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高二数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3
页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清
楚，
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知命题 ，则命题 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
2. 曲线 在 处切线 倾斜角为（ ）
的
A. 0 B. C. D.
3. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我
羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，
禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马
所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）
.
A 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗4. 的展开式中 的系数是（ ）
.
A 48 B. -48 C. 72 D. -72
5. 小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射
俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（ ）种.
A. 48 B. 72 C. 216 D. 432
6. 已知在 中，角 所对的边分别为 .内角 为等差数列，若 边上的中线长为
，且 的面积为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
的
7. 已知点 在函数 图象上，点 在直线 上，记 ，则（
）
A. 当 取最小值时，点 的横坐标为
B. 当 取最小时，点 的横坐标为1
C. 当 取最小值时，点 的横坐标为
D. 当 取最小时，点 的横坐标为
8. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 设已知随机变量 满足 ，则B. 若 ，则
C. 若 ，设 ，则
D. 若事件 相互独立且 ，则
10. 已知函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A. 对于任意 ，函数 在定义域上是单调递减函数
B. 对于任意 ，函数 存在最小值
C. 存在 ，使得对于任意 都有 恒成立
D. 存在 ，使得 在定义域上有两个零点
11. 已知 为两个随机事件， 分别为其对立事件，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用 表示选到男生的人数，则
的概率是__________.13. 若 ，则 ______.（用数字作
答）
14. 已知定义在 上的函数 满足： ，则不等式
的解集为__________.
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依
次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.
（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.
16. 如图，在三棱柱 中，底面 是边长为6的正三角形， 是 的重心，
.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
17. 中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为
了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问
卷调查的成绩 近似服从正态分布 ，且 .
的
（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上 市民人数；
（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名
市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.18. 已知圆： 的圆心为椭圆 的右焦点 ，且椭圆 的离心
率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 且不与 轴重合的直线 交椭圆 于 两点， 为 的中点， 为坐标原点，分别过
作椭圆 的切线，两切线相交于点 .
（i）求证： 三点共线；
（ii）当 不与 轴垂直时，求 的最小值.
19. 设 是函数 的导函数，若 可导，则称函数 的导函数为 的二阶导函数，
记为 .若 有变号零点 ，则称点 为曲线 的“拐点”.
（1）研究发现，任意三次函数 ，曲线 都有“拐点”，且该“拐
点”也是函数 的图象的对称中心.已知函数 的图象的对称中心为 ，
求函数 的解析式，并讨论 的单调性；
（2）已知函数 .
（i）求曲线 的“拐点”；
（ii）若 ，求证： .高二数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3
页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟.
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清
楚，
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效
一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1. 已知命题 ，则命题 的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得：
命题 的否定是 .
故选：B.
2. 曲线 在 处切线的倾斜角为（ ）A. 0 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的几何意义求解.
【详解】解：因为 ，
所以曲线在 处的切线的斜率为 ，
结合直线倾斜角范围及斜率与倾斜角关系知：切线倾斜角为 ，
故选：D.
3. 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我
羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，
禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马
所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（ ）
A. 斗 B. 斗 C. 斗 D. 斗
【答案】C
【解析】
【分析】设羊主人应赔偿 斗，则马主人应赔偿 斗，牛主人应赔偿 斗，根据题意，列出方程，即
可求解.
【详解】设羊主人应赔偿 斗，则马主人应赔偿 斗，牛主人应赔偿 斗，
由题意得 ，所以 ，所以马主人应赔偿 斗.
故选：C.
4. 的展开式中 的系数是（ ）
A. 48 B. -48 C. 72 D. -72
【答案】A【解析】
【分析】根据题意，利用二项式定理得展开式，结合多项式展开式的形式，即可求解.
【详解】由题意，多项式 的展开式中， 的系数等于 .
故选：A.
5. 小王去秦始皇兵马俑博物馆游玩，买了8个不同的兵马俑纪念品，其中将军俑3个，骑兵俑3个，跪射
俑2个，将这8个纪念品排成一排，要求同种类型相邻，则不同的排法共有（ ）种.
