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数学试题（ 2024.02）
一、单选题：本大题共8小题，共40.0分。
1.数据 的第 百分位 数为( )
A. 68,70,80,88,89,90,9B6. ,98 15 C. D.
【答69案 】B 70 75 96
【解析】【 分析】
本题考查求百分位数 ，属于基础题．
根据百分位数的定义即可得到答案．
【解答】
解：因为 ，根据百分位数的定义可知，该数学成绩的第 百 分位数为第 个数据 ．
故选： ．8 ×15%=1.2 15 2 70
2.抛掷两𝐵𝐵 枚质地均匀的硬币，设事件 “第一枚正面向上”，事件 “第二枚反面向上”，则事件 与
的关系是( ) 𝐴𝐴 = 𝐵𝐵 = 𝐴𝐴
𝐵𝐵A. B. C. 相互独立 D. 互斥
【答𝐴𝐴案⊆】𝐵𝐵 C 𝐴𝐴=𝐵𝐵
【解析】【 分析】
本题考查相互独立事 件的概率乘法公式，是较易题．
列举出抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果，再逐一分析判断各个选项即可．
【解答】
解：依题意，记抛掷一枚质地均匀的硬币正面向上记为 ，反面向上记为 ，
则抛掷两枚质地均匀的硬币的所有结果是： 1 ， 0
事件 包含的结果有： ，事件 包含(1,的1)结,(1果,0有),：(0,1),(0,0) ，
而事𝐴𝐴件 ，事件 中有不(1同,1的),(结1,0果)，则事𝐵𝐵件 与事件 不互相(1包,0含),(，0,也0)不相等，故AB错误；
显然事件𝐴𝐴 ，事件𝐵𝐵 都含有“ ”这一结𝐴𝐴果，即事𝐵𝐵件 ，事件 能同时发生，
因此，事𝐴𝐴件 与事𝐵𝐵件 不互斥，(1,故0)D错误； 𝐴𝐴 𝐵𝐵
𝐴𝐴 𝐵𝐵
因为 ，则 ，
2 1 2 1 1
所以𝑃𝑃(与𝐴𝐴)相=互4=独2立,𝑃𝑃，(𝐵𝐵故)
C
=正4=确2．,𝑃𝑃 (𝐴𝐴𝐵𝐵)=4 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝐵𝐵) =𝑃𝑃(𝐴𝐴)𝑃𝑃(𝐵𝐵)
故选𝐴𝐴： 𝐵𝐵．
3.已知数𝐶𝐶 列 的通项公式为 ，若 为单调递增数列，则实数 的取值范围是( )
2
{𝑎𝑎𝑛𝑛} 𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝑛𝑛 −𝜆𝜆𝑛𝑛(𝜆𝜆∈𝑅𝑅) {𝑎𝑎𝑛𝑛} 𝜆𝜆
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学科网（北京）股份有限公司 1 18A. B. C. D.
【答𝐀𝐀(案−】∞,A𝟑𝟑 ) (−∞,𝟐𝟐) (−∞,𝟏𝟏) (−∞,𝟎𝟎)
【解析】【 分析】
本题考查实数的取值 范围的求法，属于中档题．
由已知条件推导出 恒成立，由此能求出实数 的取值范围．
【解答】 𝑎𝑎𝑛𝑛+1−𝑎𝑎𝑛𝑛 =2𝑛𝑛+1−𝜆𝜆 >0 𝜆𝜆
解： 数列 的通项公式为
2
数列∵ 是{递𝑎𝑎𝑛𝑛增} 数列， 𝑎𝑎𝑛𝑛 =𝑛𝑛 −𝜆𝜆𝑛𝑛(𝜆𝜆∈𝑅𝑅)
{𝑎𝑎𝑛𝑛}
∴𝑎𝑎𝑛𝑛+1−𝑎𝑎𝑛𝑛
2 2
=(𝑛𝑛+1) −𝜆𝜆(𝑛𝑛恒+成1)立−，(𝑛𝑛 −𝜆𝜆𝑛𝑛)
=2𝑛𝑛+1−𝜆𝜆的>最0小值是 ，
∵2𝑛𝑛+1，− 𝜆𝜆 2×1+1−𝜆𝜆 =3−𝜆𝜆 >0
∴即𝜆𝜆实<数3 的取值范围是 ．
故选：𝜆𝜆． (−∞,3)
𝐴𝐴
4.在 中， ， ，则 ( )
2 2
△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐵𝐵����𝐵𝐵�⃗ =3𝐵𝐵����𝐶𝐶�⃗ 𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗=3𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗ 𝐵𝐵����𝐴𝐴�⃗=
A. B. C. D.
4 7 4 7 7 4 7 4
【答−案9𝐴𝐴�� 】 ��𝐵𝐵�⃗ C + 9𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗ 9𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗−9𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗ −9𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗+9𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗ 9𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗−9𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的基本定理及其意义，熟练掌握平面向量的加减运算法则是解本题的关键，属较易
题．
利用向量的线性运算求解即可．
【解答】
解：根据题意得，
2 1
𝐵𝐵����𝐴𝐴�⃗=𝐵𝐵����𝐵𝐵�⃗+𝐵𝐵����𝐴𝐴�⃗=3𝐵𝐵����𝐶𝐶�⃗−3𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗
2 1 2 2
= ��𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗−�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗�− ��𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗+�𝐵𝐵���𝐵𝐵�⃗�=−�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗+ 𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗− 𝐵𝐵����𝐶𝐶�⃗
．
3 3 3 9
2 2 7 4
故=选−�𝐴𝐴�
C
��𝐵𝐵�⃗ ．+ 3𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗−9��𝐴𝐴���𝐶𝐶�⃗−�𝐴𝐴���𝐵𝐵�⃗�=−9𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗+9𝐴𝐴����𝐶𝐶�⃗
5.已知 ，则 ( )
𝜋𝜋 1 𝜋𝜋
sin(𝛼𝛼−3)+√ 3cos𝛼𝛼 =3 sin(2𝛼𝛼+6)=
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2 2 1 7
【答3 案】D 9 −9 −9
【解析】【分析】
本题主要考查辅助角公式和二倍角公式，属于中档题．
先把 化简，然后利用二倍角公式以及辅助角公式计算可得答案．
𝜋𝜋 1
【解s答in】 ( 𝛼𝛼−3)+√ 3cos 𝛼𝛼 =3
解：因为 ，
𝜋𝜋 1
sin (𝛼𝛼−3)+√ 3cos 𝛼𝛼 =3
所以 ，
𝜋𝜋 𝜋𝜋 1
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝛼𝑠𝑠 3−𝛼𝛼𝛼𝛼𝑠𝑠 𝛼𝛼𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛 3+√ 3𝛼𝛼𝛼𝛼𝑠𝑠 𝛼𝛼 =3
所以 ，
1 √ 3 1
2sin𝛼𝛼+ 2 cos 𝛼𝛼 =3
两边平方得， ，
1 2 3 2 √ 3 1
4sin 𝛼𝛼+4cos 𝛼𝛼+ 2 sin𝛼𝛼·cos𝛼𝛼 =9
化简得 ，
1 √ 3 7
4cos2𝛼𝛼+ 4 sin2𝛼𝛼 =−18
所以 ．
𝜋𝜋 7
故选s
D
in． ( 2𝛼𝛼+6)=−9
6.我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率
论中有一个重要的结论：若随机变量 ～ ，当 充分大时，二项随机变量 可以由正态随机变量 来
近似地替代，且正态随机变量 的期望𝑌𝑌和𝐵𝐵方(差𝑛𝑛,𝑝𝑝与)二项𝑛𝑛随机变量 的期望和方差相𝑌𝑌同．法国数学家棣莫弗𝑋𝑋
𝑋𝑋 𝑌𝑌
在 年证明了 时这个结论是成立的，法国数学家、物理学家拉普拉斯
1
(1667在−1754年) 证1明73了3这个结论𝑝𝑝对=任2意的实数 都成立，因此，人们把这个结论称为棣(1莫74弗9一−拉普
1拉8斯27极) 限1定81理2．现抛掷一枚质地均匀的硬币 𝑝𝑝次∈(，0,利1]用正态分布估算硬币正面向上次数不少于 次的概
率为( ) 900 420
附：若 ～ ，则 ， ，
2
( 𝑋𝑋 𝑁𝑁(𝜇𝜇,𝜎𝜎 ) 𝑃𝑃(𝜇𝜇−𝜎𝜎 ≤𝑋𝑋 ≤𝜇𝜇+𝜎𝜎)≈0.6827 𝑃𝑃(𝜇𝜇−2𝜎𝜎 ≤𝑋𝑋 ≤𝜇𝜇+2𝜎𝜎)≈0.9545 𝑃𝑃(𝜇𝜇−3𝜎𝜎 ≤
𝑋𝑋A.≤ 𝜇𝜇+3𝜎𝜎 )≈0.9973) B. C. D.
