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山东省德州市2024-2025学年高一下学期校际联考（四）（6月）
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知 ，其中 为虚数单位， 是 的共轭复数， 的虚部是（ ）
A． B．2 C． D．
2．已知 ， 为平面内一组基底， ， ， ，若 ， ， 三点共线，
则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．5
3．已知 ， ， 表示不同的直线， ， 表示不同的平面，下面四个命题错误的有（ ）
A．若 ， ，则 ；
B．若 ， ， ， ，则 ；
C．若 ， ，则 ；
D． ， ，则 .
4．抛掷两枚质地均匀的骰子，则向上的数字之和是5的倍数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某市为了解全市12000名高一学生的体能素质情况，在全市高一学生中随机抽取了1000名学生进行体
能测试，并将这1000名的体能测试成绩整理成如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中
正确的是（ ）A．图中 一组的频率为0.015
B．估计样本数据的众数
C．估计样本数据的 分位数为88.75
D．由样本数据可估计全市高一学生体测成绩优异（80分及以上）的人数约为7000人
6．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度 ，选取了在同一水平面上的 ， ， 三处（ 垂直于
平面 ），如图.已知在 ， ， 处测得该建筑顶部 的仰角分别为 ， ， ， 是 的中点，
米，则该建筑的高度 （ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
7．已知函数 ， 是偶函数，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
8．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的
曲率等于 与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点
均有3个面角，每个面角均为 ，则其各个顶点的曲率均为 .若正四棱锥 的侧面与底面的夹角的正切值为 ，则四棱锥 在顶点 处的曲率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若复数 ，则（ ）
A． B． 在复平面内对应的点位于第一象限
C． D．复数 满足 ，则 的最小值为
10．为加强青少年科学健身普及和健康干预，让年轻一代在运动中强意志、健身心，某校举办一场篮球赛，
其中每队上场5人，每人得分情况如下表（单位：分），则下列结论正确的是（ ）
甲队 乙队
5 10 23 12 8 8 8 15 7 6
A．运动员得分极差甲队大于乙队 B．运动员得分均值甲队小于乙队
C．甲队运动员得分的75%分位数为8 D．相较于甲队，乙队运动员实力更均衡
11．如图，在棱长为2的正方体 中，M，N，P分别是 ， ， 的中点，Q是线段
上的动点，则（ ）
A．存在点Q，使 平面MBN B．不存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
C．三棱锥Q-BCN的体积是定值 D．经过C，M，B，N四点的球的表面积三、填空题
12．哪吒系列手办盲盒包含哪吒、敖丙、哪吒父母共4个人物手办，小明随机购买2个盲盒（2个盲盒内
人物一定不同），则恰有哪吒及其父母中的一位的概率为 .
13．多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体
（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）.数学家已经
证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图
所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的体积的比为 .
14．四面体 中 且异面直线 与 所成角为 若四面体外接球
半径为 则四面体 的体积的最大值为 .
四、解答题
15．已知 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ：
（i）求函数 的单调递减区间；
（ii）英国数学家泰勒 发现了如下公式： ，其中
，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算 的值．（结果精确到小数点后3位，参考数据：
）
16．如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别为 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： .
(3)若 ， ，求三棱锥 的体积.
17．在高一学生预选科之前，为了帮助他们更好地了解自己是否适合选读物理，我校从高一年级中随机抽
取了100名学生的物理成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求 的值，并估算高一学生的物理平均分数；
(2)若根据这次成绩，学校建议70%的学生选报物理，30%的学生选报历史，某同学想选报物理，请问他的
物理成绩应不低于多少分？（小数点后保留一位）
(3)现学校要选拔学生参加物理竞赛，需要再进行考试.考试分为两轮，第一轮需要考2个模块，每个模块成
绩从高到低依次有 ， ， ， ， 五个等级，若两个模块成绩均为 ，则直接参加；若一个模块
成绩为 ，另一个模块成绩不低于 ，则要参加第二轮实验操作，实验操作通过也能参加，否则均不能参加.现有甲、乙二人报名参加，二人互不影响，甲在每个模块考试中取得 ， ， ， ， 的概率分
别为 ；乙在每个模块考试中取得 ， ， ， ， 的概率分别为 ，甲、
乙在实验操作中通过的概率分别为 .求甲、乙能同时参加物理竞赛的概率.
