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专题 13 预备知识十三：幂函数
1、通过具体实例，了解幂函数的定义，会画 ， ， ， ， 五个幂函数的图
象，理解它们的性质；
2、通过对幂函数的研究，体会研究一类函数的基本内容与方法．
知识点一：幂函数的概念
1、定义：一般地，函数 叫做幂函数，其中 是自变量， 是常数.
2、幂函数的特征
① 中 前的系数为“1”
② 中 的底数是单个的自变量“ ”
③ 中 是常数
知识点二：幂函数的图象与性质
1、五个幂函数的图象(记忆五个幂函数的图象）
当 时，我们得到五个幂函数：
； ； ； ；
2、五个幂函数的性质
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司定义域
值域
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
在 上
在 上单 单调递减 在 上单调 在 在 上单调递减
单调性
调递增 在 单 递增 单调递增 在 上单调递减
调递增
定点
3、拓展：
① ，当 时， 在 单调递增；
② ，当 时， 在 单调递减.
对点特训一：求幂函数的值
典型例题
例题1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数 的图象经过点 ，则 ＝（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.
【详解】设幂函数 ，因为 的图象经过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：C
例题2．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数 的图象通过点 ，则 ．
【答案】 /0.5
【分析】由幂函数的定义，结合函数过 求得函数解析式，进而可得 的值.
【详解】设幂函数 的解析式为
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司∵幂函数 过点
∴
∴
∴该函数的解析式为 ，
∴ .
故答案为：
精练
1．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出 ，得到解析式，代入求值即可.
【详解】因为 是幂函数，所以 ，即 ，
所以 ， .
故选：A.
2．（23-24高一下·广西南宁·开学考试）已知函数 是幂函数，则 ．
【答案】4
【分析】根据幂函数的定义求出参数 的值，即可得到函数解析式，再代入计算可得.
【详解】因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 ， ， .
故答案为：
对点特训二：求幂函数的解析式
典型例题
例题1．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）幂函数 在 上是减函数，
则实数 的值为（ ）
A．2或 B． C．2 D． 或
【答案】B
【分析】根据幂函数解析式的特征，以及幂函数的性质，即可求解 的值.
【详解】由题意可知， ，解得： 或 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司当 时， ，函数在 上是减函数，成立，
当 时， ，函数在 上是增函数，不成立，
所以 .
故选：B
例题2．（23-24高一下·辽宁·阶段练习）已知幂函数 的图象与坐标轴无交点.
(1)求 的解析式；
(2)解不等式 .
【答案】(1) ；
(2) 且 .
【分析】（1）利用幂函数的定义，结合图象特征求出 即得.
（2）由幂函数的单调性结合奇偶性求解不等式.
【详解】（1）由 是幂函数，得 ，解得 或 ，
由 的图象与坐标轴无交点，得 ，则 ，
所以 的解析式是 .
（2）显然函数 是偶函数，且在 上单调递减，
不等式 ，
因此 ，解得 且 ，
所以原不等式的解集为 且 .
精练
1．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数 满足①函数图象不经过原点;②
，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数.
【详解】因为 对 ，则 在 上为减函数，
又因为幂函数 （ 为常数），当 不经过原点时， 即可，
故可取 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故答案为： （答案不唯一）.
2．（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知幂函数 的图像关于 轴对称，则 .
【答案】1
【分析】由幂函数和偶函数的性质求解即可.
【详解】由于函数是幂函数，所以 ，解得 或 .
当 时， ，是奇函数，图象不关于 轴对称；
当 时， ，是偶函数，图象关于 轴对称，符合题意，所以 的值为1.
故答案为： .
对点特训三：求幂函数的值域
典型例题
例题1．（23-24高一上·陕西商洛·期中）已知幂函数 满足：
① 在 上为增函数，
②对 ，都有 ，
求同时满足①②的幂函数 的解析式，并求出 时， 的值域.
【答案】 ，
【分析】利用幂函数的性质及题设条件可确定 表达式，进而确定其在指定区间上的值域.
【详解】因为 在 上为增函数，所以 ，解得 ，
又 ，所以， 或 ．
又因为 ，所以 是偶函数，所以 为偶数．
当 时， 满足题意；当 时， 不满足题意，
所以 ，
又因为 在 上递增，所以 ， ，
故 时， 的值域是 ．
例题2．（2024高一·全国·课后作业）已知幂函数 ，其中 ，满足：
①在区间 上单调递增；
②对任意的 ，都有 .
求同时满足条件①②的幂函数 的解析式，并求 时 的值域.
【答案】 ，值域为
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【分析】先根据幂函数的性质求出 ， ，再根据单调性可得 的值域.
【详解】因幂函数 在区间 为增函数，
则 ，即 ，
解得： ，
又因 ，所以 或 ，
当 时， 为偶函数，不满足 ；
当 时， 为奇函数，满足 ；
故 ，
当 时， ，
即函数 的值域 .
