文档内容
赤峰二中2024级高一上学期第一次月考
数学试卷
命题人 审核人 高一数学组
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．命题“∀x∈[−1,3]，x2−3x+2<0”的否定为（ ）
A．∃x∈[−1,3]，x2−3x+2≥0 B．∃x∈[−1,3]，x2−3x+2>0
C．∀x∈[−1,3]，x2−3x+2≥0 D．∃x∉[−1,3]，x2−3x+2≥0
2．已知集合 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集合为
U=R A={x|−3b>0 ,当 m>0 时, >
b+m b
B. 集合 与集合 是相同的集合.
A={x∣y=x2+1} B={y∣y=x2+1}
m m
C. 若 b
a b
D. 所有的素数都是奇数
4． 设A=¿，B=¿，若A∩B=B，则实数a的值不可以为（ ）
1 1
A． B．3 C．0 D．
5 3
5．已知 11”是“ <1”的充要条件
x
B．命题“若 ，使得 ”的否定是“ ”
∃x ≥1 x2<2 ∀x<1,x2≥2
0 0
C．已知x,y∈R，则“|x|+|y|>0”是“x>0”的既不充分也不必要条件
a
D．已知a,b∈R，则“a−3b=0”是“ =3”的必要不充分条件
b
8.已知a，b是实数，则“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题: “今有物, 不知其数, 三三数之, 剩二; 五
五数之,剩三; 七七数之,剩二. 问: 物几何? ”现有数学语言表达如下: 已知
, ,若
A={x∣x=3n+2,n∈N∗} B={x∣x=5n+3,n∈N∗},C={x∣x=7n+2,n∈N∗}
x∈(A∩B∩C) ,则下列选项中符合题意的整数 x 为 ( )
A. 8 B. 23 C. 37 D. 128
10. 设 a,b∈A={x∣x=3m+1,m∈Z},c∈B={x∣x=3k−1,k∈Z}， 则（ ）
A．a+b∈A B．ab∈A
C．a+b∈B D．a+c∈B
11. 已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列结论中正确的是（ ）
A．a+b>0 B．ac D．(a−c)(b−c)< c2
a−b b−c 4
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 在不等式 的解集中,则实数 的取值范围是
x=2 (k−1)x2−kx−4≥0 k
6
13. 已知 M={x∈N∣ ∈N} ,则集合 M 的子集的个数是
6−x
14．设集合M={1,2,3,4,5,6}，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最
大的数，满足这样条件的一个集合A与对应的一个集合B称为一组合，则不同的组合共有
种．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13 分)
设 R 为全集,集合 A={x∣a+1≤x≤2a+1},B={y∣y=4x−2,0≤x≤2} .
(1)若 ,求 ;
a=3 A∩B,(∁ A)∩B
R
(2)若 A⊆B ,求实数 a 的取值范围.
16. (本小题满分 15 分)
(1)已知集合 A={x∣a−1≤x≤a+1},B={x∣−1≤x≤3} ,若 “ x∈A ” 是 “ x∈B
” 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.(2)命题 p:m∈R ， m+1≤0 ,命题 q:∀x∈R,x2+mx+1≠0 ,若 p 与 q 不同时为真
命题, 求 m 的取值范围.
17. (本小题满分 17 分)(1)设a,b,c∈R证明:a2+b2+c2=ab+ac+bc的充要条件是a=b=c.
(2)已知a,b都是正实数,且a≠b,试比较a3+b3与ab2+a2b的大小,并证明.
18．已知命题p: 对于∀x∈R，x2+2ax+a2−a+3≥0为真命题.
（1）求实数a的取值的集合A；
（2）若∃x∈{x|1≤x≤3}，使得x(mx−b)≤0 (m≠0)成立，记实数b的范围为集合B，
若A∩B中有且只有三个整数，求实数m的范围.
19． (本小题满分 17 分)法国数学家佛朗索瓦·韦达，在欧洲被尊称为“现代数学之父”，他
最重要的贡献是对代数学的推进，他最早系统地引入代数符号，推进了方程论的发展，由于其
最早发现代数方程的跟与系数之间的关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理.韦达定理有
着广泛的应用，是高中阶段非常重要的知识内容，为了致敬前辈数学家，请同学们利用韦达定
理完成以下问题.
