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格致课堂
第七章 复数
一、单选题
1．已知复数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
的实部为 ，虚部为 ，
故选
2． ， 为虚数单位，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】A
【解析】由（m+i）（2﹣3i）＝（2m+3）+（2﹣3m）i＝5-i，
得 ，即m＝1．
故选A．
( π π) ( π π)
3． cos +isin ×2 cos +isin =（ ）
6 6 3 3
A．2 B．-2 C．2 D．格致课堂
【答案】C
( π π) ( π π) (π π) (π π) π π
【解析】 cos +isin ×2 cos +isin =2cos + +2isin + =cos +isin =2i.
6 6 3 3 6 3 6 3 2 2
故选：C.
4．如图，在复平面内，复数z 和z 对应的点分别是A和B，则 =（ ）
1 2
A． + i B． + i C．﹣ ﹣ i D．﹣ ﹣ i
【答案】C
【解析】由给出复平面坐标系， ， ，则 .
1+2i
5．复数 i 的共轭复数是
a+bi(a,b∈R)
，i是虛数单位，则点
(a,b)
为（ ）
(1,2) (2,−1) (2,1) (1,−2)
A． B． C． D．
【答案】C
(a,b)
【解析】 ，共轭复数为 ，所以 为 ，故选C．格致课堂
6．将复数(1,√3)对应的向量 绕原点按顺时针方向旋转 ，得到的向量为 ，那么 对应的复
数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】复数 的三角形式是 ,向量 对应的复数是
故选：A
7．设a∈R，若 （ 为虚数单位）为正实数，则a=( )
A．2 B．1 C．0 D．-1
【答案】B
【解析】 ，因为 为正实数，所以 ，
(a-i) 2i=(a2-2ai+i2 )i=a2i-2ai2-i=2a+(a2-1)i 2a+(a2-1)i ¿
故选B
1+i
2015
( )
8．已知i是虚数单位，则 √2 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D格致课堂
【解析】由于 ，可知点位于第四象限，
故选D．
二、多选题
9．已知i为虚数单位,下列命题中正确的是( )
A．若 ,则 是纯虚数 B．虚部为 的虚数有无数个
C．实数集是复数集的真子集 D．两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
【答案】BCD
【解析】对于A,若 ,则 ,不是纯虚数,故A错误；
对于B,虚部为 的虚数可以表示为 ,
有无数个,故B正确；
根据复数的分类,判断C正确；
两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,
但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,
充分性不成立,故D正确.
故选:BCD.
10．设复数z满足 ,i为虚数单位,则下列命题正确的是( )
A． B．复数z在复平面内对应的点在第四象限
C．z的共轭复数为 D．复数z在复平面内对应的点在直线 上格致课堂
【答案】AC
【解析】 ,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为 ,在第三象限,B不
正确;z的共轭复数为 ,C正确;复数z在复平面内对应的点 不在直线 上,D不正确.
故选:AC
11．设 ， ， 为虚数单位，则以下结论正确的是（ ）
A． 对应的点在第一象限 B． 一定不为纯虚数
C． 一定不为实数 D．对应的点在实轴的下方
【答案】CD
【解析】 ， ，
所以，复数 对应的点可能在第一象限，也可能在第二象限，故A错误；
当 ，即 或 时， 为纯虚数，故B错误；
因为 恒成立，所以 一定不为实数，故C正确；
由选项A的分析知， 对应的点在实轴的上方，所以 对应的点在实轴的下方，故D正确.
故选：CD.
12．已知i为虚数单位，下列说法中正确的是（ ）
A．若复数z满足 ，则复数z对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上格致课堂
B．若复数z满足 ，则复数
C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D．复数 对应的向量为 ，复数 对应的向量为 ，若 ，则
【答案】CD
【解析】满足 的复数z对应的点在以 为圆心， 为半径的圆上，A错误；
在B中，设 ，则 .
由 ，得 ， 解得 ，B
错误；由复数的模的定义知C正确；
由 的几何意义知，以 ， 为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D正
确.
故选：CD
三、填空题
13．则复数 ，（ 为虚数单位），则 的虚部等于 .
【答案】
【解析】因
=2−3i
.故应填答案 .
14．若复数 （ 为虚数单位），则 ______________.格致课堂
【答案】
【解析】为 ，所以 .因此 .
故答案为：
15．在复平面上，设点A、B、C ，对应的复数分别为 ，顺次过A、B、C 做平行四边形ABCD,
则点D的坐标为_______________．
(3,3)
【答案】 ．
{x−4=−1¿¿¿¿
D(x,y) ⃗AB= ⃗DC −1−i=(x−4)+(2−y)i
【解析】设 ，由复数的几何意义，得 ,即 ，即 ，解
{x=3¿¿¿¿
得 ，即D的坐标为
(3,3)
．
16．若 ， ，则 的最大值是______.
【答案】24
【解析】设 ，因为 ，所以 ，显然有
.
，
把 代入上式得： ，格致课堂
因为 ，所以当 时， 有最小值，最小值为 ；
当 时， 有最大值，最大值为24.
故答案为： 24
四、解答题
17．计算:
(1) ；
(2) .
【答案】（1） ；（2） .
【解析】(1)
(2)
18．已知复数z=(2+i)m2-3m(1+i)-2+2i.当实数m取什么值时，复数z是：
（1）实数；
（2）纯虚数；
（3）复平面内第二、四象限角平分线上的点对应的复数.
【答案】(1) m=1或m=2.格致课堂
1
（2）m=- .
2
（3）m=0或m=2.
【解析】z=2m2-3m-2+(m2-3m+2)i ，
（1）z为实数，则m2-3m+2=0，则m=1或m=2
2m2-3m-2=0 1
（2）z为纯虚数，则 { ，则m=- .
m2-3m+2≠0 2
（3）2m2-3m-2+(m2-3m+2)=0，则m=0或m=2.
19．已知复数 满足 .
（1）求复数 的共轭复数；
（2）若 ，且复数 对应向量的模不大于复数 所对应向量的模，求实数 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】⑴ ，所以复数 的共轭复数为
⑵ 复数 对应向量为
此时
又 复数 对应的向量
即 实数 的取值范围为格致课堂
20．已知复数 和 ，若 ，试求 的取
值范围.
【答案】 .
【解析】∵ ，∴ ，
∴ ，消去 得： ，
∴ ，
∵ ，∴当 时， .
当 时， .所以 的取值范围为： .
21．设 ，已知 ， ，求 .
【答案】
【解析】（方法一）设 ， ，
由题设知 ， ，
.格致课堂
又由 ，
可得 .
∴ .∴ .
（方法二）∵ ，
将已知数值代入，可得 ，
∴ .
（方法三）作出 ， 对应的向量 ， ，
以 ， 为邻边作平行四边形 ，如图所示.
∵ ，
又∵ ， 不共线（若 ， 共线，则 或0），
∴平行四边形 为菱形.
又∵ ，∴ ，格致课堂
∴平行四边形 为正方形，∴ .
22．在复平面上，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 ， （其中 为原点）.已知点
对应的复数 ，求 和 分别对应的复数 .
【答案】 ， .
【解析】根据题意画出草图，如图所示.
由复数运算的几何意义知
，格致课堂
.