A. 48 B. 72 C. 216 D. 432
【答案】D
【解析】
【分析】利用相邻问题中的捆绑法可求出结果.
【详解】先将 个将军俑捆在一起当一个元素使用，有 种捆法，
将 个骑兵俑捆在一起当一个元素使用，有 种捆法，
将 个跪射俑捆在一起当一个元素使用，有 种捆法，
再将所得 个元素作全排，有 种排法，所以不同的排法共有 种.
故选：D.
6. 已知在 中，角 所对的边分别为 .内角 为等差数列，若 边上的中线长为
，且 的面积为 ，则 的值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出B，根据平行四边形法则得 ，两边平方得到一个关于 ， 的方程，
再根据面积公式得到 ， 的另一个方程，最后由余弦定理计算出 .
【详解】因为内角 成等差数列，所以 ,即 ，
设 中点为 ，所以 ，由题意， ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ， ，
由余弦定理， ，所以 .
故选：A.
7. 已知点 在函数 的图象上，点 在直线 上，记 ，则（
）
A. 当 取最小值时，点 的横坐标为
B. 当 取最小时，点 的横坐标为1
C. 当 取最小值时，点 的横坐标为
D. 当 取最小时，点 的横坐标为
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数研究函数 的单调性，作出函数的图象，然后利用数形结合知函数
在 点处的切线平行于直线 ，然后利用导数的几何意义求得切点坐标，再利用垂直
关系求得直线PQ方程，与直线 联立求解交点即可.
【详解】 ，则 ，令 得 ，
令 得 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
作出函数函数 的图象，
如图：由题意，当 最小时，函数 在 点处的切线平行于直线 ，
过 点作直线 的垂线，垂足即为点 .设 的坐标为 ，
因为 ，所以 ，解得 ，即 点的坐标为 ，
所以过 点，且与直线 垂直的直线方程为 ，
联立方程 解得 的坐标为 .
故选：D.
8. 已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令函数 ，利用导数求得函数 在 上单调递增，结合对数的运算性质和函数
的单调性，即可求解.
【详解】令函数 ，可得 ，所以函数 在 上单调递增，又因为 ，
因为 ，所以 ，即 .
故选：C.
二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是
符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 设已知随机变量 满足 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，设 ，则
D. 若事件 相互独立且 ，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据期望的性质，可判定A正确；结合二项分布方差的公式，可判定B错误；根据正态分布曲线
的对称性，可得判定C正确；根据条件概率的计算公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，由 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，由 ，所以 ，所以B错误；
对于C中，由 ，所以 ，所以C正确；
对于D中，因为 相互独立，所以 ，且 ，所以D正确.
故选：ACD.
10. 已知函数 ，下列说法中正确的是（ ）
A. 对于任意 ，函数 在定义域上是单调递减函数
B. 对于任意 ，函数 存在最小值
C. 存在 ，使得对于任意 都有 恒成立
D. 存在 ，使得 在定义域上有两个零点
【答案】BD
【解析】
【分析】A.利用导数法判断；C.由 时， 判断；B.利用导数法判断；D.利用导数
法判断.
【详解】因为 ，所以 .
当 时， ，函数 在 上单调递增，A错误；
又因为当 时， ，C错误；
当 时，显然 在 上单调递增，且当 时， ，当 时，
，
所以存在 ，使得函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以函数
有最小值，B正确；
又因为当 时，当 时， ，当 时， ，所以只需函数 的最小值小于0，函数 就有两个零点，D正确，
故选：BD.
11. 已知 为两个随机事件， 分别为其对立事件，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ，则
B. 若 ，则
C. 若 ，则
D. 若 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据事件和概率加法公式，全概率，条件概率的概率公式以及独立事件与对立事件的概率公式，
对四个选项进行逐一的分析判断即可．
【详解】对于A， ，故A错误；
对于B，因为 ，所以 ，
所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，
所以 ，所以 ，解得 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，又因为
，
所以 ，解得 ，故D正确.
故选：BCD.
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，用 表示选到男生的人数，则
的概率是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到随机变量 的可能取值为 ，结合 ，即可求解.