(1)关于x的方程x2−4x+m=0的一个实数根为−2，求另一实数根及实数m的值；
1
(2)关于x的方程x2−(k+1)x+ k2+1=0有两个实数根x 、x ，
4 1 2
若x (4x −x +4)+x (2x −x +4)=26，求实数k的值；
1 2 1 2 1 2
(3)已知a,b∈R集合A=¿，且A∪B={a ，a ，a }，（00
C．∀x∈[−1,3]，x2−3x+2≥0 D．∃x∉[−1,3]，x2−3x+2≥0
2．已知集合 ，集合 ， ，则图中阴影部分表示的集
U=R A={x|−3b>0 ,当 m>0 时, >
b+m b
B. 集合 与集合 是相同的集合.
A={x∣y=x2+1} B={y∣y=x2+1}
m m
C. 若 b
a b
D. 所有的素数都是奇数
4． 设A=¿，B=¿，若A∩B=B，则实数a的值不可以为（ B ）
1 1
A． B．3 C．0 D．
5 3
5．已知 11”是“ <1”的充要条件
x
B．命题“若 ，使得 ”的否定是“ ”
∃x ≥1 x2<2 ∀x<1,x2≥2
0 0
C．已知x,y∈R，则“|x|+|y|>0”是“x>0”的既不充分也不必要条件
a
D．已知a,b∈R，则“a−3b=0”是“ =3”的必要不充分条件
b
【答案】D
【难度】0.65
【知识点】判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、特称命题的否定及其真假判断、
既不充分也不必要条件【分析】利用充分不必要条件的定义判断A；利用存在量词命题的否定判断B；利用既不
充分也不必要定义判断C；利用必要不充分条件的定义判断D.
1 1 1
【详解】对于A，当 <1时，x<0或x>1，故x>1能推出 <1，但 <1不能推出x>1，
x x x
1
所以“x>1”是“ <1”的充分不必要条件，错误；
x
对于B，由存在量词命题的否定为全称量词命题知：
命题“若 ，使得 ”的否定是“ ”，错误；
∃x ≥1 x2<2 ∀x≥1,x2≥2
0 0
对于C，由|x|+|y|>0得x≠0或y≠0，故|x|+|y|>0推不出x>0，
但是当x>0时，|x|+|y|≥|x|+0=|x|>0一定成立，即x>0能推出|x|+|y|>0，
所以“|x|+|y|>0”是“x>0”的必要不充分条件，错误；
a
对于D，已知a,b∈R，当a=b=0时，满足a−3b=0，但是不满足 =3，
b
a
反之，当 =3时，则a=3b，即a−3b=0，
b
a
所以“a−3b=0”是“ =3”的必要不充分条件，正确.
b
故选：D
8.已知a，b是实数，则“a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的（ A ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】判断命题的充分不必要条件、作差法比较代数式的大小
【分析】根据充分必要条件的关系,结合不等式性质即可判断.
【详解】当a>1且b>1时, ab+1−(a+b)=(a−1)(b−1)>0,即a>1且b>1时ab+1>a+b
成立.
当ab+1>a+b时,即ab+1−(a+b)=(a−1)(b−1)>0解得a>1且b>1,或a<1且b<1
综上可知, “a>1且b>1”是“ab+1>a+b”的充分不必要条件
故选:A
【点睛】本题考查了不等式比较大小,充分必要条件的关系及判断,属于基础题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷有题: “今有物, 不知其数, 三三数之, 剩二;
五五数之,剩三; 七七数之,剩二. 问: 物几何? ”现有数学语言表达如下: 已知
, ,
A={x∣x=3n+2,n∈N∗} B={x∣x=5n+3,n∈N∗},C={x∣x=7n+2,n∈N∗}
若 x∈(A∩B∩C) ,则下列选项中符合题意的整数 x 为 (BD)
A. 8 B. 23 C. 37 D. 128
9. 【 详 解 】 因 为 23=3×7+2=5×4+3=7×3+2 , 故
23∈(A∩B∩C);128=3×42+2=5× 25+3=7×18+2 ,故 128∈(A∩B∩C) ; 因
8=7×1+1 ,则 8∉C;37=3×12+1 ,则 37∉A
10. 设a,b∈A={x∣x=3m+1,m∈Z},c∈B={x∣x=3k−1,k∈Z}，则（ ）
A．a+b∈A B．ab∈A
C．a+b∈B D．a+c∈B
【答案】BC
【分析】利用数的特征及元素与集合的关系计算即可.
【详解】设a=3u+1,b=3v+1,c=3w−1(u、v、w∈Z)，
而a+b=3(u+v)+2=3(u+v+1)−1∈B，即A错误，C正确；
ab=9uv+3(u+v)+1=3(3uv+u+v)+1∈A，即B正确；
a+c=3u+1+3w−1=3(u+w)∉B，即D不正确.
