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第 2.4 课 匀变速直线运动的位移与速度的关系
一、匀变速直线运动的位移与速度的关系
1.位移与速度的关系式:____________，若v0=0，则v2=2ax。
2.公式推导:
说明:如果匀变速运动的已知量和未知量都不涉及时间，则利用公式 求解问题时，
往往比用其他公式解题方便。
二、匀变速直线运动的三个基本公式
1.速度公式:v=v0+at。
2.位移公式: 。
3.位移与速度关系式: 。
答案：
考点一 对速度-位移公式的理解
一、两个导出公式
1.速度位移公式：
v v
2.平均速度公式： v 0
2
二、公式的选用原则
1.能用推导公式求解的物理量，用基本公式肯定可以求解，但有些问题往往用推导公式更方
便些.
2.这两公式适用于匀变速直线运动，不仅适用于单方向的匀加速或匀减速（末速度为零）直
线运动，也适用于先做匀减速直线运动再反方向做匀加速直线运动而整个过程是匀变速直线
运动（如竖直上抛运动）的运动.使用公式时注意矢量（v 、v、a、x）的方向性，通常选v 的
0 t 0
方向为正方向，与v 相反的方向为负方向.
0
【例题】汽车从A点由静止开始沿直线AC做匀速直线运动，第4 s末通过C点时关闭发动机，
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂做匀减速运动，再经过6 s到达B点时停止。已知AB长30 m，则下列说法错误的是（ ）
A.通过C点时的速度大小为3 m/s
B.通过C点时的速度大小为6 m/s
C.通过AC段的位移为12 m
D.汽车在AC、CB两段的平均速度大小相同
【答案】A
v v vt vt
0 1 2
【解析】设汽车通过C点时的速度为v，根据x＝vt＝ 2 t得x ＝ 2 ，x ＝ 2 ，由x
AC CB AB
v vt
1
＝x ＋x ＝2 （t ＋t ）＝30 m，得汽车通过C点时的速度为v＝6 m/s，B正确；x ＝ 2 ＝
AC CB 1 2 AC
vt x 12 18
2
12 m，x ＝ 2 ＝18 m，C正确；由v＝ t ＝ 4 m/s＝ 6 m/s＝3 m/s知汽车在AC与CB两段
CB
的平均速度大小相同，D正确。
【变式】列车长为l，铁路桥长为2l，列车匀加速行驶过桥，车头过桥头的速度为 v ，车头过
1
桥尾时的速度为v ，则车尾过桥尾时速度为（ ）
2
A.3v －v B.3v ＋v
2 1 2 1
3v 2 v2 3v 2 v2
C. 2 1 D. 2 1
2 2
【答案】C
3v 2 v2
【解析】 ，而 ，v ＝ 2 1 ，C正确。
3
2
考点二 对中间时刻、中间位置的瞬时速度求解
v v
v v 0
匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度：
t 2
2
v 2 v2
匀变速直线运动中某段位移中点的瞬时速度： v 0
x 2
2
【注意】无论匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中间时刻的瞬时速度小于位移中点的瞬
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时速度： v 0 v 0
t 2 x 2
2 2
考点三 对追及相遇问题解决方法
一、追及问题
（1）特点：两个物体在同一时刻到达同一位置。
（2）满足的位移关系：x ＝x ＋x 。
2 0 1
其中x 为开始追赶时两物体之间的距离，x 表示前面被追赶物体的位移，x 表示后面追赶物
0 1 2
体的位移。
（3）临界条件：v ＝v 。
1 2
当两个物体的速度相等时，可能出现恰好追上、恰好避免相撞、相距最远、相距最近等临界
问题。
二、相遇问题
（1）特点：在同一时刻两物体处于同一位置。
（2）条件：同向运动的物体追上即相遇；相向运动的物体，各自发生的位移的绝对值之和等
于开始时两物体之间的距离时即相遇。
三、处理“追及”“相遇”问题的方法
（1）物理方法：通过对物理情和物理过程的分析，找到临界状态和临界条件，然后列出方程
求解。
（2）数学方法：由于匀变速运动的位移表达式是时间 t的一元二次方程，我们可利用判别式
进行讨论：在追及问题的位移关系式中，若 Δ>0，即有两个解，说明相遇两次；Δ＝0，有一
个解，说明刚好追上或相遇；Δ<0，无解，说明不能够追上或相遇。
（3）图象法：对于定性分析的问题，可利用图象法分析，避开繁杂的计算，快速求解。
【例题】A与B两个质点向同一方向运动，A做初速度为零的匀加速直线运动，B做匀速直线
运动，开始计时时，A、B位于同一位置，则当它们再次位于同一位置时（ ）
A.两质点速度相等
B.A与B在这段时间内的平均速度相等
C.A的瞬时速度是B的2倍
D.A与B的位移相同
【答案】BCD
【解析】设A的加速度为a，B的速度为v，经过时间t，A、B再次位于同一位置，由题意可
1 2v
得 at2＝vt，t ，故此时A的速度v′＝at＝2v，所以A错误、C正确；由题意知A、B在t
2 a
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时间内位移相同，根据平均速度的定义式v ，可知A与B在这段时间内的平均速度相等，
t
所以B正确，D正确.
