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2024 年高考数学新结构模拟适应性特训卷（一）
答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的．
序号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C B C C A D D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
序号 9 10 11
答案 BC ABD ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12 {0,1}
17
13 /0.85
20
41π
14
2
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应
写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（满分13分）
π
【答案】(1)B=
3
(2)7+ 13
1
【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到cosB= ，求出角B；
2
（2）由余弦定理和面积公式得到方程，求出a+c，进而求出周长.
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由cos(A+C)=−cosB，得bcosA−ccosB=(c−a)cosB
∴由正弦定理，得sinBcosA−sinCcosB=(sinC−sinA)cosB．
∴sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosB．
∴sin(A+B)=2sinCcosB．
又A+B+C=π，
∴sin(A+B)=sinC．
又00，
n 1
3a =21 3(a +3d)=21 a =1 a =7
由题意得 4 ，即 1 ，解得 1 或 1 （舍去）
a 2 2 =a 1 a 5 (a 1 +d)2 =a 1 (a 1 +4d) d =2 d =0
∴a =2n−1,n∈N*.
n
n(a +a )
（2）由（1）可得S = 1 n =n2，
n 2
S n2 S S S S
则b = n = ,T =b +b +b ++b = 1 + 2 + 3 ++ n ，①
n 2n 2n n 1 2 3 n 2 22 23 2n
1 S S S S S
可得： T = 1 + 2 + 3 ++ n−1 + n ，②
2 n 22 23 24 2n 2n+1
1 a a a a S
①-②可得： T = 1 + 2 + 3 ++ n − n ，
2 n 2 22 23 2n 2n+1
a a a a
设K = 1 + 2 + 3 ++ n .③
n 2 22 23 2n
1 a a a a a
K = 1 + 2 + 3 ++ n−1 + n ，④
2 n 22 23 24 2n 2n+1
③-④可得：
1 1 n−1
1−
1
K =
1
+
2
+
2
++
2
−
2n−1
=
1
+2⋅
4 2
−
2n−1
=
3
−
2n+3，
2 n 2 22 23 2n 2n+1 2 1 2n+1 2 2n+1
1−
2
2n+3
则K =3− ，
n 2n
学科网（北京）股份有限公司1 n2 2n+3 n2
∴ T =K − =3− − ，
2 n n 2n+1 2n 2n+1
n2+4n+6
∴T =6− ,n∈N*.
n 2n
18．（满分17分）
1
【答案】(1)−
e
(2)证明见解析
【分析】（1）分类讨论，利用导数判断函数的单调区间，根据极大值建立方程求解即可；
（2）把问题转化为证明xex−x−lnx−1≥0，构造函数，利用导数研究函数最值即可证明.
1 ax+1
【详解】（1） f(x)的定义域为(0,+∞)， f′(x)=a+ = .
x x
当a≥0时， f′(x)>0， f(x)在(0,+∞)上单调递增，函数 f(x)无极值；
1 1
当a<0时，令 f′(x)>0，得0− ，
a a
1 1
所以 f(x)在0,− 上单调递增，在− ,+∞上单调递减，
a a
1 1 1 1
故当x=− 时， f(x)取得极大值，极大值为 f − =ln− =1，解得a=− .
a a a e
1 1
经验证a=− 符合题意，故实数a的值为− .
e e
（2）当a=−1时， f(x)=lnx−x+1，故要证 f(x)≤g(x)，即证xex−x−lnx−1≥0.
1 1
令F(x)=xex−x−lnx−1，则F′(x)=(x+1)ex− −1=(x+1)ex− ，x>0.
x x
1 1
令G(x)=ex− ，x>0，则G′(x)=ex+ >0，
x x2
所以G(x)在(0,+∞)上单调递增，
1
又因为G = e−2<0，G(1)=e−1>0，
2
1 1
所以∃x ∈ ,1，使得G(x )=0，即ex0 = ，
0 2 0 x
0
当x∈(0,x )时，G(x)<0，当x∈(x ,+∞)时，G(x)>0，
0 0
所以F(x)在(0,x )上单调递减，在(x ,+∞)上单调递增，
0 0
所以F(x) =F(x )=x ex0 −x −lnx −1.
min 0 0 0 0
1
又因为ex0 = ，即x =−lnx ，
x 0 0
0
所以F(x) =1−x +x −1=0，
min 0 0
学科网（北京）股份有限公司所以F(x)≥0，即xex−x−lnx−1≥0，故 f(x)≤g(x)得证.
19．（满分17分）
【答案】(1)证明见解析
(2)不可信
【分析】（1）利用马尔科夫不等式的证明示例证明即可；
（2）由题意可知治愈的人数为X 服从二项分布，由二项分布计算均值与方差，再结合切比雪夫不等式
说明即可.
【详解】（1）法一：对非负离散型随机变量[X −E(X)]2及正数ε2使用马尔科夫不等式，
有P ( X −E(X) ≥ε ) =P ( [X −E(X)]2 ≥ε2) ≤ E[X −E(X)]2 = D(X) ．
ε2 ε2
法二：设X 的分布列为
P(X = x )= p,i=1,2,,n,
i i
n
其中p,x ∈(0,+∞)(i=1,2,,n),∑p =1，记µ=E(X)，则对任意ε>0，
i i i
i=1
P ( X −µ≥ε)= ∑ P ≤ ∑ (x i −µ)2 P = 1 ∑ (x −µ)2 P ≤ 1 ∑ n (x −µ)2 P = D(X) .（ 2）设在100
i ε2 i ε2 i i ε2 i i ε2
xi −µ≥ε xi −µ≥ε xi −µ≥ε i=1
名患者中治愈的人数为X ．假设药企关于此新药有效率的宣传内容是客观真实的，
那么在此假设下，X ∼B(100,0.8),E(X)=100×0.8=80,D(X)=100×0.8×(1−0.8)=16．
D(X)
由切比雪夫不等式，有P(X ≤60)≤P ( X −80 ≥20 )≤ =0.04．
202
即在假设下，100名患者中治愈人数不超过60人的概率不超过0.04，此概率很小，
据此我们有理由推断药厂的宣传内容不可信．
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