精练
1．（23-24高一·全国·课后作业）已知幂函数 的图象经过点 ．
（1）求函数 的解析式；
（2）设函数 ，求函数 在区间 ， 上的值域．
【答案】（1） ， ；（2） .
【解析】（1）设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可；
（2）求出 的解析式，根据函数的单调性求出函数的值域即可．
【详解】解：设函数的解析式为 ，
则 ，解得： ，
故 ， ；
（2）由（1） ，
在 递增，
故 ，
，
故函数的值域是 ．
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【点睛】本题考查了幂函数的定义，考查函数的值域以及函数的单调性问题，属于基础题．
2．（23-24高一上·山东泰安·阶段练习）已知幂函数 （其中 ， ）满足：
①在区间 上为减函数；
②对任意的 ，都有 .
求幂函数 的解析式，并求当 时， 的值域.
【答案】 ，值域为
【解析】根据条件分析 ，0，1，依次检验①②，即可得解.
【详解】解： ， ， ，0，1.
对任意 ，都有 ，即 ， 是偶函数.
当 时， ，满足条件①②；
当 时， ，不满足条件①；
当 时， ，条件①②都不满足，故同时满足条件①②的幂函数 的解析式为 ，
且在区间 上是增函数， 当 时，函数 的值域为 .
【点睛】此题考查根据幂函数的概念结合单调性和奇偶性求函数解析式，根据函数解析式求函数值域.
对点特训四：幂函数的图象问题
典型例题
例题1．（2024·四川南充·二模）已知函数 的图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质一一判断即可.
【详解】对于A：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故A错误；
对于B：函数 的定义域为 ，显然不符合题意，故B错误；
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司对于C：函数 的定义域为 ，又 为奇函数，又 在 上函数是下凸递增，故不符合题
意，故C错误；
对于D：函数 的定义域为 ，又 为奇函数，且 在 上函数是上凸递增，故D
正确.
故选：D
例题2．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数 则 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】结合幂函数知识，画出 的图象，将该图象沿 轴对称即可.
【详解】结合题意可得：当 时，易知 为幂函数，在 单调递增；
当 时，易知 为幂函数，在 单调递增.
故函数 ,图象如图所示:
要得到 ，只需将 的图象沿 轴对称即可得到.
故选：C.
精练
1．（23-24高一下·海南省直辖县级单位·阶段练习）幂函数 ， ， ， 在第一象限
内的图象依次是如图中的曲线（ ）
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司A． ， ， ， B． ， ， ，
C． ， ， ， D． ， ， ，
【答案】D
【分析】根据幂函数的性质即可求解.
【详解】根据幂函数 的性质可知，在第一象限内的图像，当 时，图像递增，
且 越大，图像递增速度越快，由此可判断 是曲线 ， 是曲线 ；
当 时，图像递减，且 越大，图像越陡，由此可判断 是曲线 ，
是曲线 ；综上所述幂函数 ， ， ， ，
在第一象限内的图象依次是如图中的曲线 ， ， ， .
故选：D.
2．（23-24高一上·上海闵行·期末）如图为三个幂函数 在其定义域上的局部图像，则
实数 从小到大的排列顺序为 .（请用“ ”连接）
【答案】
【分析】利用幂函数的性质判断 的大小即可得解.
【详解】对于 ，由其图象可知 ，例如 ；
对于 ，由其图象可知 ，例如 ；
对于 ，由其图象可知 ，例如 ；
所以 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故答案为： .
对点特训五：幂函数图象过定点问题
典型例题
例题1．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）幂函数 的图象不可能在第四象限，但所有图象过定点，
定点坐标为 .
【答案】
【分析】根据幂函数的图象与性质，直接求出定点坐标即得.
【详解】因为对任意实数 ，当 时， ，
所以所有幂函数的图象都过点 .
故答案为：
例题2．（23-24高一上·福建莆田·期中）已知函数 的图象恒过定点 ，若点 在一次函数
的图象上，其中 ， ，则 的最小值为 .
【答案】4
【分析】求出函数 的图象恒过定点 ，得到 ，使用基本不等式求 的最小值.
【详解】函数 的图象恒过定点 ，所以 ,
因为 ，所以 ，
当 时， 的最小值为4.
故答案为：4
精练
1．（22-23高一上·上海静安·期中）不论实数 取何值，函数 恒过的定点坐标是 ．
【答案】
【分析】根据 ，即可知 恒过定点 .
【详解】因为 ，故当 ，即 时， ，
即函数 恒过定点 .
故答案为： .
2．（20-21高一·全国·课后作业）函数 的图象过定点 ．
【答案】
【分析】由幂函数 的图象过 ，将 代入 ，可求出答案.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】幂函数 的图象过 ，
将 代入 ，可得 ，
所以函数 的图象过定点 .
