文档内容
高一（下）第二次月考数学试卷
注意事项：
1．本试题满分 150分，考试时间为 120分钟．
2．答卷前考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡指定位置上．
3．使用答题纸时，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷
上答题无效．
4．请诚信考试．
第I卷 （选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出集合 ,根据集合的交集运算,求得答案.
【详解】由题意， ，则 或 ，
，
故 ，
故选：B
2. 设z=i(2+i)，则 =
A. 1+2i B. –1+2i
C. 1–2i D. –1–2i
【答案】D
【解析】
【分析】本题根据复数的乘法运算法则先求得 ，然后根据共轭复数的概念，写出 ．
【详解】 ，所以 ，选D．
【点睛】本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概
念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
3. “ ”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称命题的否定是特称命题求解即可.
【详解】由于全称命题“ ”的否定为“ ”，
所以 ， 的否定为 ， ．
故选：B．
4. 函数 的定义域是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】对数型函数定义域为真数大于0，求解即可.
【详解】函数 需满足 ，解得 ，所以函数 的定义域为 .
故选：C.
5. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由诱导公式化简求值即可.【详解】 ，
故选：A
6. 设 ， ， ，则a、b、c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用中间数0，1结合函数的单调性可得三者之间的大小关系.
【详解】 ， ， .
故选：D.
7. 已知 ， ，若 ，则 （ ）
A. -1 B. -1或3 C. -3或1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出关于m的方程，求得答案.
【详解】由 可得： ，
即 ，解得 或 ，
故选：B
8. 将函数 的图象向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列说法正确的是（
）
A. 函数 是偶函数
B. 函数 的图象的一条对称轴方程为
C. 函数 的图象的一个对称中心为D. 函数 在 上单调递增区间是
【答案】B
【解析】
【分析】由题可得 ，进而可得 ， ，
然后利用正弦函数的性质即可得正确答案.
【详解】由题可得 ，
由 ，可得 为奇函数，故A不正确；
当 时， ，所以函数 的图象的一条对称轴方程为 ，故B正确；
由 ，
当 时， ，所以 不是函数 的图象的一个对称中心，故C不正确；
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，故D不正确.
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分
9. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【答案】CD
【解析】【分析】根据同一函数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.
【详解】对于A：函数 的定义域为 ，函数 定义域为R，两函数定义域不同，故不是同一
函数；
对于B：函数 定义域为R，化简可得 ，与 解析式不同，故不 是同一函数；
对于C：函数 定义域为 ，化简可得 ，函数 定义域为 ，化简
可得 ，故为同一函数；
对于D：函数 定义域为R，化简可得 ，与 为同一函数.
故选：CD
10. 下列叙述中正确的是（ ）
A. 三点 能确定一个平面
B. 若点 且 ，则
C. 若直线 ，则直线 与直线 能够确定一个平面
D. 若点 ，且 ，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】据题意，结合立体几何的公理，依次分析选项，即可得到结果．
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，不共线的三点确定一个平面，故A错误；
对于B，若点 且 ，则由公理二知 ，故B正确；
对于C，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确；
对于D，若点 ，且 ，则由公理一知l α，D正确.
⊂
故选：BCD．11. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的函数图象，则下列说法正确的是（
）
A. 是奇函数 B. 的周期是
C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于 对称
【答案】AC
【解析】
【分析】根据图像平移和三角函数的诱导公式可得 ，由此即可得到结果.
【详解】将函数 的图象向左平移 个单位，可得 ，
所以 是奇函数，且图象关于直线 对称.
故选：AC.
【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换和诱导公式的应用，属于基础题.
12. 具有性质 的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”
变换的函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】对于选项A、B、D，代入化简判断即可；对于选项C，分类讨论再化简判断即可．
【详解】对于选项A，f（ ） x，﹣f（x） x，故满足“倒负”变换；
对于选项B，
f（ ） x，﹣f（x） x，故不满足“倒负”变换；
对于选项C，
当0＜x＜1时，f（ ）＝﹣x，﹣f（x）＝﹣x，
当x＝1时，f（1）＝0，成立，
当x＞1时，f（ ） ，﹣f（x） ，
故满足“倒负”变换；
对于选项D，
f（ ） ，﹣f（x） ，故不满足“倒负”变换；
故选：AC．
第II卷 （非选择题）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13. 角 是第二象限角， ，则 ___________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】依题意，求出 ，利用正弦二倍角公式求解即可.
