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5.3.1 函数的单调性
【题组一 求函数的单调区间】
1
1．（2020·河南信阳·高二期末（文））已知函数f(x)= x2-lnx，则其单调增区间是（ ）
2
A．¿ B．[0，1] C．(0,+∞) D．(1,+∞)
【答案】D
1
【解析】f(x)= x2-lnx，定义域为(0，+∞)
2
1
令f'(x)=x- >0解得x>1
x
1
故函数f(x)= x2-lnx单调增区间是(1，+∞)故选D
2
2．（2020·吉林净月高新技术产业开发区·东北师大附中高二月考（理））函数 的单调递
增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ， ，令 ，解得 .
因此，函数 的单调递增区间是 .故选：D.
3．（2020·北京丰台·高三二模）已知函数 ，则
A．是奇函数，且在定义域上是增函数
B．是奇函数，且在定义域上是减函数
C．是偶函数，且在区间 上是增函数
D．是偶函数，且在区间 上是减函数
【答案】B
【解析】根据题意，函数 ，则有 ，解可得 ，即 的定义域为 ；设任意 ， ，则函数 为奇函数；
，其导数 ，
在区间 上， ，则 为 上的减函数；故选： ．
4．（2020·山西省古县第一中学高二期中（理））函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C．(1,4) D．(0,3)
【答案】B
【解析】 ， ，解不等式 ，解得 ，
因此，函数 的单调递增区间是 ，故选B.
5．（2020·沙坪坝·重庆一中高三月考）函数 的一个单调减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，该函数的定义域为 ，
，
，可得 ，
令 ，可得 ，即 ，解得 .
所以，函数 的单调递减区间为 .当 时，函数 的一个单调递减区间为 ，
，
对任意的 ， ， ，
，
故函数 的一个单调递减区间为 .
故选：A.
6．（2020·安徽高三开学考试（理））若曲线 在点 处的切线过点 ，则函数
的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D． ，
【答案】D
【解析】由题意 ，
∴ ，又 ，
故曲线在点 处的切线方程为 ，
将点 代入可得 ，则 ，
令 ，
所以 或 ，
故函数在 ， 上单调递减.
故选：D
7．（2020·云南昆明一中高三其他（理））函数 的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数的定义域是 ， ，
令 ，解得 ，
故函数 在 上单调递减，选：D.
【题组二 已知单调性求参数】
1．（2020·四川省绵阳江油中学高二期中（文））已知 在 上为单
调递增函数，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
因为 在 上为单调递增，等价于 恒成立.即 在 上恒成立.因为 ，当 时，取“ ”，
所以 ，即 的范围为 .故选：D
2．（2020·河南南阳·高二期末（理））函数 在区间 上单调递减，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ，
由题意可知，不等式 对于任意的 恒成立，
所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
3．（2020·佳木斯市第二中学高二期末（文））“a≤-1”是“函数f(x)=ln x-ax在[1,+∞)上为单调函数”的（
）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为函数f(x)=ln x-ax在[1,+∞)上为单调函数，
所以 在[1,+∞)上恒成立或 在[1,+∞)上恒成立，
即 或 ，
从而 或因为“ ”是“ 或 ” 充分不必要条件，
所以“a≤-1”是“函数f(x)=ln x-ax在[1,+∞)上为单调函数”的充分不必要条件，
故选：A
4．（2020·赣州市赣县第三中学高二月考（文））已知函数 ，若函数 在
上为增函数，则正实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数 ， ，
因为函数 在 上为增函数，所以 在 上恒成立，
又 ，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ，所以 ，故选：D
5．（2019·四川树德中学高二月考（理）） 在 单调递增，则 的范
围是__________．
【答案】
【解析】 ，则 ，
因为函数 在 上单调增，可得 在 上恒成立，
即 ，令 ，则 ， ，所以 ，因为 在 上是增函数，
所以其最大值为 ，
所以实数 的取值范围是 .
6．（2020·黑龙江让胡路·铁人中学高二期末（理））设函数 在 ， 上单调递增，则
的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． D．
【答案】B 在 ， 上单调递增，
在 ， 上恒成立，即 ，
而函数 在 ， 上单调递增， 当 时， ， ，
的取值范围是 ， ．故选： ．
7．（2020·西夏·宁夏大学附属中学高二期中（理））若函数 在区间 上单调递减，
则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 在区间 上单调递减，
所以 在 恒成立，
所以 即 解得： .8．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））设函数 在区间 上单调递减，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意 ，由此排除CD选项.