故答案为： .
【点睛】本题考查函数图象过定点问题，注意利用幂函数过定点 的性质，属于基础题.
对点特训六：幂函数的单调性及其应用
典型例题
例题1．（23-24高一上·浙江温州·期中）已知函数 是幂函数，对任意 ，
，且 ，满足 ，若a， ，且 ，则 的值
（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【分析】先通过函数 是幂函数以及单调性求出 的解析式，再利用单调性和奇偶性可得答案.
【详解】因为函数 是幂函数，
所以 ，解得 或 ，
又因为对任意 ，且 ，满足 ，
即对任意 ，都有 ，
故函数 是幂函数且在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，
则 ，明显 为 上的奇函数，
由 得 ，
所以 ，
所以 .
故选：A.
例题2．（23-24高一上·江西·阶段练习）已知幂函数 （ ）的图像关于 轴对称，且
.
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）由 ，得到函数在区间 为单调递增函数，即 求解.
（2）根据函数 图象关于 轴对称，且在区间 为单调递增函数，将不等式
，转化为 求解.
【详解】（1）由题意，函数 （ ）的图像关于 轴对称，且 ，
所以在区间 为单调递增函数，
所以 ，解得 ，
由 ， 。
又函数 的图像关于 轴对称，
所以 为偶数，
所以 ，
所以 .
（2）因为函数 图象关于 轴对称，且在区间 为单调递增函数，
所以不等式 ，等价于 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，
属于中档题.
精练
1．（23-24高二·浙江·期末）已知函数 是幂函数，对任意的 且 ，
满足 ，若 ，则 的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0
C．等于0 D．无法判断
【答案】B
【解析】根据函数为幂函数以及函数在 的单调性，可得 ，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单
调性以及奇偶性，可得结果.
【详解】由题可知：函数 是幂函数
则 或
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司又对任意的 且 ，满足
所以函数 为 的增函数，故
所以 ，又 ，
所以 为 单调递增的奇函数
由 ，则 ，所以
则
故选：B
【点睛】本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如
，属中档题.
2．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数 满足①函数图象不经过原点;②
，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数.
【详解】因为 对 ，则 在 上为减函数，
又因为幂函数 （ 为常数），当 不经过原点时， 即可，
故可取 .
故答案为： （答案不唯一）.
对点特训七：幂函数的奇偶性
典型例题
例题1．（23-24高三上·上海浦东新·期中）已知 ，若幂函数 为奇函
数，且在 上严格单调递减，则 .
【答案】 或
【分析】由题意，结合幂函数的性质即可求解.
【详解】由幂函数的性质知， ，在第一象限内，当 时，函数单调递减，当 为奇数时，函
数为奇函数，
所以当 或 时，幂函数在 上单调递减，且为奇函数.
故答案为： 或
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司例题2．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知幂函数 为偶函数，
且在 上单调递减．
(1)求m和k的值；
(2)求满足 的实数a的取值范围．
【答案】(1) ， 或 ；
(2)
【分析】（1）根据函数为幂函数，列式计算，即可求得k的值；根据幂函数的单调性求得m的值，结合
奇偶性即可确定m的取值.
（2）结合（1）可得 ，即为 ，利用幂函数的性质，分类求解不等
式，即可求得答案.
【详解】（1）由函数 为幂函数，
则 ，解得 或 ；
由 在 上单调递减，
得 ，解得 ，而 ，故 或2，
当 时， ，定义域为 ，且为偶函数，符合题意；
当 时， ，定义域为 ，函数为奇函数，不符合题意；
故 ， 或 ；
（2）结合（1）可知 ，即为 ，
故 或 或 ，
解得 或 或 ，
故实数a的取值范围为 .
精练
1．（23-24高一上·河南·阶段练习）已知 ，若幂函数 为偶函数，且在
上单调递减，则 的取值集合是 .
【答案】
【分析】根据幂函数的性质得到 ，再结合函数的奇偶性求出答案.
【详解】因为幂函数 在 上单调递减，所以 ，
当 时， ，定义域为 ，又 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司故 为奇函数，舍去；
当 时， ，定义域为 ，又 ，
故 为奇函数，舍去；
当 时， ，定义域为 ，又 ，
故 为偶函数，满足要求，
当 时， ，定义域为 ，故不为偶函数，舍去.
故答案为：
2．（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数 是幂函数，且函数 的图象关于
轴对称.
(1)求实数 的值；
(2)若不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义和性质运算求解；
（2）根据 的定义域以及单调性分析求解.
【详解】（1）因为函数 是幂函数，
则 ，即 ，解得 或1，
又因为函数 关于 轴对称，
当 时，则 为偶函数，满足题意；
当 时，则 为奇函数，不满足题意；
综上所述：实数 的值为 .
