2024年高考数学新结构模拟适应性特训卷（三）答案(1)_2024年4月_01按日期_6号_2024届新结构高考数学合集_新高考19题（九省联考模式）数学合集140套

2024 年高考数学新结构模拟适应性特训卷（三） 答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的． 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B D A D B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 序号 9 10 11 答案 BCD AC ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 1+3i/3i+1  1 13 −3,−   2 32n−1 14 14 2 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应 写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（满分13分） 【答案】(1)b =2n n (2)证明见解析 【分析】（1）根据a =   S 1 ,n=1 求出 b n+1 =2 ( n∈N*) ，证明出{b }是以2为首项，2为公比的等 n S −S ,n≥2 b n n n−1 n 比数列，得到通项公式； 学科网（北京）股份有限公司1 1 1  1 1  1 1 （2）求出c =  − ，裂项相消法求和得到T = 1− < ，结合T ≥c = ，得到答 n 22n−1 2n+1 n 2 2n+1 2 n 1 3 案. 【详解】（1）在数列{a }中，S =2S +n+1 ( n∈N*) ①， n n+1 n ∴S =2S +n(n≥2)②， n n−1 由①-②得：S −S =2(S −S )+1，即，a =2a +1(n≥2)， n+1 n n n−1 n+1 n 所以a +1=2(a +1)(n≥2)，即b =2b (n≥2)， n+1 n n+1 n 在①中令n=1，得S =2S +2，即a +a =2a +2，而a =1，故a =3． 2 1 1 2 1 1 2 则a +1=2(a +1)，即b =2b ， 2 1 2 1 又b =a +1=2≠0，所以 b n+1 =2 ( n∈N*) ， 1 1 b n 所以数列{b }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以b =2n； n n 1 1 1 1 1 1  （2）c n = 4(log b )2−1 = 4n2−1 = (2n−1)(2n+1) = 2  2n−1 − 2n+1   ， 2 n 11 1 1 1  1 1  1 1  1 T =  − + − +⋅⋅⋅+ −  = 1− < ， n 21 3 3 5 2n−1 2n+1 2 2n+1 2 1 1 1 1 又因为c = >0，所以T ≥c = ，所以 ≤T < . n 4n2−1 n 1 3 3 n 2 16．（满分15分） 【答案】(1)证明过程见解析 15 (2) 5 【分析】（1）根据余弦定理、勾股定理，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可； （2）结合（1）中的结论，建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）设AD= 3，所以BC =BD=CD= 3AB= 3AD=3， π 因此∠BDC =∠DBC = ， 3 3+9−3 3 由余弦定理可知，cos∠ADB= = ， 2×3× 3 2 π 因为∠ADB∈(0,π)，所以∠ADB= ， 6 π ( )2 因此∠ADC = ，于是有AC = 3 +32 =2 3， 2 1 因此有AB2+BC2 = AC2，即AB⊥BC，而AB= AC， 2 学科网（北京）股份有限公司π π 所以∠ACB= ，因此∠OCB= ，即AC⊥BD， 6 6 因为PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD， 所以PO⊥BD，因为POAC =O,PO,AC⊂平面PAC， 所以BD⊥平面PAC； （2）因为PO⊥平面ABCD，OB,OC⊂平面ABCD， 所以PO⊥OB,PO⊥OC，由（1）知AC⊥BD， 所以建立如图所示的空间直角坐标系， π π 3 3 π 3 因为∠ACB= ，BC =3，所以OC =3cos = ，OB=3sin = 6 6 2 6 2 3 3 即POOC  ， 2 3   3   3 3  3 3  于是B ,0,0,D− ,0,0,P  0,0,  ,C  0, ,0  ， 2   2   2   2   3 3 3   3 3 3 3   3 3 3 PB= ,0,− ,PC =0, ,− ,PD=− ,0,− ，       2 2   2 2   2 2   设平面PCD的法向量为m=(x,y,z)，   3 3 3 3 m⋅PC = y− z=0  2 2  ( ) 则有 ⇒m= − 3,1,1 ，   3 3 3 m⋅PD=− x− z=0   2 2   − 3 3 − 3 3   m⋅PB 2 2 15 所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 cosm,PB =   = = ， m⋅ PB 9 27 5 3+1+1× + 4 4 15 即直线PB与平面PCD所成角的正弦值 . 5 17．（满分15分） 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)答案见解析 (2)yˆ =4.11x+10.16，51.3百人． 【分析】（1）先计算相关系数，再根据近似值判断说明即可； （2）先根据公式计算aˆ,b ˆ得出回归直线，再根据回归直线预测即得. 