文档内容
兰州一中2023-2024-2学期期末考试题
高一数学 答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）
1. C 2. B 3. A 4. D 5. D 6. B 7. C 8. C
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.)
9. BCD 10. AB 11. BC
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 13. 14.
四、解答题(本大题共5小题，共77分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
15．（13分）
解：（1）在正方体 ， 且 ，
∴ 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ,
∴ 平面 . .................................................................................6分
（2）∵在正方形ABCD中，设 ，连接 ，
∴ ， ，
∵ 中， ，∴ 为等腰三角形，∴ ，
∴ 即为二面角 的平面角，
∵在 中， ，
∴ ，即二面角 的正弦值为 . ..................................13分
16．（15分）
兰州一中高一年级期末数学试卷答案 第 1 页 共 5 页
学科网（北京）股份有限公司解：（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以 ，解得 ，
所以前两组的频率之和为 ，即 ，所以 ；
平均数为 ， .....................................................7分
（2）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为 ， ， ， ，第五组志愿者人数为1，设为
，
这5人中选出2人，所有情况有 ， ， ， ， ， ． ， ， ， ，
共有10种情况，
其中选出的两人来自同一组的有 ， ， ， ， ， 共6种情况，
故选出的两人来自同一组的概率为 ． .....................................................15
分
注：第(2)问若用计数原理，排列组合计数也给分.
17.（15分）
解：（1）因为 ， ，
所以 .
所以 ，得 ，即 . .....................................................7
分
（2）因为 ，
所以 ，解得 ，
因为 ，且A为三角形的内角，所以 ， ，
又因为 ，所以 .
因为 ，∴ .
所以 ，
所以 ，
兰州一中高一年级期末数学试卷答案 第 2 页 共 5 页所以 . .....................................................15分
18.（17分）
解：（1） 点 在底面 上的射影是 与 的交点 ，
平面 ，
平面 ，
，
四边形 为菱形，
，
又 ， 平面 ，
平面 ，
平面 ，
. .....................................................................................4分
（2）由题意可得 ､ 与 都是边长为2的等边三角形，
， ，
，
，
，
设点 到平面 的距离为 ，
由 得 ，即 ，解得 .
故点 到平面 的距离为 . .....................................................10分
（3）设直线 与平面 所成的角为 ，
.
到平面 的距离即为 到平面 的距离 .
过 作垂线 平面 交于点 ，则 ，
兰州一中高一年级期末数学试卷答案 第 3 页 共 5 页
学科网（北京）股份有限公司此时 ，要使 最大，则需使 最小，此时 .
由题意可知： ， ，
平面 ，且 ，
， ，
在 中，由余弦定理可得：
，
，
由 ，得 ，解得： ，
综上，点 在线段 上靠近点 的4分点处时，直线 与平面 所成的角最大，此时最大角的正弦
注：第(1)问用三垂线定理证明也给分；各问用坐标法也给分.
19.（17分）
解： （1）设 成公差为r的等差数列，显然r>0，
则由 得 ，
由 得 ，解得 ，
数列 为所求3阶“归化”数列. .....................................................4
分
(2) 设等差数列 的公差为 ，
因为 ，所以 ，所以 ，即 .
当 时,与归化数列的条件 相矛盾.
兰州一中高一年级期末数学试卷答案 第 4 页 共 5 页时，由 ，得
当
联立解得 ，所以
当 时，由 ，同理解得 ，
所以 .
综上，当 ， .............10
分
(3)由已知可得：必有 也必有
.
设 为诸 中所有大于0的数， 为诸 中所有小于0的数，
由已知得 .
所以 .....................................................17分
兰州一中高一年级期末数学试卷答案 第 5 页 共 5 页
学科网（北京）股份有限公司