（2）函数 ，则函数 在定义域 内单调递减，
由 可得: ，解得 ，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以实数 的取值范围为 .
1．（2024高三·全国·专题练习）若幂函数 的图象经过点 ，则 ＝（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】利用已知条件求得幂函数解析式，然后代入求解即可.
【详解】设幂函数 ，因为 的图象经过点 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 .
故选：C
2．（23-24高一下·山西临汾·阶段练习）下列函数中，既是奇函数，又是在区间 上单调递减的函数
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性和单调性进行判断即可.
【详解】对于A， 为偶函数，不符合题意；
对于B， 为奇函数，且在区间 上单调递减，符合题意；
对于C， 为偶函数，不符合题意；
对于D， 为奇函数，且在区间 上单调递增，不符合题意．
故选：B．
3．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知幂函数 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出 ，得到解析式，代入求值即可.
【详解】因为 是幂函数，所以 ，即 ，
所以 ， .
故选：A.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司4．（22-23高一·全国·课堂例题）幂函数 在第一象限内的图象依次是如图中的
曲线（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线 右侧）比较从而得出结论．
【详解】在第一象限内直线 的右侧，幂函数 的图象从上到下相应的指数 由大变小，即“指大
图高”，
所以幂函数 在第一象限内的图象为 在第一象限内的图象为 ，
在第一象限内的图象为 在第一象限内的图象为 .
故选：D
5．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知幂函数 的图象不经过坐标原点，则
（ ）
A． B．3 C．1或 D． 或3
【答案】A
【分析】令系数等于1，得到 或 ，排除不合要求的解，得到答案.
【详解】令 ，解得 或 ，
当 时， ，图象经过坐标原点，不合要求，
当 时， ，图象不经过坐标原点，满足要求.
故选：A
6．（23-24高一下·上海·期中）已知实数 ，若函数 满足：当
时， 恒成立，则 可取值的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】把 的取值逐个代入检验可得答案.
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司【详解】当 时，若 恒成立，则 ，即 ，
由于 ，所以 恒成立，此时符合题意；
当 时，若 恒成立，则 ，即 ，
由于 ，所以 恒成立，此时符合题意；
当 时，若 恒成立，则 ，即 ，
由于 ，所以 不成立，此时不符合题意；
当 时，若 ，则 ，不满足 ，不合题意.
故选：C
7．（2024·北京西城·一模）已知函数 ，若 存在最小值，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用二次函数的性质求得 的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解
即可.
【详解】当 时， ，故当 时， 有最小值为 ；
时， 单调递减，所以 ，
由题意 存在最小值，则 ，解得 ，即 的最大值为 .
故选：A
8．（23-24高一上·四川成都·期中）已知函数 ，是 上的减函数，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得 的取值范围.
【详解】依题意， 在 上单调递减，
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司所以 ，解得 ，
所以 的取值范围是
故选：C
二、多选题
9．（23-24高一下·四川眉山·开学考试）若幂函数 的图像经过 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． B．
C． 的定义域是 D． 为偶函数
【答案】BC
【分析】先求出幂函数的解析式，再利用幂函数的性质即可判断.
【详解】由幂函数 ，
则 ，即 ，
且 ，解得 ，
，则A错误，B正确；
的定义域为 ，故C正确，D错误.
故选：BC.
三、填空题
10．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知幂函数 满足①函数图象不经过原点;②
，写出符合上述条件的一个函数解析式 .
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题根据幂函数的概念，结合题目给的限制性条件即可找到符合条件的函数.
【详解】因为 对 ，则 在 上为减函数，
又因为幂函数 （ 为常数），当 不经过原点时， 即可，
故可取 .
故答案为： （答案不唯一）.
四、解答题
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司11．（23-24高一上·山西忻州·期末）已知幂函数 ．
(1)求 的解析式；
(2)判断函数 的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1)
(2) 为奇函数，理由见解析
【分析】（1）根据幂函数的定义求出 可得答案；
（2） 为奇函数，利用奇函数的定义判断可得答案.
【详解】（1）依题意可得 ，
解得 ，所以 ；
（2） 为奇函数．
理由如下：
的定义域为 ，关于原点对称，
因为 ，
所以 为奇函数．
12．（23-24高一上·重庆九龙坡·期末）已知幂函数 的图象关于 轴对称．
(1)求 的值及函数 的解析式；
(2)设函数 ，求 在区间 上的值域．
【答案】(1) ，
(2)
【分析】（1）根据幂函数的定义及性质计算可得；
（2）首先得到 解析式，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 为幂函数，
所以 ，解得 或 ，
当 时， ，函数图象关于 轴对称，符合题意；
当 时， ，函数图象关于原点对称，不符合题意；
综上可得 ， .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司（2）因为 ， ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，所以 ，
即 在区间 上的值域为 .
学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司