1 8×(1+8) 9 【详解】（1）由题意，知x= × = ， 8 2 2 ∑ 8 ( x −x )( y −y ) i i 172.7 172.7 172.7 所以相关系数r= i=1 = = ≈ ≈0.98． ∑ 8 ( x −x )2∑ 8 ( y −y )2 42×736.9 4.2×7369 2.05×85.84 i i i=1 i=1 因为y与x的相关系数r≈0.98，接近于1， 所以y与x的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合y与x之间的关系． ∑ 8 ( x −x )( y −y ) i i 172.7 （2）因为b ˆ= i=1 = ≈4.11， ∑ 8 ( x −x )2 42 i i=1 9 aˆ= y−b ˆ x≈28.65−4.11× ≈10.16，所以y关于x的线性回归方程为yˆ =4.11x+10.16． 2 又1月9日对应的日期代码x=10， 当x=10时，yˆ =4.11×10+10.16=51.26≈51.3，所以预测1月9日的客流量约为51.3百人． 18．（满分17分） π 3π 【答案】(1)A= 或A= . 4 4 (2)3 2 【分析】（1）利用三角函数恒等变换公式进行化简得到cos(C−A+B)=0，又由A+B+C =π，从而 可求解. π π （2）由tanB=2，得B> ，A= ，然后再利用正弦定理求出AC:AB=sinB:sinC =4:3 2，再由 4 4 1 S = AC⋅AB⋅sinA=6，从而可求解. ABC 2 1 sinB cos(C−A) 【详解】（1）tanB= ,∴ = ， tan(C−A) cosB sin(C−A) ∴cos(C−A)cosB=sin(C−A)sinB,∴cos(C−A+B)=0， ∴cos(π−2A)=0,∴cos2A=0， 且A∈(0,π)，则2A∈(0,2π)， 学科网（北京）股份有限公司π 3π π 3π ∴2A= 或2A= ,∴A= 或A= . 2 2 4 4 π 2 5 π （2）tanB=2,∴B> ,sinB= ,∴A= . 4 5 4  π 1 1 tanC−1 1 3 10 ∴tanC− = = ,∴ = ，解得tanC =3,∴sinC = .  4 tanB 2 1+tanC 2 10 2 5 3 10 由正弦定理得AC:AB=sinB:sinC = : =4:3 2. 5 10 设AC =4k,AB=3 2k(k >0)， 1 1 2 ∴S = AC⋅AB⋅sinA= ⋅4k⋅3 2k⋅ =6，解得k =1， ABC 2 2 2 ∴AB=3 2k =3 2. 19．（满分17分） 1  【答案】(1) ,+∞ 6  (2)1或2或3 【分析】（1）分析函数F(x)的单调性与奇偶性，由F f (2x)]+F [ 2λg(x)−5  =0可得出 e2x+e−2x =10−2λ ( ex−e−x) ，令t =ex−e−x，可得0x 2 ，则e2x1 >e2x2 >0，  2   2  2 2 2 ( e2x1 −e2x2 ) 所以，F(x 1 )−F(x 2 )=  1− e2x1 +1   −  1− e2x2 +1   = e2x2 +1 − e2x1 +1 = ( e2x1 +1 )( e2x2 +1 ) >0， 所以，F(x )>F(x )，则函数F(x)为R上的增函数， 1 2 又因为F(−x)= e−x−ex =−F(x)，所以，函数F(x)为R上的奇函数， e−x+ex 由F f (2x)]+F [ 2λg(x)−5  =0可得F f (2x)  =−F 2λg(x)−5  =F 5−2λg(x)  ， 所以， f (2x)=5−2λg(x)，即 e2x+e−2x =5−λ ( ex−e−x)， 2 学科网（北京）股份有限公司即e2x+e−2x =10−2λ ( ex−e−x) ， 令t =ex−e−x，其中x∈(0,ln3)，所以，t2 =e2x+e−2x−2，可得e2x+e−2x =t2+2， 因为函数y=ex、y=−e−x在(0,ln3)上均为增函数，则t =ex−e−x在(0,ln3)上为增函数， 8 4 t 8 当0 ，因此，实数λ的取值范围是 ,+∞. 3 t 2 6 6    4 2 4 2 8  2 2  （2）解：因为h(x)+h(2−x)= − + − = − +  3 2x−1+1 3 21−x+1 3 2x−1+1 1  +1  2x−1  8 2 ( 1+2x−1) 2 = − = ， 3 1+2x−1 3 所以，2H(n)=2 h(x 1 )+h(x 2 )+h(x 3 )++h(x 2n−1 )  2(2n−1) = h(x 1 )+h(x 2n−1 )  + h(x 2 )+h(x 2n−2 )  ++ h(x 2n−1 )+h(x 1 )  = 3 ， 2n−1 所以，H(x)= ， 3 F(2x) e4x−1 e2x+1 ( e2x+1 )2 e4x+1+2e2x 2 = ⋅ = = =1+ ，其中x≠0， F(x) e4x+1 e2x−1 e4x+1 e4x+1 e2x+e−2x 由基本不等式可得 e2x+e−2x >2 e2x⋅e−2x =2 ， F(2x) 2 所以， =1+ ∈(1,2)， F(x) e2x+e−2x 若存在正整数n，使不等式 F(2x) ≥H(n)有解，则H(n)= 2n−1 <2，解得n< 7 ， F(x) 3 2 又因为n∈N∗，所以，满足条件的正整数n的值为1或2或3. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）∀x∈D，m≤ f (x)⇔m≤ f (x) ； min （2）∀x∈D，m≥ f (x)⇔m≥ f (x) ； max （3）∃x∈D，m≤ f (x)⇔m≤ f (x) ； max （4）∃x∈D，m≥ f (x)⇔m≥ f (x) . min 学科网（北京）股份有限公司