【答0.9案7】72A5 0.84135 0.65865 0.02275
【解析】【分析】
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学科网（北京）股份有限公司 3 18本题主要考查正态分布曲线的特点及正态分布中两个量 和 的应用，考查曲线的对称性，属于一般题．
根据 服从二项分布求得期望与方差，由题意可知 服从𝜇𝜇正态𝜎𝜎分布，再根据正态分布曲线的对称性求解即
可． 𝑋𝑋 𝑋𝑋
【解答】
解：抛掷一枚质地均匀的硬币 次，设硬币正面向上次数为 ，
900 𝑋𝑋
则 ～ ，
1 1 1 1
由题
𝑋𝑋
意
𝐵𝐵
，
(90
～
0,2),𝐵𝐵(𝑋𝑋)
，
=
且
𝑛𝑛𝑝𝑝=900×2=45
，
0,𝐷𝐷(𝑋𝑋)=𝑛𝑛𝑝𝑝(1−𝑝𝑝)=90
，
0× 2×(1−2)=225
2 2 2
因为 𝑋𝑋 𝑁𝑁(𝜇𝜇,𝜎𝜎 ) 𝜇𝜇 =𝐵𝐵(𝑋𝑋)=4，50即 𝜎𝜎 =𝐷𝐷(𝑋𝑋)=225=15 ，
所以𝑃𝑃利(用𝜇𝜇−正2态𝜎𝜎分≤布𝑋𝑋估≤算𝜇𝜇硬+币2𝜎𝜎正)≈面0向.9上54次5数不𝑃𝑃少(4于50−次2×的1概5率≤为𝑋𝑋 ≤450+2×15)≈0.9545
420 𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≥420)=𝑃𝑃(𝑋𝑋 ≥450−2×15)≈
．
0.9545
故2选：+0．.5 =0.97725
7.已知实𝐴𝐴 数 满足 ，记
2 2 2 2
，𝑥𝑥1则,𝑥𝑥2,的𝑦𝑦1最,𝑦𝑦大2 值是𝑥𝑥1( + )𝑦𝑦 1 =2,𝑥𝑥2 +𝑦𝑦2 =2,𝑥𝑥1𝑥𝑥2+𝑦𝑦1𝑦𝑦2 =0 𝑤𝑤 =|𝑥𝑥1+𝑦𝑦1−2√ 2|+|𝑥𝑥2+
A𝑦𝑦2. −2√ 2| 𝑤𝑤 B. C. D.
【答2√案 2】C 4√ 2 6√ 2 8√ 2
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，向量数量积的坐标表示与向量的垂直关系，是中档题．
由已知结合向量数量积的坐标表示可得 ，然后结合点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系
即可求出． 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⊥𝑂𝑂𝑁𝑁
【解答】
解：设 ，因为 ，
2 2 2 2
𝑂𝑂(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1),𝑁𝑁(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) 𝑥𝑥1 +𝑦𝑦1 =2,𝑥𝑥2 +𝑦𝑦2 =2,𝑥𝑥1𝑥𝑥2+𝑦𝑦1𝑦𝑦2 =0
所以 ､ 在以原点 为圆心， 为半径的圆上，且 ．
𝑂𝑂 𝑁𝑁 𝑂𝑂(0,0) √ 2 𝑂𝑂𝑂𝑂 ⊥𝑂𝑂𝑁𝑁
设点 ､ 到直线 的距离之和为 ，则 ，即 ，转
�𝑥𝑥1+𝑦𝑦1−2√ 2� �𝑥𝑥2+𝑦𝑦2−2√ 2�
化为求𝑂𝑂 𝑁𝑁 的最大𝑥𝑥值+．𝑦𝑦 −2√ 2=0 𝑢𝑢 𝑢𝑢 = √ 2 + √ 2 𝑤𝑤 =√ 2𝑢𝑢
设点 √为 2点𝑢𝑢 与点 的中点，
设 点𝑃𝑃到直线𝑂𝑂 𝑁𝑁 的距离为 ，则 ，
又 𝑃𝑃 𝑥𝑥+𝑦𝑦− 故2√ 2 点=轨0迹为圆 𝑑𝑑 𝑢𝑢 =．2 𝑑𝑑
1 2 2
|𝑂𝑂𝑃𝑃|=2|𝑂𝑂𝑁𝑁|=1. 𝑃𝑃 𝑥𝑥 +𝑦𝑦 =1
圆 上点到直线 距离的最大值 ．
2 2 2√ 2
𝑥𝑥 +𝑦𝑦 =1 𝑥𝑥+𝑦𝑦−2√ 2=0 𝑑𝑑max = √ 2 +1=3
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学科网（北京）股份有限公司 4 18所以 的最大值是 ．
故选：𝑤𝑤 ． 6√ 2
𝐶𝐶
8.已知 是定义在 上的单调函数，满足 ，则函数 的零点所在
𝑥𝑥
区间为𝑓𝑓．(𝑥𝑥() ) (0,+∞) 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑒𝑒 −2ln𝑥𝑥+2)=𝑒𝑒−1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
A. B. C. D.
1 1 1 1
【答�0案,𝑒𝑒】 2�
C
�𝑒𝑒 2,𝑒𝑒� �𝑒𝑒,1� (1,𝑒𝑒)
【解析】【分析】
本题考查函数的解析式的求法，注意运用换元法，考查函数零点存在性定理的运用，考查运算能力，属于
难题．
由题意可设 ，则 ，又由 ，即
𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑡𝑡
，解得𝑡𝑡 =𝑓𝑓(，𝑥𝑥)可−得𝑒𝑒 −2的𝑙𝑙𝑛𝑛解𝑥𝑥+析2式，运𝑓𝑓(用𝑥𝑥)函=数𝑒𝑒零+点2存𝑙𝑙𝑛𝑛在𝑥𝑥性+定𝑡𝑡−理2即可得到𝑓𝑓(所𝑡𝑡)求=结𝑒𝑒论−．1 𝑒𝑒 +2𝑙𝑙𝑛𝑛𝑡𝑡+𝑡𝑡 =
𝑒𝑒【+解1答】 𝑡𝑡 =1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
解：根据题意，对任意的 ，都有 ，
𝑥𝑥
又由 是定义在 𝑥𝑥上∈的(0单,+调∞函)数， 𝑓𝑓(𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑒𝑒 −2𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥+2)=𝑒𝑒−1
则 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (0,+∞为)定值，
𝑥𝑥
设𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑒𝑒 −2𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥+2 ，
𝑥𝑥
则𝑡𝑡 =𝑓𝑓(𝑥𝑥)−𝑒𝑒 −2𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥+2，
𝑥𝑥
又由𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑒𝑒 +2𝑙𝑙，𝑛𝑛𝑥𝑥 +𝑡𝑡−2
