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山东省德州市五校2025-2026学年高一上学期11月联考
数学试题
一、单选题
1．满足 的集合 的个数为（ ）
A． B． C． D．
2．不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．函数 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．设 为定义在 上的奇函数，且满足 ， ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．26．已知 在 上满足 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知关于 的不等式 的解集为 ，其中 ，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若存在四个不相等的实数 使得
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．以下四个命题中，是真命题的有（ ）
A．
B．“ ”是“ ”的必要不充分条件
C．若 ，则
D．若命题 ，则 的否定为：
10．设正实数 满足 ，则（ ）
A． 有最大值为
B． 有最大值为C． 有最小值为5
D． 有最小值为
11．德国著名数学家狄利克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一
个“奇怪的函数” 其中 为实数集， 为有理数集．则关于函数 有如下四个命
题，正确的为（ ）
A．对任意 ，都有
B．对任意 ，都存在 ，
C．若 ， ，则有
D．存在三个点 ， ， ，使 为等腰直角三角形
三、填空题
12．函数 的定义域是 ．
13．已知 ，则 的取值范围为 .
14．已知定义在R上的函数 在区间 上单调递增，若函数 为偶函数，且 ，则不
等式 的解集为
四、解答题
15．已知函数 ．
(1)若函数 在区间 上是单调递增函数，求实数 的取值范围；(2)若 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围．
16．已知集合 ．
(1)当 时，求 ；
(2)若 ，求 的取值范围．
17．函数 为定义在 上的奇函数， 已知当 时， .
(1)当 时，求 的解析式；
(2)判断 在 上的单调性，并利用单调性的定义证明；
(3)若 ，求a的取值范围．
18．某公司每月生产某种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，公司每月
生产量为 （单位：台），已知总收入 （单位：元）满足函数：
(1)将每月投入的成本 表示为月产量 的函数；
(2)将每月利润 表示为月产量 的函数；
(3)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少万元？如果你是公司董事长，你应该确定月产
量为多少台？（总收入=总成本+利润）
19．已知函数 ， .
(1)讨论函数 在 的单调性；
(2)若存在实数 ， ，使得函数 的定义域为 时，值域为 ，求实数 的取值范围；
(3)若存在 ，使得 ，记 ，求 的最大值.参考答案
1．A
【详解】 为 的真子集， ，又 为 的真子集，
集合 中含有元素 或 ，但不同时包含 两个元素， 或 ，
满足题意的集合 的个数为 .
故选：A.
2．C
【详解】 即为 即 ，故 ，
故解集为 .
故选：C.
3．B
【详解】由题意可得 ，解得 或 ，
又 的单调递增区间为 ，
在 上单调递增，
故函数 的单调递增区间为 .
故选：B.
4．C
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，即函数 是奇函数，
其图象关于原点对称，排除AB；
当 时， ，其图象是开口向上的抛物线 在 轴右侧部分，排除D，C满足.
故选：C
5．A
【详解】由 为定义在 上的奇函数，则 ，则 ， ，
由 ，则 ，
即有 ，则有 ，
故 以 为周期，故 ，
则 .
故选：A.
6．B
【详解】根据题意，因为 在 上满足 ，
则 在 上单调递减，
而 ，
则有 ，解得 ，
即实数 的取值范围为 ．
故选：B．
7．A
【详解】由题意可知， 、 是关于 的方程 的两根，且 ，
由韦达定理可得 ，解得 ，故原方程为 ，即 ，
将 代入方程 得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最小值为 .
故选：A.
8．D
【详解】如图所示，
，
设 ， ，
则 ， ， 是方程 ，即 的两个正根，所以 ，
令 ，解得 或 ，
所以 ，由题意 ，
所以 的取值范围是 .
故选：D.
9．ABD
【详解】对于A： ，故A是真命题；
对于B：因为 是 的真子集，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故B为真命题；
对于C：若 ，则 ，故C为假命题；
对于D：根据存在量词命题的否定，可知 的否定为： ， ，故D为真命题.故选：ABD
10．ACD
【详解】对于A，因为 ，且 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故A正确；
对于D，因为 又因为 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立，故D正确；
对于C，由 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，故C正确；
对于B，设 ，则
，当 取最大值时，即 最大，
将 代入，得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以 的最大值取不到 ，故B错误.