18．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
(1)求角 的值；
(2)若 的面积 ，且 ，求 ；
(3)若 ，求三角形 周长的取值范围.
19．如图，在棱长为4的正方体 中， 为 的中点，过 ， ， 三点的平面 与此
正方体的面相交，交线围成一个多边形.
(1)在图中画出这个多边形（不必说出画法和理由）；
(2)平面 将正方体 分成两部分，求这两部分的体积之比 （其中 ）；
(3)若点 是侧面 内的动点，且 ，当 最小时，求三棱锥 的外接球的表面积.
山东省德州市2024-2025学年高一下学期校际联考（四）（6月）数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D C B C B C D ACD AD题号 11
答案 ACD
1．A
【详解】由 ，则 ，
所以 ，所以复数 的虚部为 .
故选：A.
2．D
【详解】由 ，又 ，且 ， ， 三点共线，
所以 ，则 .
故选：D
3．C
【详解】A：由 ， ，根据面面平行的性质知 ，故A正确；
B：若 ， ， ， ，
若 或 与 相交，则 相交或异面，显然与 矛盾，
故 都不与 相交，即 ， ，此时有 ，故B正确；
C：若 ， ，则 可能平行或异面，故C错误；
D：由 ， ，根据线面垂直的性质知 ，故D正确.
故选：C.
4．B
【详解】由题设，两次向上的数字如下表（列表示第一次，行表示第二次），
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
所以抛掷两次的基本事件有36种，其中向上的数字之和是5的倍数的有7种，
分别为(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(5,5)，(6,4)，(4,6)，
所以向上的数字之和是5的倍数的概率为 .
故选：B
5．C
【详解】由图知 ，可得 ，故 一组的频率为 ，A错；
由 ， ，
所以众数为 ，B错；
由上 分位数位于 ，设为 ，则 ，
所以 ，C对；
由题设，80分以上的占比有 ，所以 人，D错.
故选：C
6．B
【详解】设 ，可得 ， ， ，
因为 是 的中点，所以 米，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，，解得 ，
所以该建筑的高度 米.
故选：B.
7．C
【详解】由 是偶函数，得 ，
展开整理得 ，所以 ，
又 ， ，得 ，解得 ，
所以
，
当 时， 取得最大值 .
故选：C.
8．D
【详解】如图，连接 ，设 ，连接 ，则 平面 ，
取 的中点 ，连接 ，由正四棱锥的结构特征知 ，
所以 为侧面与底面所成的角，
设 ，则 ，在 中， ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以正四棱锥 的每个侧面均为正三角形，
所以顶点 处的各面角分别为 、 、 ，该顶点处的曲率为 .
故选：D
9．ACD
【详解】 ，
对于A， ，故A正确；
对于B，复数 在复平面内对应的点 位于第四象限，故B错误；
对于C， ，故C正确；
对于D，由 ，得复数 在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，
表示该圆上的点与点 的距离，其最小值为圆心到点 的距离减1，即 ，故D正确.
故选：ACD.
10．AD
【详解】对于A，甲队的极差为 ，乙队的极差为 ， ，故A正确；
对于B，甲队得分平均数 ，
乙队得分平均数 ， ，故B错误；
对于C，将甲队的数据由小到大排列： ，因为 ，所以甲队运动员得分的75%分位数
为12，故C错误；
对于D，由表中数据观察，乙队的得分更加集中，即相较于甲队，乙队运动员实力更均衡，故D正确.
故选：AD.11．ACD
【详解】
连接 ，当 是 的中点时，
因为 ，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，故A正确，
如图，在正方体 中，连接 ，
因为 分别是 的中点，所以 ，
又因为 ，所以 ，所以 四点共面，
即当 与点 重合时， 四点共面，故B错误，
因为 为正方体，所以 平面 ，
直线 上的点到面 的距离为 ，而 ，
所以 是定值，故C正确，设G，H分别为 的中点，
则 为长宽高分别为 ， ， 的长方体，
根据分割补形法知：经过 四点的球即为长方体 的外接球，
所求球的直径 满足： ，
经过四点 的球的表面积为 ，故D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】记哪吒、敖丙、哪吒父亲，母亲分别为 ，
小明随机购买2个盲盒，包含的情况如下： ，共6种情况，
其中恰有哪吒及其父母中的一位的情况有： ，包含2种，
所以恰有哪吒及其父母中的一位的概率 .
