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6.3.2 二项式系数的性质 -B提高练
一、选择题
1．（2021·首都师范大学附属中学高二期末）在 的展开式中，只有第5项的二项式系数
最大，则展开式中的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题设知：只有第5项的二项式系数为 最大，∴由对称性知： ，而展开式通项
，∴ 时，常数项为 .
2．（2021·全国高二专题练习）已知 ，
，则自然数 等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【详解】由题意，令 ，则 ，因为
，所以 ，解得 .故选：C.
3．（2021·江西九江一中高二月考）在 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所
有项的系数和为0，则含 的项系数为（ ）
A．45 B．-45 C．120 D．-120
【答案】A
【详解】∵在 的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，∴在 的展开式有11项，即n=10；而展开式的所有项的系数和为0，
令x=1，代入 ，即 ，所以a= -1.
∴ 是展开式的通项公式为： ，
要求含 的项，只需10-2r=6，解得r=2，所以系数为 .
4．（2021·全国高二单元测）已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，
则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意可得 ，又展开式的通项公式为 ，
设第 项的系数最大，则 ，即 ，
求得 或6，此时， ， ，故选：A．
5.（多选题）（2021·江苏南通市·高二月考）若 的展开式中第 项的二项式系数最大，
则 的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【详解】分以下三种情况讨论：
①展开式中第 项和第 项的二项式系数最大，则展开式共 项，可得 ，得 ；②展开式中只有第 项的二项式系数最大，则展开式共 项，可得 ，得 ；
③展开式中第 项和第 项的二项式系数最大，则展开式共 项，可得 ，得 .
因此， 的可能值为 、 、 .故选：ABC.
6．（多选题）（2021·湖南衡阳市八中高二月考）关于 及其展开式，下列说法正确的是
（ ）
A．该二项展开式中二项式系数和是 B．该二项展开式中第七项为
C．该二项展开式中不含有理项 D．当 时， 除以100的余数是1
【答案】BD
【详解】对于A，该二项展开式中二项式系数和是 ，故错误；
对于B，由于 ，即该二项展开式中第七项为 ，故正
确．
对于C，该二项展开式中，最后一项为 ，是有理项，故错误．
对于D，当 时， ，
除了最后一项（最后一项等于1），前面的所有项都能被100整除，即当 时，
除以100的余数是1，故正确．故选：BD.
二、填空题
7．（2021·福建厦门双十中学高二月考）如果 的展开式中各项系数之和为4096，则展
开式中 的系数为________.
【答案】1215
【详解】由 的展开式中各项系数之和为4096，令x＝1得 ，解得n＝6；所以
令 得：r＝2，从而得展开式中x的系数为 。
8．（2021·全国高二专题练）若 ，则
的值为________.
【答案】-1
【详解】因为 ，
令 可得 ；令 可得： ；
故 ．
9．（2021·河南南阳中学高二月考）在 的展开式中，各项系数的和为 ，二项式系数
之和为 ，且 是 与 的等差中项，则正整数 的值为___________.
【答案】3
【详解】 的展开式
令二项式中的 得到展开式中的各项系数的和为 ，
又各项二项式系数的和 ，为 ，
根据题意得 即 ，
解得 或 (负值舍)，故 .
10．（2021·湖北黄冈市高二期末）若函数 ，其中 ≤x≤，则 的最大值为_______．
【答案】22021
【详解】令 ，则有 ，按 的升幂排列，
，
，
两者相加时， 的奇数次幂抵消，偶数次幂系数相同，
所以 ，则 偶数次幂的最大值为1，
所以 最大值为：
.
三、解答题
11．（2021·江苏省苏州第十中学校高二期中）已知在 的展开式中，_________（填写
条件前的序号）
条件①第5项的系数与第3项的系数之比是14：3；
条件②第2项与倒数第3项的二项式系数之和为55；
条件③ .
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中含 的项.
【答案】（1） （2）
【详解】通项公式为 ， ，
若填条件①，
（1）依题意得 ，即 ，所以 ，整理得 ，
所以 或 （舍），
因为 ，所以 的展开式共有 项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以 .
（2）通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以展开式中含 的项为 .
若填条件②，
（1）依题意得 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 或 （舍），
因为 ，所以 的展开式共有 项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以 .
（2）通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以展开式中含 的项为 .若填条件③，
（1）依题意得 ，则 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 的展开式共有 项，
所以展开式中二项式系数最大的项是第6项，
所以 .
（2）通项公式为 ，
令 ，得 ，
所以展开式中含 的项为 .
12．（2021·全国高二单元测）已知 的展开式中第2项与第5项的二项式系数相等，求
的展开式中：
（1）所有二项式系数之和；
（2）二项式系数最大的项；
（3）系数的绝对值最大的项.
【答案】（1） ；（2） ；（3）第 项 .
【详解】解：（1）由题意 ，解得 .
二项式系数和为
（2）由于 为偶数，所以 的展开式中第6项的二项式系数最大，即 .
（3）设第 项的系数的绝对值最大，
则
∴ ，得 ，即
∴ ，∴ ，
故系数的绝对值最大的是第4项，即：
