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8.2 一元线性回归模型及其应用 ---B提高练
一、选择题
1．（2021·全国高二课时练）某种碘是一种放射性物质，该碘最初一段时间衰减的时间 （单位：
分钟）与剩余量 （单位：克）存在着较强的线性相关关系．如表是某校化学社团师生观测该碘在
5天内衰减情况得出的一组数据，则 对 的线性回归方程可以是（ ）
（单
位：分 10 20 30 40 50
钟）
（单
22.5 19 17.5 15 11
位：克）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据题意数据分析得到：该碘最初一段时间衰减的时间 与剩余量 存在着较强的负线性
相关关系，假设回归方程为 ,由选项得到 ，又 ，
，所以 ，故 对 的线性回归方程为：
.
2．（2021·黑龙江哈尔滨九中高二月考）已知具有相关关系的两个随机变量的一组观测数据的散点
图分布在函数 的图象附近，设 ，将其变换后得到线性方程 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】因 ，则 ，于是有
，所以 .故选：B
3.（2021·江苏徐州高二月考）对于数据组 ，如果由线性回归方程得到的对
应于自变量 的估计值是 ，那么将 称为相应于点 的残差．某工厂为研究某种产
品产量 （吨）与所需某种原材料 吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据 如下表
所示：
3 4 5 6
2.5 3 4
根据表中数据，得出 关于 的线性回归方程为 ，据此计算出样本处的残差为－
0.15，则表中 的值为（ ）
A．3.3 B．4.5 C．5 D．5.5
【答案】B
【详解】由题意可知，在样本（4，3）处的残差－0.15，则 ，即 ，
解得 ，即 ，又 ，且线性方程过样本中心点（ ，
），
则 ，则 ，解得 .故答案为：B
4．（2021·全国高二课时练习）某网店经销某商品，为了解该商品的月销量 (单位：千件)与售价
(单位：元/件)之间的关系，收集 组数据进行了初步处理，得到如下数表：根据表中的数据可得回归直线方程 ，以下说法正确的是（ ）
A． ， 具有负相关关系，相关系数
B． 每增加一个单位， 平均减少 个单位
C．第二个样本点对应的残差
D．第三个样本点对应的残差
【答案】D
【详解】对于A选项：由相关系数绝对值的不超过1，A不正确；对于B选项：由回归直线方程知，
每增加一个单位， 平均减少 个单位，B不正确；对于C选项：第二个样本点对应的残差
，C不正确；对于D选项：第三个样本点对应的残差
，D正确.故选：D
5．（多选题）（2021·福建三明一中高二月考）某种产品的价格x(单位：元/ )与需求量y(单位：
)之间的对应数据如下表所示：
x 10 15 20 25 30
y 11 10 8 6 5
根据表中的数据可得回归直线方程 ，则以下正确的是（ ）
A．相关系数
B．
C．若该产品价格为35元 ，则日需求量大约为
D．第四个样本点对应的残差为
【答案】BCD【详解】解： 对A、B：由表中的数据， ，
，
将 ， 代入 得 ，所以A选项错误，B选项正确；
对C：由题意 代入 得 ，所以日需求量大约为 ，
所以C选项正确；对D：第四个样本点对应的残差为 ，
所以D选项正确；故选：BCD.