即 𝑓𝑓(𝑡𝑡)=𝑒𝑒−1 ，
𝑡𝑡
解得𝑒𝑒 +2𝑙𝑙𝑛𝑛，𝑡𝑡+ 𝑡𝑡 =𝑒𝑒+1
则 𝑡𝑡 =1 ，
𝑥𝑥
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=−1+2𝑙𝑙𝑛𝑛𝑥𝑥+𝑒𝑒
，可得 在 上递增，
2 𝑥𝑥
𝑓𝑓′(𝑥𝑥)=𝑥𝑥+𝑒𝑒 >0 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (0,+∞)
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学科网（北京）股份有限公司 5 18，
1
1 𝑒𝑒
𝑓𝑓(𝑒𝑒)=𝑒𝑒 −2−1，< 0
𝑓𝑓(1)=𝑒𝑒−1>0
则 在 上有零点．
1
故选𝑓𝑓(𝑥𝑥：) ．(𝑒𝑒 ,1)
二、多选𝐶𝐶 题：本大题共3小题，共18.0分。
9.设 是全集， 定义 ，对 的真子集 和 ，下列说法正确的是( )
𝑠𝑠 1,𝑠𝑠 ∈𝐴𝐴
𝑋𝑋 𝐴𝐴⊆𝑋𝑋, 𝑓𝑓𝐴𝐴 =� 𝑋𝑋 𝐴𝐴 𝐵𝐵
A. 若 则 0,𝑠𝑠 ∉𝐴𝐴 B. 若 则
𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠
C. 若𝐴𝐴∩𝐵𝐵 =则⌀, 𝑓𝑓𝐴𝐴∪𝐵𝐵 =𝑓𝑓𝐴𝐴 +𝑓𝑓𝐵𝐵 D. 若𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ≠⌀,则𝑓𝑓𝐴𝐴∪𝐵𝐵 <𝑓𝑓𝐴𝐴 +𝑓𝑓𝐵𝐵
𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠
【答案𝐴𝐴】⊆A𝐵𝐵C,D 𝑓𝑓 𝐴𝐴 ⩽𝑓𝑓𝐵𝐵 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ≠⌀, 𝑓𝑓𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ⩽𝑓𝑓𝐴𝐴 +𝑓𝑓𝐵𝐵
【解析】【分析】
本题考查了新定义特征函数、集合之间的关系及其运算、元素与集合之间的关系，考查了推理能力，属于
中档题．
对函数中的 属于什么集合进行分类讨论，利用题中新定义的函数求出的函数值，从而得到答案即可．
【解答】 𝑠𝑠
解： 项： 当 时， ，同理当 时， ，
𝐴𝐴 ∵𝐴𝐴∩𝐵𝐵，=A正⌀,确∴ ；𝑠𝑠 ∈𝐴𝐴 𝑠𝑠 ∉𝐵𝐵 𝑠𝑠 ∈𝐵𝐵 𝑠𝑠 ∉𝐴𝐴
𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠
∴项𝑓𝑓𝐴𝐴∪：𝐵𝐵 =𝑓𝑓𝐴𝐴 +𝑓𝑓𝐵𝐵 分三种情况： 且 ， 且 ， 且 ，
𝑠𝑠 𝑠𝑠
𝐵𝐵 ，B∵错𝐴𝐴误∩；𝐵𝐵 ≠⌀,∴𝑠𝑠 ∈𝐴𝐴∪𝐵𝐵 𝑠𝑠 ∈𝐴𝐴 𝑠𝑠 ∈𝐵𝐵 𝑠𝑠 ∈𝐴𝐴 𝑠𝑠 ∉𝐵𝐵 𝑠𝑠 ∉𝐴𝐴 𝑠𝑠 ∈𝐵𝐵 ∴𝑓𝑓𝐴𝐴∪𝐵𝐵 ⩽𝑓𝑓𝐴𝐴 +
𝑠𝑠
𝑓𝑓𝐵𝐵项 ， 若 ，则 ， ， ，C正确；
𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠
𝐶𝐶项∵：𝐴𝐴若⊆𝐵𝐵 ∴ ∀𝑠𝑠，∈则𝐴𝐴 𝑠𝑠，∈且𝐵𝐵 ∴𝑓𝑓，𝐴𝐴 =1=𝑓𝑓𝐵𝐵 ∴𝑓𝑓𝐴𝐴，⩽𝑓𝑓𝐵𝐵 ，D正确．
𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠 𝑠𝑠
𝐷𝐷故选ACD∀．𝑠𝑠 ∈ 𝐴𝐴∩𝐵𝐵 𝑠𝑠 ∈𝐴𝐴 𝑠𝑠 ∈𝐵𝐵 ∴𝑓𝑓𝐴𝐴∩𝐵𝐵 =𝑓𝑓𝐴𝐴 ·𝑓𝑓𝐵𝐵 ∴𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ≠⌀,𝑓𝑓𝐴𝐴∩𝐵𝐵 ⩽𝑓𝑓𝐴𝐴 +𝑓𝑓𝐵𝐵
10.已知半径为 的球与圆台的上下底面和侧面都相切．若圆台上下底面半径分别为 和 ，母线长为 ，球
的表面积与体积𝑅𝑅分别为 和 ，圆台的表面积与体积分别为 和 则下列说法正确的𝑟𝑟1是𝑟𝑟(2 ) 𝑙𝑙
A. 𝑆𝑆1 B. 𝑉𝑉 1 C. 𝑆𝑆2 𝑉𝑉2. D. 的最大值为
𝑆𝑆1 𝑉𝑉1 𝑆𝑆1 2
【答 𝑙𝑙 = 案 𝑟𝑟 】 1+ AB 𝑟𝑟 C 2 𝑅𝑅 =√ 𝑟𝑟1𝑟𝑟2 𝑆𝑆2 =𝑉𝑉2 𝑆𝑆2 3
【解析】【分析】
本题主要考查了切线长定理，圆台、球的表面积和体积公式，是中档题．
利用切线长定理判断 利用勾股定理判断 ；利用圆台和球的表面积和体积公式判断 ， ．
𝐴𝐴; 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐷𝐷
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学科网（北京）股份有限公司 6 18【解答】
解：由切线长定理易得 ， A正确；
由勾股定理知 𝑙𝑙 =𝑟𝑟1+𝑟𝑟2 ，解得 ，B正确；
2 2 2
(2𝑅𝑅) =(𝑟𝑟1+𝑟𝑟2) −(𝑟𝑟1−𝑟𝑟2) =4𝑟𝑟1𝑟𝑟， 2 𝑅𝑅 =√ 𝑟𝑟1𝑟𝑟2
2 2 2
𝑆𝑆1 4𝜋𝜋𝑅𝑅 4𝜋𝜋𝑅𝑅 2𝑅𝑅
𝑆𝑆2 = 𝜋𝜋�𝑟𝑟1 2 +𝑟𝑟2 2 +(𝑟𝑟1+𝑟𝑟2)𝑙𝑙�=2𝜋𝜋(𝑟𝑟1 2 +𝑟𝑟2 2 +𝑟𝑟1𝑟𝑟2)=𝑟𝑟1 2 +𝑟𝑟2 2 +𝑟𝑟1𝑟𝑟2
，
4 3 4 3 2
𝑉𝑉1 3𝜋𝜋𝑅𝑅 3𝜋𝜋𝑅𝑅 2𝑅𝑅
𝑉𝑉 所 2 以 =1 3𝜋𝜋(𝑟𝑟1 2 +，𝑟𝑟2 2 C +正𝑟𝑟1𝑟𝑟确2)·；2𝑅𝑅 =2𝑅𝑅 3 𝜋𝜋 (𝑟𝑟1 2 +𝑟𝑟2 2 +𝑟𝑟1𝑟𝑟2) =𝑟𝑟1 2 +𝑟𝑟2 2 +𝑟𝑟1𝑟𝑟2
𝑆𝑆1 𝑉𝑉1
𝑆𝑆2 =𝑉𝑉2 ，当且仅当 时等号成立，这与圆台的定义矛盾，故D错误．
𝑆𝑆1 2𝑟𝑟1𝑟𝑟2 2 2
故 𝑆𝑆2 选 =𝑟𝑟 A 1 2 B + C 𝑟𝑟2 2 ． +𝑟𝑟 1𝑟𝑟2 = 𝑟𝑟 𝑟𝑟 1 2 + 𝑟𝑟 𝑟𝑟 2 1 +1 ≤3 𝑟𝑟1 =𝑟𝑟2
11.已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，
，𝑓𝑓若(𝑥𝑥),𝑔𝑔(为𝑥𝑥)偶函数，则下𝑅𝑅列𝑔𝑔一′(定𝑥𝑥)成立𝑔𝑔(的𝑥𝑥)有( ) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑔𝑔′(𝑥𝑥)−8=0 𝑓𝑓(𝑥𝑥−2)−𝑔𝑔′(6−
A𝑥𝑥). −8=0 𝑔𝑔(𝑥𝑥) B.