故答案为： .
13．
【详解】由正八面体的结构特征易知，其外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点，
令正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为 ，则外接球半径 ，
各侧面积 ，构成正八面体的两个正四棱锥的高为 ，
所以正八面体的体积 ，解得 ，
所以正八面体外接球和内切球的体积比为 .
故答案为： .14．
【详解】解：四面体 中 且异面直线 与 所成的角为
构建直三棱柱 ，设 分别为 的外心，连结 ，取其中点 ，
则 为直三棱柱 的外接球的球心，也是四面体ABCD的外接球的球心，
异面直线 与 所成角为 或 ，
设三棱柱底面 的外接圆半径为r，
则
当 ，
由余弦定理得： ，
，
，当且仅当 时等号成立，
四面体ABCD的体积：
当 ，
由余弦定理得： ，
，
，当且仅当 时等号成立，
即 ，当且仅当 时等号成立，四面体ABCD的体积：
综上可知四面体ABCD的体积的最大值为
故答案为：
15．(1) 或
(2)（i） ；（ii）
【详解】（1）若 ，则 ，
若 ，满足要求，此时 ，
若 ；
故 或 ．
（2）（ⅰ） ，
令 ，
即 ，
所以函数 的单调递减区间 ．
（ⅱ）因为 ，
所以 ，由泰勒公式得： ，
所以 ．
16．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3) .
【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，又 ， 分别为 ， 的中点，
所以 且 ，故四边形 为平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，则 平面 ；
（2）取 中点 ，连 ，结合中位线及直棱锥的性质知 ，
由 且都在平面 内，则 平面 ，
由 平面 ，则 ；
（3）由 ， ， ，则 .
17．(1) ， ；
(2) ；
(3) .
【详解】（1）依题意， ，所以 ；
物理平均分数 .
（2）由（1）知 ， ，，
因此第 分位数位于 ，且 ，
所以他的物理成绩应不低于 分较为合适.
（3）依题意，甲能参加物理竞赛的概率 ，
乙能参加物理竞赛的概率 ，
所以甲、乙能同时参加物理竞赛的概率 .
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由 ，结合正弦定理得 ，
，化简整理得 ，
， ，得 ，故 .
（2）由 ，得 ，解得 ，
由余弦定理， ，
解得 .
（3）由余弦定理，可得 ，
， ，，当且仅当 取等号，
又有 ，
所以 周长的取值范围为 .
19．(1)见解析
(2)
(3)
【详解】（1）设 中点为 ，连接 ， ，则由正方体性质可得 ，且 ，
故四边形 为平行四边形，则 .
又 中点为 ， 中点为 ，故 ，则 ，故这个多边形为四边形 .
（2）在正方形 中，直线 与直线 相交，
设 ，连接 ，设 ，连接 ，
由 为 的中点，得 为 的中点， ，
所以平面 即为平面 ，
因为 为 的中点，所以 为 的中点，
所以平面 将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台 ，因为正方体 的棱长为 ，
所以
，
另一部分几何体的体积 ，
两部分的体积 ．
（3）取 的中点 ， 的中点 ，连接 、 、 、 ，
显然 ， ，所以 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 为 的中点，所以 且 ，又 且 ，
所以 且 ，
所以 为平行四边形，所以 ，
平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 ， 平面 ，所以平面 平面 ，
又点 是侧面 内的动点，且 ，所以 在线段 上，又 ，
即 为等腰三角形，所以当 为 的中点时 最小，
因为 为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边 的中点，设为 ，
令 ，则 为 的中点，连接 ，则 ，所以 平面 ，
所以球心在 上，设球心为 ，连接 、 、 ，
设外接球的半径为 ， ，则 ，
又 ， ，
所以 ， ，解得 ，则 ，
所以外接球的表面积 .