6．（多选题）（2021·全国高二专题练习） 年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地
房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区 年 月至 年
月间，当月在售二手房均价(单位：万元/平方米)的散点图.(图中月份代码 分别对应
年 月 年 月)
根据散点图选择 和 两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方
程分别为 和 ，并得到以下一些统计量的值：注： 是样本数据中 的平均数， 是样本数据中 的平均数，则下列说法正确的是（ ）
A．当月在售二手房均价 与月份代码 呈负相关关系
B．由 预测 年 月在售二手房均价约为 万元/平方米
C．曲线 与 都经过点
D．模型 回归曲线的拟合效果比模型 的好
【答案】BD
【详解】对于A，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价y与月份代码x呈正相关关系，
故A不正确；对于B，令 ，由，
所以可以预测2021年2月在售二手房均价约为1.0509万元/平方米，故B正确；
对于C，非线性回归曲线不一定经过 ，故C错误；
对于D， 越大，拟合效果越好，由 ，故D正确.故选：BD
二、填空题
7．（2021·江西赣州市·高二期末）下面是两个变量的一组数据：
1 2 3 4 5 6 7 8
1 9 16 25 36 49 64
这两个变量之间的线性回归方程为 ，变量 中缺失的数据是___________．
【答案】4；
【详解】设变量 中缺失的数据为 ，则 ，
，因为这两个变量之间的线性回归方程为
，所以 ，解得 .8．（2021·扶风县法门高中高二月考）已知一组数据点 ， ， ，…，
，用最小二乘法得到其线性回归方程为 ，若数据 ， ， ，… 的均值
为 ，则可以估计数据 ， ， ，… 的均值为______．
【答案】2
【详解】因为回归方程为 ，且数据 ， ， ，…， 的均值为 ，即 ，
把 ，代入回归直线方程，可得 ，所以可以估计数据 ， ， ，
…， 的均值为 ．
9．（2021·全国高二课时练习）某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制订节能减排的
目标，调查了用电量 （单位：千瓦·时）与气温 （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用
电量与当天气温，并制作了以下对照表：
（单位：℃） 17 14 10
（单位：千瓦·
24 34 38 64
时）
由表中数据得回归直线方程为 ，则由此估计当某天气温为2℃时，当天用电量为
________千瓦·时
【答案】
【详解】由题意，根据表格中的数据，可得
，
将点 代入回归直线方程，求得 ，
所以回归直线方程为 ，当 时，代入求得 ．
10．（2021·全国高二课时练）已知具有相关关系的两个随机变量的一组数据的散点图如图所示，可以用 来拟合，设 ，将其变换后得到线性回归方程 ，若 ，则
__________．
【答案】
【详解】 ，因为变换后得到线性回归方程
，所以有 ，又 ，所以 ，因此
，
故答案为：
三、解答题
11．（2021·吉林长春市·高二月考）随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联
网对社会经济发展的推动效果日益显著，某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定
开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中
表示开设网店数量， 表示这 个分店的年销售额总和），现已知 ，
求解下列问题；（1）经判断，可利用线性回归模型拟合 与 的关系，求解 关于 的回归方程；
（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润 （单位：万元）满足 ，请
根据（1）中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大．
参考公式；线性回归方程 ，其中
【详解】
（1）由题意得 ，
所以 ．
（2）由（1）知， ，
所以当 或 时能获得总利润最大．
12．（2021·全国高二专题练）中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关．
经验表明，某种绿茶用 的水泡制，再等到茶水温度降至 时饮用，可以产生最佳口感．某学习研究小组通过测量，得到了下面表格中的数据（室温是 ）．
泡制时间 0 1 2 3 4
水温 85 79 74 71 65
4.2 4.1 4.0 3.9 3.8
（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到
室温（即 ）就不能再降的事实，决定选择函数模型 来刻画．
①令 ，求出 关于 的线性回归方程；
②利用①的结论，求出 中的 与 ．
（2）你认为该品种绿茶用 的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感？
参考数据： ．参考公式：
．
【答案】（1）① ；② ， ；（2）泡制 后饮用，口感最佳．
【解】（1）①由已知得出 与 的关系，如下表：
泡制时间
0 1 2 3 4
4.2 4.1 4.0 3.9 3.8
设线性回归方程 ，
由题意，得 ，，
，
，
则 ，
，
则 关于 的线性回归方程为 ；
②由 ，得 ，
两边取对数得， ，
利用①的结论得： ，
， ；
（3）由（1）得， ，
令 ，得 ．
∴该品种绿茶用 的水泡制 后饮用，口感最佳．