【详解】由题意，某社团有3名女生､4名男生，随机选3名同学出来参加某个活动，
随机变量男生人数 的可能取值为 ，则 .
故答案为： .
13. 若 ，则 ______.（用数字作
答）【答案】
【解析】
【分析】利用赋值法，分别令 ，令 ，代入求解即可.
【详解】令 ，可得 ；
令 ，可得 ；
两式相减除以2，得 .
故答案为：
14. 已知定义在 上的函数 满足： ，则不等式
的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，利用导数求得 为增函数，把不等式转化为 ，得到
，列出不等式组，即可求解.
【详解】令 ，则 ，所以 增函数，
是
不等式 可变形为 ，
因为 ，所以不等式 等价于 ，
所以 ，解得 ，所以不等式 的解集为 .故答案为： .
四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 在某次数学竞赛的初赛中，参赛选手需要从4道“圆锥曲线”和3道“函数与导数”共7道不同的试题中依
次抽取2道进行作答，抽出的题目不再放回.
（1）求选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题且第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
（2）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的概率；
（3）求选手甲第2次抽到“函数与导数”试题的条件下，第1次抽到“圆锥曲线”试题的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）法一：结合排列组合数运算利用古典概型概率公式求解即可；法二：利用条件概率公式求
解即可.
（2）利用全概率概率公式求解即可.
（3）利用条件概率公式求解即可.
【小问1详解】
记“选手甲第1次抽到“圆锥曲线”试题”为事件 ，“选手甲第2次抽到“函数与导数”试题”为事件 ，
法一： .
法二：由概率乘法公式可得 .
【小问2详解】
由全概率公式可得 .
【小问3详解】由条件概率公式可得 .
的
16. 如图，在三棱柱 中，底面 是边长为6 正三角形， 是 的重心，
.
（1）证明： 平面 ；
（2）求二面角 的正弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2） .
【解析】
【分析】（1）利用全等思想来证明等腰，然后可得中线就是垂线，从而可证明线面垂直到线线垂直，再
证明线面垂直即可；
（2）利用空间向量法来求解二面角的余弦值，再求出正弦值即可.
【小问1详解】
证明：如图，连接 并延长交 于点 ，
连接 ，
是 的重心， 是 的中点，又底面 是正三角形， .
在 与 中， 为公共边，
， ， ，
又 平面 平面 ，
平面 ，又 平面 ， .
正 的边长为6， ， ，
又 ，
在 中，由余弦定理可得， ，
， .
又 平面 平面 ，
平面 .
【小问2详解】
如图，过 作 面 ，建立空间直角坐标系 ，
则 ，故 ，设平面 的法向量 ，则 ，令 ，解得 ，则
.
设平面 的法向量 ，则 ，令 ，解得 ，则
.
设二面角 的大小为 ，则 ，
, ，即二面角 的正弦值为 .
17. 中国国际大数据产业博览会（简称“数博会”）从2015年在贵阳开办，至今已过9年.某校机器人社团为
了解贵阳市市民对历年“数博会”科技成果的关注情况，在贵阳市随机抽取了1000名市民进行问卷调查，问
卷调查的成绩 近似服从正态分布 ，且 .
（1）估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数；
（2）若本次问卷调查得分超过80分，则认为该市民对“数博会”的关注度较高，现从贵阳市随机抽取3名
市民，记对“数博会”关注度较高的市民人数为随机变量 ，求 的分布列和数学期望.
【答案】（1）200人.
（2）分布列见解析，0.6
【解析】
【分析】（1）由变量 近似服从正态分布 ，求得 ，进而得到问卷成绩在80分
以上的市民人数；
（2）根据题意，得到随机变变量 ，结合对立重复试验的概率公式，求得相应的概率，列出
分布列，求得数学期望.
【小问1详解】
解：因为随机变量 近似服从正态分布 ，且 ，所以 ，所以 ，
所以估计抽取市民中问卷成绩在80分以上的市民人数为200人.
【小问2详解】
解：由题意，贵阳市市民对“数博会”关注度较高的概率为 ，且 ，
所以随机变量 的分布列为 ，
所以随机变量 的分布列为：
0 1 2 3
.