【详解】因为角 是第二象限角， ，所以 ，
所以 ，
故答案为： .
14. 已知 ， ，且 ，则 的最小值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】利用“1”的妙用，运用基本不等式即可求解.
【详解】∵ ，即 ，
∴
又∵ ， ，∴ ，当且仅当 且 ，
即 ， 时，等号成立，则 的最小值为4.
为
故答案 ： .
15. 若球 、 的表面积之比 ，则它们的体积之比 ______．
【答案】8
【解析】
【分析】利用球体的表面积 和体积公式 计算．
【详解】设球 、 的半径分别为 、则可得 即
∴
故答案为：8．
16. 已知函数 为定义在R上的奇函数，函数 ．则：
________．
【答案】4039
【解析】
【分析】根据函数 为定义在R上 的奇函数， ，可得 ，从而
即求解.
【详解】函数 为定义在R上的奇函数，函数 ，
所以 ，
设
则 ，
两式相加可得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：4039
【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，考查了逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知向量 .在下列条件下分别求实数 的值.（1） 与 平行；
（2） 与 垂直.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求得 ， ，结合 与 平行，列出方程，
即可求解；
（2）由题意求得 ， ，结合 与 垂直，列出方程，即可求解；
【小问1详解】
解：由题意，向量 ，可得 ， ，
因为 与 平行，可得 ，解得 .
【小问2详解】
解：由题意，向量 ，可得 ， ，
因为 与 垂直，可得 ，解得 .
18. 已知函数 ， ．
（Ⅰ）求 的最小正周期；
（Ⅱ）求 在 上的最小值和最大值．
【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）最小值 和最大值 ．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将 的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数 的最小正周期计算公式 ，即可求得
函数 的最小正周期；（2）由（1）得函数 ，分析它在闭区间 上的单
调性，可知函数 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数，由此即可求得函数
在闭区间 上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数 在闭区间 上的
最大值和最小值．
由已知，有
的最小正周期 ．
（2）∵ 在区间 上是减函数，在区间 上是增函数， ，
，∴函数 在闭区间 上的最大值为 ，最小值为 ．
考点：1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．
19. 已知函数 ．
（1）证明函数 为奇函数；
（2）若 ，求函数的最大值和最小值．
【答案】（1）证明见解析（2）最小值 ；最大值
【解析】
【分析】（1）先判断函数定义域是否关于原点对称，再利用奇偶性的定义进行判断；
（2）先利用定义法判断函数的单调性，进而求出区间上的最值.
【小问1详解】
证明： 的定义域为 ，关于原点对称，
，
所以 在定义域上为奇函数；
【小问2详解】
（2）在 上任取 ，且 ，
则
∵ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 上单调递增，
∴最小值为 ，最大值为
20. 在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ．
（1）求 ；的
（2）若 ，求 面积．
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理及两角差的正弦公式可求出结果；
（2）由 求出 ，根据正弦定理求出 ，再根据三角形面积公式可求出结果.
【小问1详解】
由 及正弦定理得 ．
因为 ，所以 ．
所以 ．
整理得 ．
即 ．
【小问2详解】
由（1）可知 ，则 ，
所以 ，
由正弦定理 ，得 ，
所以 ，所以 的面积为 ．
21. 如图，在三棱锥 中，E，F分别是AB，AP的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若三棱锥 的各棱长均为2，求它的表面积.
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）由中位线证明线线平行，从而线面平行；（2）得出该三棱锥为正四面体，求出边长为2的
等边三角形的面积，再乘以4即可
【小问1详解】
因为E，F分别是AB，AP的中点，
所以EF是三角形ABP的中位线，
所以EF//PB，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
【
小问2详解】
若三棱锥 的各棱长均为2，
则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，故它的表面积为
22. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为
1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例
为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=
（出厂价﹣投入成本）×年销售量．
（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？
【答案】（1）y=﹣60x2+20x+200（0＜x＜1）．（2）为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成
本增加的比例x应满足 0＜x＜ ．
【解析】
【详解】
【分析】试题分析：（1）根据若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例
为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x和年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．建立利润模
型，要注意定义域．
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得
结果，要注意比例的范围．
解：（1）由题意得
y=[1.2×（1+0.75x）﹣1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1）（4分）
整理得y=﹣60x2+20x+200（0＜x＜1）．（6分）
（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当
即 （9分）
解不等式得 ．
答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足 0＜x＜ ．（12分）
考点：函数模型的选择与应用．