故选：BC.
11. 已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+c=0，则下列结论中正确的是（ ）
A．a+b>0 B．ac D．(a−c)(b−c)< c2
a−b b−c 4
【答案】ABD
【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.
【详解】a+b+c=0且a>b>c，则a>0，c<0，则a+b>0，A正确；
因为a>b，c<0，所以acb>c，a−b>0,b−c>0，(a−b)−(b−c)=a+c−2b=−3b，
1 1
当b>0时，0 ；当b<0时，a−b>b−c>0，则
a−b b−c
1 1 1 1
< ，当b=0时，a−b=b−c，则 = ，故C错误；
a−b b−c a−b b−c
因为 (a−c)(b−c)− 9 c2=(a−c)(−a−2c)− 9 c2=−a2−ac− 1 c2=− ( a+ 1 c ) 2 ≤0 ，
4 4 4 2
1 1
当且仅当a=− c时，等号成立，此时由a+b+c=0可得b=− c，不符合a>b>c，
2 2
所以 − ( a+ 1 c ) 2 =0 不成立，故 − ( a+ 1 c ) 2 <0 ，即 (a−c)(b−c)< 9 c2 ，D正确.
2 2 4
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知 在不等式 的解集中,则实数 的取值范围是__
x=2 (k−1)x2−kx−4≥0 k
12.k≥4 或 [4,+∞) 或 {k∣k≥4} ;
12.【详解】因为 x=2 在不等式的解集中,把 x=2 带入不等式得: 4(k−1)−2k−4≥0 ,
解得 k≥4
6
13. 已知 M={x∈N∣ ∈N} ,则集合 M 的子集的个数是_16__
6−x
6
13.【详解】解: 因为 ∈N ,所以 6−x=1,2,3,6 ,
6−x
又 x∈N ,所以 x=0,3,4,5 ,所以集合 M={0,3,4,5} ,所以集合 M 的子集个数为
24=16 个
14．设集合M={1,2,3,4,5,6}，选择M的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中
最大的数，满足这样条件的一个集合A与对应的一个集合B称为一组合，则不同的组合共
有 种．【答案】129
【分析】讨论A中最大的数，分别求出A和B的非空子集，从而求得正确答案.
【详解】当A中最大的数为1时，B可以是{2,3,4,5,6}的非空子集，
有25−1=31（种）选择方法；
当A中最大的数为2时，A可以是{2}或{1,2}，
B可以是 的非空子集，有 （种）选择方法；
{3,4,5,6} 2×(24−1)=30
当A中最大的数为3时，A可以是{3}，{1,3}，{2,3}或{1,2,3}，
B可以是 的非空子集，有 （种）选择方法；
{4,5,6} 4×(23−1)=28
当A中最大的数为4时，A可以是{4}，{1,4}，{2,4}，{3,4}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4},
或 ，B可以是 的非空子集，有 （种）选择方法.
{1,2,3,4} {5,6} 8×(22−1)=24
当A中最大的数为5时，A可以是：{5}，{1,5},{2,5},{3,5},{4,5}，
{1,2,5},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,5},{2,4,5}，{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,3,4,5},{2,3,4,5}，
{1,2,3,4,5}，B是{6}，有16×1=16（种）选择方法.
所以满足条件的集合共有31+30+28+24+16=129（种）不同的选择方法.
故答案为：129
【点睛】思路点睛：解题的突破口在于“B中最小的数大于A中最大的数”，解题的思想
方法是分类讨论的数学思想方法，根据集合A中最大的数进行分类讨论，分类讨论要做到
不重不漏.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13 分)
设 R 为全集,集合 A={x∣a+1≤x≤2a+1},B={y∣y=4x−2,0≤x≤2} .
(1)若 ,求 ;
a=3 A∩B,(∁ A)∩B
R
(2)若 A⊆B ,求实数 a 的取值范围.
16. (1) 由题意可得 B={y∣−2≤ y≤6} , ...2 分
当 a=3 时, A={x∣4≤x≤7} , ...3 分
所以 A∩B={x∣4≤x≤6} , .4分因为 C A={x∣x<4 ,或 x>7} , .5 分
R
所以 ....... 6 分
(C A)∩B={x∣−2≤x<4}
R
(2)由(1)知, B={y∣−2≤ y≤6} ,
若 A=⌀ ,即 a+1>2a+1 ,解得 a<0 ,此时满足 A⊆B ; ...8 分
{a+1≤2a+1
5
若 A≠⌀ ,要使 A⊆B ,则 a+1≥−2 ,解得 0≤a≤ , .12分
2
2a+1≤6
综上,若 ,所求实数 的取值范围为 { 5} .......... 13 分
A⊆B a a∣a≤
2
16. (本小题满分 15 分)
(1)已知集合 A={x∣a−1≤x≤a+1},B={x∣−1≤x≤3} ,若 “ x∈A ” 是 “
x∈B ” 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围.