C. 𝑔𝑔′(4)=0 D. 𝑓𝑓(1)+𝑓𝑓(3)=( 1 6)
20
【答𝑓𝑓(案20】23A)B=D 8 ∑𝑛𝑛=1𝑓𝑓 =160
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的奇偶性与周期性，考查求抽象函数的函数值，属于较难题．
由 是偶函数得出 是奇函数，由已知两条件推出 是以 为周期的函数，然后在已知式中对自变
′ ′
量赋𝑔𝑔(值𝑥𝑥)求解． 𝑔𝑔 (𝑥𝑥) 𝑔𝑔 (𝑥𝑥) 4
【解答】
解： 是偶函数，则 ，两边求导得 ，
′ ′
所以𝑔𝑔(𝑥𝑥) 是奇函数，故𝑔𝑔(−𝑥𝑥)=𝑔𝑔．(𝑥𝑥 ) −𝑔𝑔 (−𝑥𝑥)=𝑔𝑔 (𝑥𝑥)
′ ′
对于𝑔𝑔，(𝑥𝑥由) 𝑔𝑔 (0)=0 ，代入
′ ′ ′
𝐴𝐴 𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑔𝑔 (𝑥𝑥)，−得8=0⇒𝑓𝑓(𝑥𝑥−2)+𝑔𝑔 (𝑥𝑥−2)−8=，0 ⇒𝑓𝑓(𝑥𝑥−2)=8−𝑔𝑔 (𝑥𝑥−2) 𝑓𝑓(𝑥𝑥−
′ ′ ′
又2)−𝑔𝑔 (是6−奇𝑥𝑥函)数−得8=0 8−𝑔𝑔 (𝑥𝑥−2)−𝑔𝑔 (6−𝑥𝑥)−8=0
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′
𝑔𝑔 (，𝑥𝑥) 𝑔𝑔 (𝑥𝑥−2)=−𝑔𝑔 (6−𝑥𝑥)=𝑔𝑔 (𝑥𝑥−6)⇒𝑔𝑔 (𝑥𝑥+6−2)=𝑔𝑔 (𝑥𝑥+6−6)⇒𝑔𝑔 (𝑥𝑥+4)=
′
所𝑔𝑔 (以𝑥𝑥) 是周期函数，且周期为 ， ，故A正确
′ ′ ′
对选𝑔𝑔项(B𝑥𝑥，) 令 得， 4 𝑔𝑔 (0)=，𝑔𝑔令(4)=0得， ; ，
′ ′
故 𝑥𝑥 =1，故𝑓𝑓B(1正)+确𝑔𝑔；( 1)−8=0 𝑥𝑥 =5 𝑓𝑓(3)−𝑔𝑔 (1)−8=0
𝑓𝑓(1)+𝑓𝑓(3)=16
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学科网（北京）股份有限公司 7 18对选项C：令 得 ，即
′ ′
𝑥𝑥 =2023 ，𝑓𝑓( 2023)+𝑔𝑔 (2023)−8=0⇒𝑓𝑓(2023)+𝑔𝑔 (4×505+3)−8=0
′
𝑓𝑓若(2023)+𝑔𝑔 (3，)−则8=0 ，
′ ′ ′ ′
但𝑓𝑓(2023不)=一8定为 𝑔𝑔，(故3)C=错0误𝑔𝑔；( 3)=𝑔𝑔 (−1+4)=𝑔𝑔 (−1)=0
′
对𝑔𝑔选(项−1D)：令 0得， ，故 ，
′ ′ ′ ′
𝑥𝑥 =，4所以𝑓𝑓(4)+𝑔𝑔 (．4) −8=𝑓𝑓(4)+𝑔𝑔 (0)−8=0 𝑓𝑓(4)=8 𝑔𝑔 (2)=𝑔𝑔 (2−4)=
′ ′ ′
令𝑔𝑔 (−2)=，−得𝑔𝑔 (2) 𝑔𝑔 (2)=0，则
′
𝑥𝑥 =2 𝑓𝑓(2)，+ 𝑔𝑔 (2)−8=0 𝑓𝑓(2)=8
由𝑓𝑓(1)+𝑓𝑓是(3以)=为1周6 期得 ，
′ ′
𝑔𝑔 (𝑥𝑥) 4 𝑓𝑓(𝑥𝑥)+𝑔𝑔 (𝑥𝑥)−8=0 ，故D正确．
20
∴故∑选𝑛𝑛=A1B𝑓𝑓D(．𝑛𝑛) =5[𝑓𝑓(1)+𝑓𝑓(2)+𝑓𝑓(3)+𝑓𝑓(4)]=5×(8+16+8)=160
三、填空题：本大题共3小题，共15.0分。
12.已知集合 ，集合 ，则以集合 为定义域，集合 为值域的函数的个数为
用数字作答 𝐴𝐴={1,2,3,4,5} 𝐵𝐵 ={0,1,2} 𝐴𝐴 𝐵𝐵 .(
【答案】 )
【解析】1【5分0 析】
本题考查分组分配问题，考查分类加法计数原理，考查分析与计算能力，属于中档题．
分两种情况讨论： 将集合 中的元素分三组为 与集合 分别对应； 将集合 中的元素
分三组为 与集①合 分别𝐴𝐴对应，由分类加法计{数3,1原,1理} 计算求𝐵𝐵解即可． ② 𝐴𝐴
【解答】 {2,2,1} 𝐵𝐵
解：分以下两种情况讨论：
将集合 中的元素分三组为 与集合 分别对应时，此时，满足条件的函数个数为 ；
1 3 2
①将集合 𝐴𝐴 中的元素分三组为{3,1,1}与集合𝐵𝐵分别对应时，此时，满足条件的函数个数为 𝐶𝐶3𝐶𝐶5𝐴𝐴2 =60．
2 2
𝐶𝐶3𝐶𝐶5 3
②由分类加法𝐴𝐴计数原理可知，满足{2条,2件,1}的同函数𝐵𝐵的个数为 ． 𝐴𝐴2 2 𝐴𝐴3 =90
故答案为： ． 60+90=150
13.已知复数15满0足 为虚数单位 ，则 的最小值为 ．
【答案】 𝑧𝑧 |𝑧𝑧−2|=|𝑧𝑧−1−𝑠𝑠|(𝑠𝑠 ) |𝑧𝑧−2𝑠𝑠|+|𝑧𝑧|
【解析】√【 1分0析】
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学科网（北京）股份有限公司 8 18本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了两点间的距离公式的应用，属于基础题．
由已知求出 的轨迹，设 ， ，把 的最小值转化为 的最小值，求解
即可． 𝑍𝑍(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝐴𝐴(0,2) 𝑂𝑂(0,0) |𝑧𝑧−2𝑠𝑠|+|𝑧𝑧| |𝑍𝑍𝐴𝐴|+|𝑍𝑍𝑂𝑂|
【解答】
解：设 ， ， ，
由 𝑧𝑧 =𝑥𝑥+𝑦𝑦𝑠𝑠 𝑥𝑥 ，𝑦𝑦 ∈𝑅𝑅
即|𝑧𝑧−2|=|𝑧𝑧−1−𝑠𝑠| ，
则|𝑧𝑧−2|的=轨|𝑧𝑧迹−为(1点+𝑠𝑠)| ， 连线的中垂线： ，
𝑍𝑍(𝑥𝑥,𝑦𝑦) (2,0) (1,1) 𝑦𝑦 =𝑥𝑥−1
设 ， ，
则𝐴𝐴(0,2) 𝑂𝑂(0,的0)最小值等价于求 的最小值，
点|𝑧𝑧−2𝑠𝑠关|+于|𝑧𝑧| 的对称点 |𝑍𝑍𝐴𝐴|+|𝑍𝑍，𝑂𝑂 |
所𝑂𝑂以(0,0) 𝑦𝑦 =𝑥𝑥−1 𝑂𝑂′(1,−1) ，
2 2
故答(案|𝑍𝑍为𝐴𝐴|+|𝑍𝑍．𝑂𝑂 |)min =|𝐴𝐴𝑂𝑂′|=� 1 +(−1−2) =√ 10
14.已知椭√圆 10 的右焦点为 ，过点 作倾斜角为 的直线交椭圆 于 ， 两点，弦
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝜋𝜋
的垂直平分 𝐶𝐶: 线 𝑎𝑎 2 交 + 𝑏𝑏轴 2 = 于 1 点 (𝑎𝑎 ， > 若 𝑏𝑏 >0) ，则椭圆 𝐴𝐴 的离心 𝐴𝐴 率 ． 4 𝐶𝐶 𝐴𝐴 𝐵𝐵
|𝑃𝑃𝐴𝐴| 1
𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑥𝑥 𝑃𝑃 |𝐴𝐴𝐵𝐵|=4 𝐶𝐶 𝑒𝑒 =
【答案】
1
【解析】2【分析】
本题考查椭圆的简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的垂直平分线的求法，属于中档
题．
设直线 的方程，代入椭圆方程，由韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，求得中点坐标 ，求得 垂直平
分线方𝑙𝑙程，当 时，即可求得 点坐标，代入即可求得 ，即可求得 ，即可求得𝑄𝑄和 的关𝐴𝐴系𝐵𝐵，即
|𝑃𝑃𝐴𝐴|
可求得椭圆的 𝑦𝑦 离 = 心 0 率． 𝑃𝑃 |𝑃𝑃𝐴𝐴| |𝐴𝐴𝐵𝐵| 𝑎𝑎 𝛼𝛼
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学科网（北京）股份有限公司 9 18【解答】解：设椭圆半焦距为 ，则 ，
则过点 ，倾斜角为 的直线 的𝛼𝛼方程为𝐴𝐴(：𝛼𝛼,0) ，
𝜋𝜋
设 𝐴𝐴 ， 4 ，线段 𝑙𝑙 的中点 𝑦𝑦 =𝑥𝑥− 𝛼𝛼
𝐴𝐴(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1) 𝐵𝐵(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑄𝑄(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0).
