年“元旦档”，某连锁购物中心在2023年12月31日隆重开业，该购物中心随机调查统
计了连续8天的客流量y（单位：百人），如下表：
日期 2月31日 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 1月5日 1月6日 1月7日
日期代码x 1 2 3 4 5 6 7 8
客流量y
16.6 18.8 22 24.9 28.6 33.1 38.9 46.3
(1)由表中数据，知可用线性回归模型拟合y与x之间的关系，请用相关系数加以说明；（结果精确到0.01）(2)求y关于x的线性回归方程yˆ =b ˆ x+aˆ（系数精确到0.01，并用精确后的b ˆ的值计算aˆ的值），并预测1月9
日的客流量．（预测结果精确到0.1）
∑ n ( x −x )( y −y )
i i
参考公式：相关系数r= i=1 ，线性回归方程yˆ =b ˆ x+aˆ中斜率和截距的最小二乘估计公式
∑ n ( x −x )2∑ n ( y −y )2
i i
i=1 i=1
∑ n ( x −x )( y −y )
i i
分别为b ˆ= i=1 ,aˆ= y−b ˆ x．
∑ n ( x −x )2
i
i=1
参考数据：y=28.65,∑ 8 ( x −x )2 =42,∑ 8 ( y −y )2 =736.9,∑ 8 ( x −x )( y −y ) =172.7， 4.2 ≈2.05, 7369 ≈85.84．
i i i i
i=1 i=1 i=1
1
18（满分17分）．在ABC中，tanB= .
tan(C−A)
(1)求A的值；
(2)若tanB=2,S =6，求AB的长.
ABC19．（ 满分17分）悬链线（Catenary）指的是一种曲线，指两端固定的一条（粗细与质量分布）均匀，柔软（不
能伸长）的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状，适当选择坐标系后，悬链线的方程是一个双曲余弦函数，
其解析式为 f (x)=
ex+e−x
，与之对应的函数g(x)=
ex−e−x
称为双曲正弦函数，令F(x)=
g(x)
.
2 2 f (x)
(1)若关于x的方程F f (2x)]+F [ 2λg(x)−5 =0在(0,ln3)上有解，求实数λ的取值范围；
(2)把区间(0,2)等分成2n ( n∈N∗) 份，记等分点的横坐标依次为x ，i=1、2、3、、2n−1 ( n∈N∗) ，设
i
h(x)= 4 − 2 ，记H(n)=h(x )+h(x )+h(x )++h(x )( n∈N∗) ，是否存在正整数n，使不等式
3 2x−1+1 1 2 3 2n−1
F(2x)
≥H(n)有解？若存在，求出所有n的值，若不存在，说明理由.
F(x)