故选：ACD.
11．BC
【详解】解：对于A选项，当 ，则 ，此时 ，故A选项错误；
对于B选项，当任意 时，存在 ，则 ，故 ；当任意 时，存在 ，则 ，故 ，故对任意 ，都存在 ，
成立，故B选项正确；
对于C选项，根据题意得函数 的值域为 ，当 ， 时， ，
故C选项正确；
对于D选项，要为等腰直角三角形，只可能为如下四种情况：
①直角顶点 在 上，斜边在 轴上，此时点 ，点 的横坐标为无理数，则 中点的横坐标仍然为
无理数，那么点 的横坐标也为无理数，这与点 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点 在 上，斜边不在 轴上，此时点 的横坐标为无理数，则点 的横坐标也应为无理数，
这与点 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点 在 轴上，斜边在 上，此时点 ，点 的横坐标为有理数，则 中点的横坐标仍然为
有理数，那么点 的横坐标也应为有理数，这与点 的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点 在 轴上，斜边不在 上，此时点 的横坐标为无理数，则点 的横坐标也应为无理数，这与点 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点 ， ， ，使得 为等腰直角三角形，故选项
D错误．
故选：BC.
12．
【详解】由已知，若函数有意义，则 ，解得 ，
即 ，
故答案为： .
13．
【详解】依题意， ，
由 ，得 ，而 ，
因此 ，即 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
14．
【详解】因为 定义域为R，且 为偶函数，则 ，
所以 的图象关于直线 对称，因为 ，则 ，
根据已知区间单调性和对称性： 时， 得 ， 时， 得 ，综上，不等式 的解集为 .
故答案为：
15．(1)
(2)
【详解】（1）因为函数 在区间 上是单调递增函数，
且 的对称轴为 ，
所以 ，解得 .
（2）若 对一切实数 都成立，
则 ，解得 .
16．(1) 或 .
(2) 或 .
【详解】（1） ，
当 时， ，因为 ，
所以 或 ，
所以 或 .
（2）因为 ，所以 .
当 时， ，解得 ；
当 时， ，解得 ．
由 ，得 解得 .
综上， 的取值范围为 或 .17．(1) 时， ；
(2)单调递增，证明见解析；
(3) .
【详解】（1）当 时， ，则 ，
因为函数为奇函数，所以 ，
即 时， 的解析式为 ；
（2） 在 上的单调递增，
证明如下：
任取 ， ，且 ，则 ，
因为 ， ，且 ，所以 ， ， ，
则 ，即 ，
所以 在 上的单调递增；
（3） 在 上的单调递增，且函数 为 上的奇函数，故 为 上的增函数.
由 ， ，
于是 ，解得 ，即所求为 .
18．(1) ；
(2)(3)500台，5万元，500台.
【详解】（1）依题意，每月投入的成本 与月产量 的函数关系为： .
（2）由（1）及 ，
得利润 .
（3）由（2）知，当 时， ，
则当 时，利润 取得最大值5000；
当 时， ，
当且仅当 时，利润 取得最大值50000，而 ，
所以当月产量为500台时，公司所获利润最大值为5万元，应当应该确定月产量为500台.
19．(1)答案见解析
(2)
(3)
【详解】（1） ，
任取 ，则
①当 时， ， ，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，
所以 在 上单调递减.
②当 时， ， ，所以 在 上单调递增.
（2） ，显然函数 在 上单调递增，
所以当 时函数 在 上单调递增，
所以由题意可得 ，所以 ，
所以 、 是方程 的两个实数根，
即关于 的方程 在 上有两个不等的实数根，
设 ，显然函数 过点 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围 ；
（3）由（1）可知 在 上单调递减.
若 ，此时 ，不满足题意；
故必有 ，于是 ，所以 ，
整理得： （当 时不成立），记函数 ，则方程 在 上有解，
函数 开口向上，对称轴为 ，
于是 在 上单调递增，为使 有解，则 .