联立 ，化为 ，
𝑦𝑦=𝑥𝑥−𝛼𝛼
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
� 𝑎𝑎 2+ 𝑏𝑏 2 =1 (𝑎𝑎 +𝑏𝑏 )𝑥𝑥 −2𝑎𝑎 𝛼𝛼𝑥𝑥+𝑎𝑎 𝛼𝛼 −𝑎𝑎 𝑏𝑏 =0
， ．
2 2 2 2 2
2𝑎𝑎 𝛼𝛼 𝑎𝑎 𝛼𝛼 −𝑎𝑎 𝑏𝑏
∴𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 = 2 2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 2 2
𝑎𝑎 +𝑏𝑏 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 ，
2
2 2 4𝑎𝑎𝑏𝑏
∴|𝐴𝐴𝐵𝐵|=√ 1+1 ·� (𝑥𝑥1+𝑥𝑥2) −4𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 2 2
， 𝑎𝑎，+𝑏𝑏
2 2
𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 𝑎𝑎 𝛼𝛼 𝑏𝑏 𝛼𝛼
∴𝑥𝑥0 = 的垂 2 直平 = 分𝑎𝑎 2 线+𝑏𝑏的 2 方 𝑦𝑦 程 0 为 = ： 𝑥𝑥0−𝛼𝛼 =− 𝑎𝑎 2 +𝑏𝑏 2 ，
2 2
𝑏𝑏 𝛼𝛼 𝑎𝑎 𝛼𝛼
∴𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑦𝑦+ 2 2 =−(𝑥𝑥− 2 2)
令 ，解得 ， 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 𝑎𝑎 +𝑏𝑏
3
𝛼𝛼
𝑦𝑦=0 𝑥𝑥𝑃𝑃 = 2 2
． 𝑎𝑎 +𝑏𝑏
3
𝛼𝛼
∴𝑃𝑃( 2 2,0)
𝑎𝑎 +𝑏𝑏
，
2
2𝑏𝑏 𝛼𝛼
∴|𝑃𝑃𝐴𝐴|=|𝛼𝛼−𝑥𝑥𝑃𝑃|= 2 2
𝑎𝑎 +𝑏𝑏
|𝑃𝑃𝐴𝐴| 𝛼𝛼 1
∴ = =
则|𝐴𝐴𝐵𝐵|， 2𝑎𝑎 4
𝛼𝛼 1
𝑎𝑎=2
椭圆 的离心率为 ．
1
∴四、解𝐶𝐶答题：本大题2 共5小题，共77.0分。
15. 本小题 分
( 13 )
已知函数 图象的两条相邻对称轴之间的距离为 ．
2 √ 3 𝜋𝜋
求函数𝑓𝑓(𝑥𝑥)=sin图𝜔𝜔象𝑥𝑥c的os𝜔𝜔对𝑥𝑥称−轴√方 3c程os；𝜔𝜔 𝑥𝑥+ 2 (𝜔𝜔 >0) 2
(1) 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥)
若函数 在 上的零点为 ， ，求 的值．
1
(2) 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥)−3 (0,𝜋𝜋) 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 cos(𝑥𝑥1−𝑥𝑥2)
【答案】解：
2 √ 3
(1)𝑓𝑓(𝑥𝑥)=sin𝜔𝜔𝑥𝑥⋅cos𝜔𝜔𝑥𝑥−√ 3⋅cos 𝜔𝜔𝑥𝑥+ 2
1 √ 3
= sin2𝜔𝜔𝑥𝑥− cos2𝜔𝜔𝑥𝑥
，
2 2
𝜋𝜋
=sin�2𝜔𝜔𝑥𝑥−3�
由题意可得周期 ，即 ，
2𝜋𝜋
𝑇𝑇 =𝜋𝜋 2𝜔𝜔=𝜋𝜋
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学科网（北京）股份有限公司 10 18，
∴𝜔𝜔 =1 ，
𝜋𝜋
∴𝑓𝑓(𝑥𝑥)=sin�2𝑥𝑥−3�
由 ，
𝜋𝜋 𝜋𝜋
2𝑥𝑥−3 =𝑘𝑘𝜋𝜋+2(𝑘𝑘 ∈𝐙𝐙)
得 ．
𝑘𝑘𝜋𝜋 5𝜋𝜋
𝑥𝑥 = 2 +12(𝑘𝑘 ∈𝐙𝐙)
所以函数 图象的对称轴方程为 ．
𝑘𝑘𝜋𝜋 5𝜋𝜋
𝑦𝑦 =𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥 = 2 +12(𝑘𝑘 ∈𝐙𝐙)
由函数 在 上的零点为 ， ，
1
不(2)妨设 𝑦𝑦=𝑓𝑓(𝑥𝑥)−3，( 0,𝜋𝜋) 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2
0<𝑥𝑥1 <𝑥𝑥2 <𝜋𝜋
可知 ，
𝜋𝜋 𝜋𝜋 1
sin (2𝑥𝑥1−3)=sin (2𝑥𝑥2−3)=3>0
且 ．
5𝜋𝜋 2𝜋𝜋
0<𝑥𝑥1 < 12 <𝑥𝑥2 < 3
易知 与 关于 对称，
5𝜋𝜋
�𝑥𝑥1,𝑓𝑓(𝑥𝑥1)� �𝑥𝑥2,𝑓𝑓(𝑥𝑥2)� 𝑥𝑥 = 12
则 ，
5𝜋𝜋
𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 = 6
5𝜋𝜋
∴cos(𝑥𝑥1−𝑥𝑥2)=cos�𝑥𝑥1−� −𝑥𝑥1��
6
5𝜋𝜋
=cos�2𝑥𝑥1− �
6
𝜋𝜋 𝜋𝜋
=cos��2𝑥𝑥1− �− �
3 2
𝜋𝜋
=sin�2𝑥𝑥1− �
． 3
1
= 3
【解析】本题考查三角函数的图象与性质，涉及到诱导公式、三角恒等变换的应用．
先根据三角恒等变换得到 ，根据题意求出 ，再通过整体法解方程，得到函
𝜋𝜋
数(1的)对称轴方程． 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=sin�2𝜔𝜔𝑥𝑥−3� 𝜔𝜔 =1
根据对称性得到 ，进而得到 ，通过诱导公式化简，即可
5𝜋𝜋 5𝜋𝜋
得(2)到答案． 𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 = 6 cos(𝑥𝑥1−𝑥𝑥2)=cos�𝑥𝑥1−�6 −𝑥𝑥1��
16. 本小题 分
( 15 )
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学科网（北京）股份有限公司 11 18四棱锥 的底面是边长为 的菱形， ，对角线 与 相交于点 ， 底面 ，
∘
与底𝑃𝑃面−𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷所成的角为 ，2是 的中∠点𝐷𝐷𝐴𝐴．𝐵𝐵 =60 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝑂𝑂 𝑃𝑃𝑂𝑂 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷
𝑃𝑃𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 60° 𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐵𝐵
求异面直线 与 所成角的余弦值；
(1)证明： 𝐷𝐷平𝐵𝐵面𝑃𝑃𝐴𝐴 ，并求点 到平面 的距离．
(【2)答案】解𝑂𝑂：𝐵𝐵// 四棱𝑃𝑃𝐴𝐴锥𝐷𝐷 𝐵𝐵的底面是𝑃𝑃边𝐴𝐴𝐷𝐷长为 的菱形，对角线 与 相交于点 ，
则 ，而(1) 底面𝑃𝑃−𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶，𝐷𝐷 ， 底面 2 ，故 𝐴𝐴，𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐷𝐷 ， 𝑂𝑂