由 ，解得 ，
所以函数 的单调递减区间为 .
由此排除B选项，只有A选项正确.
证明如下：
由于 在区间 上单调递减，
所以 ，解得 .
故选：A
【题组三 单调性与图像】
1．（2020·陕西省商丹高新学校高二月考（理））已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么函
数 的图象最有可能的是（ ）A． B． C． D．
【答案】 A
【解析】 时， ，则 单调递减；
时， ，则 单调递增；
时， ，则f（x）单调递减．
则符合上述条件的只有选项A．
故选A．
2．（2020·四川内江·高二期末（文））如图所示为 的图象，则函数 的单调递减区间
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由导函数图象，知 或 时， ，∴ 的减区间是 ， ．
故选：C．
3．（2020·浙江高二期中）函数 的图象大致为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，且定义域 关于原点对称，所以函
数 为偶函数，故排除B项；
，设 ，则 恒成立，所以函数
单调递增，所以当 时， ，
任取 ，则 ，所以， ， ，
所以，函数 在 上为增函数，故排除C、D选项.
故选：A.
【题组四 利用单调性解不等式】
1．（2020·四川省绵阳南山中学双语学校高二月考（文））定义在 上的函数 的导函数为 ，且 ，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数 ，
∵ ，
∴ ，
∴函数 在 上单调递减，
又 ，
∴不等式 的解集为 ，
故选：A.
2．（2020·山西祁县中学高二月考（文））设函数 ，则使得 成立
的 的取值范围是（ ）
24 π
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，所以 ， 为 上的偶函数，又 ，当 时， ，故 在 上为增函数.
因 ，由 得到 ，
故 ， 或 ，选D.
3．（2020·山东德州·高三二模）已知函数f（x）的定义域为R，且 ，则不等
式 解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】构造函数 ,则 ,故 在 上为增函数.
又 ,故 即 ,即 .解得 .
故选：C
4．（2020·历下·山东师范大学附中高三月考）已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若
，且当 时， ，则不等式
的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，则 ，
， ， ，为定义在 上的偶函数；
当 时， ， 在 上单调递减，
又 为偶函数， 在 上单调递增.
由 得：
，即 ，
，解得： ，即不等式的解集为 .
故选： .
5．（2020·安徽庐阳·合肥一中高三月考（文））已知函数 ，其中e是自然数对
数的底数，若 ，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于 ，，则f（﹣x）＝﹣x3 +e﹣x﹣ex＝﹣f（x），故函数f（x）
为奇函数．
故原不等式f（a﹣1）+f（2a2）≤0，可转化为f（2a2）≤﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），即f（2a2）≤f（1﹣
a）；
又f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x，由于ex+e﹣x≥2，故ex+e﹣x﹣cosx>0，
所以f'（x）＝3x2﹣cosx+ex+e﹣x≥0恒成立，
故函数f（x）单调递增，则由f（2a2）≤f（1﹣a）可得，2a2≤1﹣a，即2a2+a﹣1≤0，解得 ，
故选B．
【题组五 利用单调性比较大小】
1．（2020·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）已知函数 是定义在 上的偶函数，且当
时， ，若 ， ， ，
则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】令 ，由 是定义在 上的偶函数，
可得 是定义在 上的奇函数，
又因为 时， ，
所以 在 上是增函数，所以 是定义在 上的增函数，
又由 ，所以 ，
即 .
故选：A.
2．（2020·江苏淮安·高三月考）已知函数 ， ，若 ， ，
则a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为 ，
所以 在 上单调递增，
因为 ， ， ，
所以 ，
所以 ，
故 ．
故选：B．
3．（2020·五华·云南师大附中高三月考（理））已知函数 ，若 ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数 ，
设 ， ，
则 在 恒成立，
函数 在 上单调递增，
，
即函数 在 上单调递增，且 ，又 函数 在 上单调递增，且 ，
函数 ，在 上单调递增，且 ，
又 ，
函数 是偶函数，
， ，
， ，而 ， ，
，
又 函数 在 上单调递增，
，
即 ，
故选： ．
4．（2020·河南高三其他（理））设 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
当 时， ，故 在 为减函数，
， ，则 ，故 ；又 ， ，即 ，故 ，
．
故选： ．
5．（2020·江西南昌二中高三月考（文））已知函数 是定义在R上的偶函数，当 时，
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
由 ，
所以 ，
因为函数 是定义在R上的偶函数，所以 ，
所以 ，
故选：D