(2)命题 p:m∈R ， m+1≤0 ,命题 q:∀x∈R,x2+mx+1≠0 ,若 p 与 q 不同时为
真命题, 求 m 的取值范围.
16. (1) 由 x∈An 是 x∈Bn 的充分不必要条件,得 A 真包含于 B,….2 分
而 A=[a−1,a+1] ,显然 A≠B , ...3 分
{a−1≥−1
于是 ,解得 0≤a≤2 , ...6 分
a+1≤3
所以 a 的取值范围为 [0,2]…….7 分
(2)当命题 p 为真命题时, m≤−1,….8 分
当命题 q 为真命题时, Δ=m2−4<0 ,即 −20
∴a3+b3>ab2+a2b.
【点睛】此题考查利用作差法比较大小，关键在于对作差之后的代数式进行因式分解.
18．已知命题p: 对于∀x∈R，x2+2ax+a2−a+3≥0为真命题.
（1）求实数a的取值的集合A；
（2）若∃x∈{x|1≤x≤3}，使得x(mx−b)≤0 (m≠0)成立，记实数b的范围为集合B，
若A∩B中有且只有三个整数，求实数m的范围.
【答案】（1） ；（2）{ 1 }.
{a|a≤3} n| ≤n<1
2
【分析】（1）根据命题为真转化为不等式恒成立，利用判别式Δ<0求解；
（2）分类讨论n的正负求出集合B,再根据A∩B中只有一个整数建立不等式求解.
【详解】（1）由条件知，x2+2ax+a2−a+3≥0恒成立，
只需不等式所对应的二次方程x2+2ax+a2−a+3=0的Δ≤0.
∴Δ=4a2−4(a2−a+3)≤0解得a≤3，也即A={a|a≤3}.
（2）若存在1≤x≤3，使得x(mx−b)≤0 (m≠0)成立，由1≤x≤3可知，即使得
mx−b≤0 (m≠0)成立，
也即存在1≤x≤3，使得mx≤b,
当m>0，只需b≥m，此时B={b|b≥m}.
当m<0，只需b≥3m(3m<0)，此时B={b|b≥3m}.
因此，当m>0时，若使得A∩B有且只有三个整数，则只需¿
解得0x2−2ax+b−2
恒成立，
所以方程 x2−2ax+b+1=0 有一个实根， 方程x2−2ax+b−2=0 有两个不等实数
根，可知A={a ，a } B={a }
1 3 2
所以a =a，（a>0)，
2
又方程 有一个实根， ，可得
x2−2ax+b+1=0 ∆=4a2−4(b+1)=0 a2=b+1
方程x2−2ax+b−2=0 可化简为方程x2−2ax+a2−3=0 ，可知
，也可解得
a +a =2a>0，a a =a2−3>0 a =a−√3>0，a =a+√3>0
1 3 1 3 1 3
所以a>√3
由 1 1 1 3a 1 整理得a +a 1 3a 1
+ + − ≥1+ 1 3+ − ≥1+
a a a a a a a a a a a aa a
1 2 3 1 2 3 1 3 1 3
即a +a −3≥a a
1 3 1 3
整理得 0≤a≤2且a≠√3
又a>√3
综合上述可知 √3Δ
1 2
若" 可分为两种情况：
A∪B={a ，a ，a }，
1 2 3
（1）A∩B=∅，此时A中一定有两个元素，B中有一个元素，即满足Δ =0⇒a2=b+1
2
把a2=b+1代入方程x2−2ax+b−2=0中，得到：x2−2ax+a2−3=0
解得： ，
x =√3+a x =a−√3
1 2
把a2=b+1代入方程x2−2ax+b+1=0中，得x2−2ax+a2=0，
解得x =a
3
显然， ,则
a−√30,a =a>0,a =a+√3>0⇒a>√3
1 2 3
1 1 1 3a 1
此时， + + − ≥1+
a a a a a a a
1 2 3 1 2 3
1 1 1
即： + − ≥1
a−√3 a+√3 (a−√3)(a+√3)
解得：0≤a<√3或√3√3，则√3