0.512 0.384 0096 0.008
所以随机变量 的均值为 .
18. 已知圆： 的圆心为椭圆 的右焦点 ，且椭圆 的离心
率为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）过点 且不与 轴重合的直线 交椭圆 于 两点， 为 的中点， 为坐标原点，分别过
作椭圆 的切线，两切线相交于点 .
（i）求证： 三点共线；
（ii）当 不与 轴垂直时，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析；（ii） .
【解析】【分析】（1）根据焦点坐标和离心率求得 ， ，即可求解椭圆方程；
（2）（i）分 斜率不存在和存在两种情况讨论，当 斜率存在时，设出方程与椭圆方程联立，韦达定理求
出 的坐标，利用判别式法求出切线方程，进而求得 的坐标为 ，即可证明
三点共线；
（ii）利用距离公式和弦长公式分别求出 ，即可求解.
【小问1详解】
由圆： 即 可得：圆心 ，所以 ，
又离心率 ，所以 ，所以 ，
所以椭圆标准方程为 .
【小问2详解】
（i）①当 斜率不存在时， 轴，
由椭圆的对称性可知， 均在 轴上，所以 三点共线.
②当 斜率存在时，设 的方程为 ，且 ，
联立方程组 可得： ，
则 ，点 的坐标为 ，
所以 所在的直线的方程为 ，
先证：椭圆 上一点 处的切线方程为 ，当切线斜率存在时，设过点 的切线方程为 ，
联立方程 ，整理得 ，
由 可得 ，所以
由韦达定理可知 ，即 ，
把 代入 中，得 ，
所以 ，化简得 ．
当切线斜率不存在时，过 的切线方程为 ，满足上式．
综上，椭圆上一点 的切线方程为 .
所以椭圆 在 处的切线方程为 ，
联立方程组 解得点 的坐标为 ，
，故 三点共线.
（ii）由（i）可知， ，
又 三点共线，所以 ，所以 ，即点 化简得 ，
所以 ， ，
所以
，当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以 的最小值为 .
【点睛】关键点睛：解决第二问的关键是证明过椭椭圆 上一点 处的切线方
程为 ，属较难题.
19. 设 是函数 的导函数，若 可导，则称函数 的导函数为 的二阶导函数，
记为 .若 有变号零点 ，则称点 为曲线 的“拐点”.
（1）研究发现，任意三次函数 ，曲线 都有“拐点”，且该“拐
点”也是函数 的图象的对称中心.已知函数 的图象的对称中心为 ，
求函数 的解析式，并讨论 的单调性；（2）已知函数 .
（i）求曲线 的“拐点”；
.
（ii）若 ，求证：
【答案】（1） ，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
在 上单调递增.
（2）（i） ；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“拐点”的定义，对函数 求导列式求解 ，利用导数研究函数
的单调性即可求解，
（2）（ⅰ）根据“拐点”的定义，对函数 求导，利用二阶导函数的异号零点得出结果；
（ⅱ）由（i）可得函数 在 上单调递增，将要证的不等式转化为 ，构造函
数 ，利用导数研究函数的单调性，再根据函数 的单调性得到关于 的
不等式，即可证明.
【小问1详解】
， ， ，
又函数 的图象的对称中心为 ，即拐点为 ，
解得 ，， ，
函数 在 上为正，在 上为负，在 上为正，
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增.
【小问2详解】
（i） ，
， .
显然， 在 上单调递增，且 ，
是 的变号零点，
又 ，
曲线 的拐点是 .
（ii）由（i）可得，当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
，
函数 在 上单调递增，不妨设 .
要证 ，即证 ，即证 ，.
又 ，即证 ，即证
令 ，则 ，
，
函数 在 上单调递增，又 ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
得证，即 成立.
【点睛】方法点睛：处理此类双变量问题有两个策略：
一是转化，即从已知条件入手，寻找双变量所满足的不等式，并把含双变量的不等式转化为含单变量的不
等式；
二是巧妙构造函数，再借用导数判断函数的单调性，从而求解.