由𝐴𝐴题𝐶𝐶意⊥，𝐵𝐵𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑂𝑂 ⊥两两互𝐴𝐴相𝐵𝐵𝐶𝐶垂𝐷𝐷直𝐴𝐴，𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐷𝐷 ⊂ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑃𝑃𝑂𝑂 ⊥𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑃𝑃𝑂𝑂 ⊥𝐵𝐵𝐷𝐷
以 为坐标𝑃𝑃𝑂𝑂原,𝑂𝑂点𝐶𝐶，,𝑂𝑂射𝐵𝐵线 、 、 分别为 轴、 轴、 轴的正半轴建立空间直角坐标系，如图，
𝑂𝑂 𝑂𝑂𝐵𝐵 𝑂𝑂𝐶𝐶 𝑂𝑂𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧
菱形 中， ，所以 ，
∘
在 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 中，∠𝐷𝐷𝐴𝐴𝐵𝐵 =60 𝐵𝐵𝐷𝐷 =2𝑂𝑂，𝐵𝐵 =2
2 2
因𝑅𝑅为𝑡𝑡▵𝐴𝐴𝑂𝑂底𝐵𝐵面 𝑂𝑂𝐴𝐴，=所√ 𝐴𝐴以𝐵𝐵 −与𝑂𝑂底𝐵𝐵面=√ 3 所成的角为 ，
∘
所以𝑃𝑃 𝑂𝑂 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 𝑃𝑃𝐵𝐵， 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 ∠𝑃𝑃𝐵𝐵𝑂𝑂 =60
∘
则 𝑃𝑃𝑂𝑂 =𝑂𝑂𝐵𝐵⋅tan60 =√ 3 ，
是
𝐴𝐴(0,
的
−√中 3
点
,0
，
),𝐵𝐵
则
(1,0,0),𝐷𝐷(−
，
1,
于
0,0
是
),𝑃𝑃(0,0,√ 3)
， ．
1 √ 3 3 √ 3
𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐵𝐵 𝐵𝐵(2,0, 2 ) 𝐷𝐷�����𝐵𝐵�⃗=(2,0, 2 ) 𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗=(0,√ 3,√ 3)
设 的夹角为 ，则有 ．
3
2 √ 2
𝐷𝐷�����𝐵𝐵�⃗,�𝐴𝐴���𝑃𝑃�⃗ 𝜃𝜃 cos𝜃𝜃 = � 9 4+ 3 4√ 3+3 = 4
故异面直线 与 所成角的余弦值为 ；
√ 2
𝐷𝐷𝐵𝐵 𝑃𝑃𝐴𝐴 4
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学科网（北京）股份有限公司 12 18连接 ，
(2) 𝑂𝑂𝐵𝐵
分别是 的中点， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ．
∵因𝐵𝐵为,𝑂𝑂 𝑃𝑃𝐵𝐵,𝐵𝐵𝐷𝐷 ， ∴𝐵𝐵𝑂𝑂//𝑃𝑃𝐷𝐷 ，∵ 𝐵𝐵𝑂𝑂 ⊄ 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐷𝐷 𝑃𝑃𝐷𝐷 ⊂ 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐷𝐷 ∴𝐵𝐵𝑂𝑂// 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐷𝐷
设平𝐴𝐴�面���𝑃𝑃�⃗=(的0,√法 3向,√量 3) 𝐴𝐴�����𝐷𝐷�⃗=(−，1, √ 3,0)
则 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐷𝐷 𝑛𝑛�⃗=(𝑥𝑥,𝑦𝑦，,𝑧𝑧令) ，则 ，
�𝑛𝑛�⃗⋅𝐴𝐴�����𝐷𝐷�⃗=−𝑥𝑥+√ 3𝑦𝑦=0
� 𝑥𝑥 =√ 3 𝑦𝑦 =1,𝑧𝑧 =−1
所以𝑛𝑛��⃗⋅𝐴𝐴����𝑃𝑃�⃗=√ 3𝑦𝑦+√， 3又𝑧𝑧 =0 ，
→ 3 √ 3
𝑛𝑛 =(√ 3,1,−1) �𝐷𝐷����𝐵𝐵�⃗=(2,0, 2 )
则点 到平面 的距离 ．
3√ 3 √ 3
| � 𝐷𝐷 ���� 𝐵𝐵 �⃗ ⋅�𝑛𝑛�⃗| | 2 −2| √ 3 √ 15
故点 𝐵𝐵 到平面 𝑃𝑃𝐴𝐴𝐷𝐷 的距离 𝑑𝑑 为 = ．|�𝑛𝑛�⃗| = √ 3+1+1 =√ 5= 5
√ 15
【解𝐵𝐵析】本题𝑃𝑃考𝐴𝐴𝐷𝐷查直线与直5线所成角的向量求法，点线、点面、线面、面面距离计算属于中档题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可； .
(1)根据中位线定理证明线线平行，进而得线面平行，利用空间向量点到面距离公式进行求解即可．
(127). 本小题 分
英国(数学家1贝5叶斯) 在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函
数、统计推断等做(出17了0重1−要1贡76献3．) 贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系该
公式为：设 ， ， ， 是一组两两互斥的事件， ，且 ， .，
则对任意的𝐴𝐴事 1 件𝐴𝐴2 …，𝐴𝐴𝑛𝑛 ，有 𝐴𝐴1∪𝐴𝐴2∪⋯∪𝐴𝐴𝑛𝑛 =𝛺𝛺 ，𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑖𝑖)>0 𝑠𝑠 现=有1,2三,⋯台,车𝑛𝑛
𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑠𝑠)𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑠𝑠) 𝑃𝑃(𝐴𝐴𝑠𝑠)𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴𝑠𝑠)
床加工同一型号 𝐵𝐵 的 ⊆ 零 𝛺𝛺 件， 𝑃𝑃 第 (𝐵𝐵) 台 > 加 0 工的次 𝑃𝑃( 品 𝐴𝐴𝑖𝑖 率 |𝐵𝐵 为 )= ，𝑃𝑃每 (𝐵𝐵加 ) 工一 = 个 ∑ 𝑛𝑛 𝑘𝑘零=1件𝑃𝑃�𝐴𝐴耗𝑘𝑘� 时𝑃𝑃�𝐵𝐵|𝐴𝐴分𝑘𝑘� 钟 𝑠𝑠 ， = 第 1,2 ， ,⋯ 台 ,𝑛𝑛 加 . 工的次品率
均为 ，每加工一个零件分1别耗时 分钟和 6分%钟，加工出来的零件混放35在一起已知2第3， ， 台车床
加工5的%零件数分别占总数的 ， 32 ， 3．0 . 1 2 3
任取一个零件，计算它是2次5%品的3概0%率；4 5%
(1)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时 分钟 的分布列和数学期望．
(2) 𝑋𝑋( )
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学科网（北京）股份有限公司 13 18【答案】解：设 “任取一个零件为次品”， “零件为第 台车床加工” ，
则 𝐵𝐵 =，且 ， ， 两两互斥根𝐴𝐴据𝑖𝑖 =题意得 𝑠𝑠 (𝑠𝑠 =1,2,3)
𝛺𝛺 =𝐴𝐴1∪𝐴𝐴，2∪𝐴𝐴3 𝐴𝐴1 ，𝐴𝐴2 𝐴𝐴3 ， .
𝑃𝑃(𝐴𝐴1)=0.25 ，𝑃𝑃(𝐴𝐴2)=0.3 𝑃𝑃(𝐴𝐴3)=0.45
𝑃𝑃(𝐵𝐵由|𝐴𝐴全1)概=率0公.06式，𝑃𝑃(得𝐵𝐵 |𝐴𝐴2)=𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴3)=0.05
(1)
𝑃𝑃(𝐵𝐵)=𝑃𝑃(𝐴𝐴1)𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴1)+𝑃𝑃(𝐴𝐴2)𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴2)+𝑃𝑃(𝐴𝐴3)𝑃𝑃(𝐵𝐵 |𝐴𝐴3)
=0由.25题×意0可.06知+0.3×，0.05，+0.4，5则×0 .05=0.0525;
(2) 𝑋𝑋 =35 32 30 ，
𝑃𝑃(𝐴𝐴1𝐵𝐵) 𝑃𝑃(𝐴𝐴1)𝑃𝑃(𝐵𝐵|𝐴𝐴1) 0.25×0.06 2
类 𝑃𝑃( 似 𝑋𝑋 = 地， 35 可 )= 得 𝑃𝑃 (𝐴𝐴1|𝐵𝐵)= 𝑃𝑃(𝐵𝐵) = 𝑃𝑃(𝐵𝐵) = 0.0525 =7
， ，
2 3
𝑃𝑃所(以𝑋𝑋 =加工32这)=个𝑃𝑃零(𝐴𝐴件 2|耗𝐵𝐵)时=的7 分𝑃𝑃布(𝑋𝑋列=为3：0) =𝑃𝑃(𝐴𝐴3|𝐵𝐵)=7
𝑋𝑋
𝑋𝑋35 32 30
2 2 3
𝑃𝑃
7 7 7 ．
2 2 3
𝐵𝐵【(解𝑋𝑋)析=】3本5×题7考+查32全×概7率+公30式×，7离=散32型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．
利用互斥事件的概率公式及全概率公式求解即可；
(1)求出随机变量对应的概率，列出分布列，求出数学期望即可．
(2)
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学科网（北京）股份有限公司 14 1818. 本小题 分
已知(抛物线17 ) 与圆 相交于 ， ， ， 四个点．
2 2 2 2
𝐵𝐵:𝑦𝑦 =𝑥𝑥 𝑂𝑂:𝑥𝑥 +(𝑦𝑦−4) =𝑟𝑟 (𝑟𝑟 >0) 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐷𝐷
当 时，求四边形 的面积
(1)四𝑟𝑟边=形2 的对角线𝐴𝐴交𝐵𝐵点𝐶𝐶𝐷𝐷是否可能; 为 ，若可能，求出此时 的值，若不可能，请说明理由
(2)当四边形𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷 的面积最大时，求圆 的𝑂𝑂半径 的值． 𝑟𝑟 ;
(【3)答案】解：𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷将 代入 𝑂𝑂 𝑟𝑟，
2 2 2
并化简得 (1) 𝑦𝑦=𝑥𝑥 ，解𝑥𝑥得+(𝑦𝑦−或4) =，4
2
代入抛物𝑦𝑦线方−程7𝑦𝑦可+得12=0 ， 𝑦𝑦 =3 𝑦𝑦，=4 ， ，
故 𝐴𝐴(√ 3,3) 𝐵𝐵(−√ 3 ,3) 𝐶𝐶(−2,4) 𝐷𝐷(2,4)
1
𝑆𝑆联=立2抛(2物√ 3线+与4圆)×的(方4−程3有)=√ 3+2; ，
2 2
(2) 𝑦𝑦 −7𝑦𝑦+16−𝑟𝑟 =0
由题意可得 2 2
𝛥𝛥=(−7) −4(16−𝑟𝑟 )>0,
�𝑦𝑦1+𝑦𝑦2 =7>0,
2
此时有 𝑦𝑦1𝑦𝑦2 =16 ． − 𝑟𝑟 >0.
2
不妨设𝑦𝑦1与𝑦𝑦2 =的1四6个−𝑟𝑟交点的坐标为 ， ， ， ，
直线 𝐵𝐵的方𝑂𝑂程为 𝐴𝐴(� 𝑦𝑦1,𝑦𝑦1) 𝐵𝐵，(− � 𝑦𝑦1,𝑦𝑦1) 𝐶𝐶(−� 𝑦𝑦2,𝑦𝑦2) 𝐷𝐷(� 𝑦𝑦2,𝑦𝑦2)
𝑦𝑦2−𝑦𝑦1
由对 𝐴𝐴 称 𝐶𝐶 性，对角线 𝑦𝑦 交 − 点 𝑦𝑦1 肯 = 定−�在 𝑦𝑦2−轴�上 𝑦𝑦1， ⋅( 𝑥𝑥−� 𝑦𝑦1)
令 ，解得交点坐标为 𝑦𝑦 ，
若𝑥𝑥交=点0为 点，则 (0，,�则 𝑦𝑦1𝑦𝑦2) ，不可能；
则四边形𝑂𝑂 的对𝑦𝑦1角𝑦𝑦2线=交1点6 不可𝑟𝑟能=为0 ．
联立抛𝐴𝐴物𝐵𝐵𝐶𝐶线𝐷𝐷与圆的方程有 𝑂𝑂 ，
2 2
(3) 𝑦𝑦 −7𝑦𝑦+16−𝑟𝑟 =0
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学科网（北京）股份有限公司 15 18由题意可得必须有 2 2
𝛥𝛥 =(−7) −4(16−𝑟𝑟 )>0,
�𝑦𝑦1+𝑦𝑦2 =7>0,
2
解得 且𝑦𝑦1𝑦𝑦2 =，1 6−𝑟𝑟 >0.
15 2
由于四4 边<形𝑟𝑟 <16为𝑟𝑟等>腰0梯形，
𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷
因而其面积 ，
1
则 𝑆𝑆 =2⋅(2� 𝑦𝑦1+2� 𝑦𝑦2)⋅|𝑦𝑦2−𝑦𝑦1| ，
2 2
设𝑆𝑆 =(𝑦𝑦1+，𝑦𝑦2 则+2� 𝑦𝑦1𝑦𝑦2)⋅[(𝑦𝑦， 1 由+上𝑦𝑦2 可) 得−4𝑦𝑦1𝑦𝑦2] ，
2 7
将𝑡𝑡 =� 𝑦𝑦1𝑦𝑦2 ， 𝑡𝑡 =√ 16−代𝑟𝑟入上式，并令0<𝑡𝑡 <2，
2
得𝑦𝑦1+𝑦𝑦2 =7 � 𝑦𝑦1𝑦𝑦2 =𝑡𝑡 ， 𝑓𝑓(𝑡𝑡)=𝑆𝑆
2 7
求𝑓𝑓导(𝑡𝑡数)，=(7+2𝑡𝑡) ⋅(7−2𝑡𝑡)(0<𝑡𝑡 <，2 )
令 𝑓𝑓′(，𝑡𝑡)解=得−：2(2𝑡𝑡+，7)(6𝑡𝑡−7)舍去 ，
7 7
𝑓𝑓′(𝑡𝑡)=0 𝑡𝑡 =6 𝑡𝑡 =−2( )
当 时， ， 单调递增，
7
0<𝑡𝑡 <6 𝑓𝑓′(𝑡𝑡)>0 𝑓𝑓(𝑡𝑡)
当 时， ， 单调递减，
7 7
6<𝑡𝑡 <2 𝑓𝑓′(𝑡𝑡)<0 𝑓𝑓(𝑡𝑡)
故当且仅当 时，此时 ，符合题意．
7 √ 527
此时四边形𝑡𝑡 =6 的面积最𝑟𝑟大=． 6
【解析】本题𝐴𝐴𝐵𝐵考𝐶𝐶𝐷𝐷查了圆锥曲线中的几何图形面积的范围或者最值问题，属于较难题．
联立抛物线与圆的方程可得 ， ， ， 坐标，再根据梯形面积公式求解即可；
(1)设 与 的四个交点的坐标为𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐶𝐶 𝐷𝐷， ， ， ，联立直线 ，
方(2)程可𝐵𝐵得点𝑂𝑂交点坐标为 𝐴𝐴(，�进 𝑦𝑦1一,𝑦𝑦步1)分𝐵𝐵析(得−�到 𝑦𝑦四1,边𝑦𝑦1形) 𝐶𝐶(−�的 𝑦𝑦对2,角𝑦𝑦2线) 交𝐷𝐷点(�不 𝑦𝑦可2,𝑦𝑦能2)为 ． 𝐴𝐴𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐷𝐷
根据抛物线与圆联立(的0,�方 𝑦𝑦程 1𝑦𝑦结 2)合韦达定理可设 𝐴𝐴，𝐵𝐵𝐶𝐶则𝐷𝐷 ，结合 𝑂𝑂 且
2 15 2
(3) 𝑡𝑡 =� 𝑦𝑦1𝑦𝑦2 𝑡𝑡 =√ 16−𝑟𝑟 4 <𝑟𝑟 <16 𝑟𝑟 >
，可得 ，再根据等腰梯形面积公式可得 ，进而代入韦达定理化
7 1
简0 ，构造0函<数𝑡𝑡求<导2 分析最值即可． 𝑆𝑆 =2⋅(2� 𝑦𝑦1+2� 𝑦𝑦2)⋅|𝑦𝑦2−𝑦𝑦1|
19. 本小题 分
在几(何学常1常7需要) 考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度考察如图所示的光滑曲线
上的曲线段 ，其弧长为 ，当动点从 沿曲线段 运动到 点时. ， 点的切线 也随着转动
到𝐶𝐶:𝑦𝑦点=的𝑓𝑓(切𝑥𝑥)线 ，记这两𝐴𝐴�条𝐵𝐵 切线之间的𝛥𝛥夹𝑠𝑠角为 它等𝐴𝐴于 的倾𝐴𝐴斜�𝐵𝐵角与 的𝐵𝐵倾斜角之𝐴𝐴差 显然，𝑙𝑙𝐴𝐴当弧长固定
𝐵𝐵 𝑙𝑙𝐵𝐵 𝛥𝛥𝜃𝜃( 𝑙𝑙𝐵𝐵 𝑙𝑙𝐴𝐴 ).
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学科网（北京）股份有限公司 16 18时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义
𝛥𝛥𝜃𝜃
为曲线段 的平均曲率显然当 越接近; ，即 越小， 就越能精确刻画曲线 在点 处的弯曲程度𝐾𝐾，=因|𝛥𝛥此𝑠𝑠|
定义 𝐴𝐴�𝐵𝐵 ; 若𝐵𝐵极限存在𝐴𝐴 为曲𝛥𝛥线𝑠𝑠 在点𝐾𝐾处的曲率 其中 ， 𝐶𝐶分别表𝐴𝐴 示 在点 处
𝛥𝛥𝜃𝜃 �𝑦𝑦′′�
的一 𝐾𝐾 阶、 = 二 𝛥𝛥l𝑠𝑠im→ 阶 0| 导 𝛥𝛥𝑠𝑠 数 | = (1+𝑦𝑦 ′2 ) 3 2 ( ) 𝐶𝐶 𝐴𝐴 .( 𝑦𝑦′ 𝑦𝑦″ 𝑦𝑦 =𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝐴𝐴
)
求单位圆上圆心角为 的圆弧的平均曲率
∘
(1) 60 ;
求椭圆 在 处的曲率
2
𝑥𝑥 2 1
(2) 定义 4 +𝑦𝑦 =1 为 ( 曲 √ 3 线 ,2) 的 ; “柯西曲率”已知在曲线 上存在两点
2√ 2|𝑦𝑦′′|
(3) 𝜑𝜑(𝑦𝑦)= ′ 3 𝑦𝑦 =𝑓𝑓(𝑥𝑥) . 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥ln𝑥𝑥−2𝑥𝑥
和 (1+𝑦𝑦) ，且 ， 处的“柯西曲率”相同，求 的取值范围．
3 3
𝑃𝑃【(答𝑥𝑥1 案,𝑓𝑓(】𝑥𝑥1 解))：𝑄𝑄(𝑥𝑥由 2,平𝑓𝑓(面𝑥𝑥2 几))何知识𝑃𝑃 知𝑄𝑄：单位圆上圆心角为 的圆弧√𝑥𝑥1+的√弧𝑥𝑥2 长 ， 与 两点切线之间的
∘ 𝜋𝜋
(1) 60 𝐴𝐴�𝐵𝐵 𝛥𝛥𝑠𝑠 = 3 𝐴𝐴 𝐵𝐵
夹角 ，
𝜋𝜋
𝛥𝛥𝜃𝜃 =3
因此 ．
𝛥𝛥𝜃𝜃
𝐾𝐾 =�𝛥𝛥𝑠𝑠�=1
由 得 ，而 ， ，
1 1 3
2 2 2 −2 2 −2 2 2 −2
𝑥𝑥 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥
(2) 4 +𝑦𝑦 =1 𝑦𝑦 =� 1− 4 𝑦𝑦′=−4�1− 4� 𝑦𝑦′′=−4�1− 4� −16�1− 4�
因此 ， ，
1 1 3
√ 3 3
−2
√ 3 1 3
−2
3 3
−2
所以𝑦𝑦′|𝑥𝑥=√ 3 =− 4 �1−4�． =− 2 𝑦𝑦′′|𝑥𝑥=√ 3 =−4�1−4� −16�1−4� =−2
2 16√ 7
𝐾𝐾 = √ 3 2 3 2 = 49
�1+�−2� �
因为函数 的定义域为 ， ， ，所以 ，
1
1 2√ 2�𝑥𝑥� 2√ 2
(
而
3)
曲线 在
𝑓𝑓(𝑥𝑥
、
)
两处的“柯
(0
西
,+
曲
∞)
率”
𝑓𝑓′
相
(𝑥𝑥
同
)=
，
l
因
n𝑥𝑥
此
−1 𝑓𝑓′′(𝑥𝑥)=𝑥𝑥
，即
𝜑𝜑(𝑦𝑦)= (ln𝑥𝑥)3 =𝑥𝑥(ln𝑥𝑥)3
．
2√ 2 2√ 2 3 3
令 𝑓𝑓(𝑥𝑥)，𝑃𝑃 𝑄𝑄 ， ，则 𝑥𝑥，1(l因n𝑥𝑥1此)3 由=𝑥𝑥2(ln𝑥𝑥2)3 𝑥𝑥1(ln𝑥𝑥1) =𝑥𝑥得 1(ln𝑥𝑥1) ．
3 3 3 3
𝑡𝑡1 = √𝑥𝑥1 𝑡𝑡2 = √𝑥𝑥2 0<𝑥𝑥1 <𝑥𝑥2 0<𝑡𝑡1 <𝑡𝑡2 27(𝑡𝑡1ln𝑡𝑡1) =27(𝑡𝑡2ln𝑡𝑡2) 𝑡𝑡1ln𝑡𝑡1 =𝑡𝑡2ln𝑡𝑡2
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学科网（北京）股份有限公司 17 18因为 ，所以 ，因此 ．
𝑡𝑡2 𝑡𝑡2 𝑡𝑡2
𝑡𝑡2ln𝑡𝑡1 𝑡𝑡1 ln𝑡𝑡1
𝑡𝑡1ln𝑡𝑡1 =𝑡𝑡2ln𝑡𝑡2 𝑡𝑡1ln𝑡𝑡1−𝑡𝑡2ln𝑡𝑡1 =𝑡𝑡2ln𝑡𝑡2−𝑡𝑡2ln𝑡𝑡1 ln𝑡𝑡1 =𝑡𝑡1−𝑡𝑡2 =
1−
𝑡𝑡
𝑡𝑡
2
1
因为 ，
𝑡𝑡2 𝑡𝑡2
𝑡𝑡2 𝑡𝑡2 𝑡𝑡2 𝑡𝑡1 ln𝑡𝑡1
ln(𝑡𝑡1+𝑡𝑡2)=ln�𝑡𝑡1�1+𝑡𝑡1��=ln�1+𝑡𝑡1�+ln𝑡𝑡1 =ln�1+𝑡𝑡1�+
1−
𝑡𝑡
𝑡𝑡
2
1
所以若 ，则 ，且 ．
𝑡𝑡2 𝑡𝑡ln𝑡𝑡
𝑡𝑡 =𝑡𝑡1 ln(𝑡𝑡1+𝑡𝑡2)=ln(1+𝑡𝑡)+1−𝑡𝑡 𝑡𝑡 >1
令 ，则 ，
2
2(𝑥𝑥−1) 1 4 (𝑥𝑥−1)
ℎ(𝑥𝑥)=ln𝑥𝑥− 𝑥𝑥+1 (𝑥𝑥 >1) ℎ′(𝑥𝑥)=𝑥𝑥−(𝑥𝑥+1)2 =𝑥𝑥(𝑥𝑥+1)2 >0(𝑥𝑥 >1)
因此函数 是增函数，所以 ，即 ．
2(𝑥𝑥−1)
ℎ(𝑥𝑥) ℎ(𝑥𝑥)>ℎ(1)=0 ln𝑥𝑥 > 𝑥𝑥+1 (𝑥𝑥 >1)
令 ，则 ，
𝑡𝑡ln𝑡𝑡 1 2(𝑡𝑡−1)
因𝐻𝐻此 ( 函𝑡𝑡) 数=ln(𝑡𝑡1 是+增𝑡𝑡2 函 ) 数=．ln( 1+𝑡𝑡)+1−𝑡𝑡(𝑡𝑡 >1) 𝐻𝐻′(𝑡𝑡)=(𝑡𝑡−1)2�ln𝑡𝑡− 𝑡𝑡+1 �>0(𝑡𝑡>1)
又因为 𝐻𝐻(𝑡𝑡) ， ，所以 ，即 ，
l𝑡𝑡i→m1𝐻𝐻(𝑡𝑡)=ln2−1 𝑡𝑡→lim+∞𝐻𝐻(𝑡𝑡)=0 𝐻𝐻(𝑡𝑡)∈(ln2−1,0) ln(𝑡𝑡1+𝑡𝑡2)∈(ln2−1,0)
因此 ，即 ．
2 3 3 2
【解𝑡𝑡析 1 】+𝑡𝑡本 2 题∈�考𝑒𝑒查,1了� 导数√的𝑥𝑥1 新+定√义𝑥𝑥2 问∈题�𝑒𝑒，,1简�单复合函数的导数和利用导数研究恒成立与存在性问题，属于
较难题．
利用题目所给定义，结合平面几何知识计算得结论；
(1)利用题目所给定义和简单复合函数的导数，计算得结论；
(2)利用题目所给定义和导数运算，结合利用导数研究存在性问题，计算得结论．
(3)
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