【变式】甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的 图象如下图所示。两图象
在 时相交于P点， 在横轴上的投影为Q，△OPQ的面积为S。在 时刻，乙车在甲车
前面，相距为d。已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为 ，则下面四组 和 的组
合可能的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】假设 ，由 图象可知在 时刻 ，由于甲做匀速直线运动，乙做匀加速
直线运动，则若在 时刻第一次相遇，也就不会存在第二次相遇的问题，与已知条件两次相
遇相矛盾。
当 时， ＜ ，发生两次相遇是可能的。
对于乙: ＝ 。
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所以 ， 。因为 ，所以 。
考点四 初速度为零的匀加速直线运动比例式
（1）1T末、2T末、3T末、…瞬时速度之比为v :v :v :…＝1:2:3:….
1 2 3
（2）第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内的位移之比为：x :x :x :x ＝
1 2 3 n
1:3:5:…:（2n-1）.
（3）1T内、2T内、3T内、…、位移之比为： ，
（4）通过连续相同的位移所用时间之比
.
考点五 纸带处理问题
（1）“位移差法”判断运动情况，设时间间隔相等的相邻点之间的位移分别为x 、x 、x ….
1 2 3
①若x -x ＝x -x ＝…＝ ＝0，则物体做匀速直线运动.
2 1 3 2
②若x -x ＝x -x ＝…＝ ＝△x≠0，则物体做匀变速直线运动.
2 1 3 2
（2）“逐差法”求加速度，根据x -x ＝x -x ＝x -x ＝3aT2（T为相邻两计数点的时间间隔），
4 1 5 2 6 3
有
， ， ，
然后取平均值，即
.
（3）瞬间速度的求法
在匀变速直线运动中，物体在某段时间t内的平均速度与物体在这段时间的中间时刻 时的
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂瞬时速度相同，即 .所以，第n个计数点的瞬时速度为： .
（4）“图象法”求加速度，即由 ，求出多个点的速度，画出v-t图象，直线的斜率
即为加速度.
1.关于公式x＝ ，下列说法正确的是( )
A.此公式只适用于匀加速直线运动
B.此公式适用于匀减速直线运动
C.此公式只适用于位移为正的情况
D.此公式不可能出现a、x同时为负值的情况
【答案】B
【解析】公式x＝ 适用于匀变速直线运动，既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动，
既适用于位移为正的情况，也适用于位移为负的情况，选项B正确，选项A、C错误.当物体做匀加速直线
运动，且规定初速度的反方向为正方向时，a、x就会同时为负值，选项D错误.
2.关于匀变速直线运动的公式，有下面几种说法，正确的是( )
A.由公式a＝ 可知，做匀变速直线运动的物体，其加速度a的大小与物体运动的速度改变量(v－v)成
t 0
正比，与速度改变量所对应的时间t成反比
B.由公式a＝ 可知，做匀变速直线运动的物体，其加速度a的大小与物体运动的速度平方的改变量(v
－v )成正比，与物体运动的位移x成反比
C.由公式x＝ 可知，做初速度为零的匀变速直线运动的物体，其位移x的大小与物体运动的时间t的平方
成正比
D.由公式v＝v ＋at可知，做匀变速直线运动的物体，若加速度 a＞0，则物体做加速运动，若加速度 a＜
t 0
0，则物体做减速运动
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂【答案】C
【解析】物体做匀变速直线运动，加速度保持不变，根据x＝ at2可知，做初速度为零的匀变速直线运动
的物体，其位移x的大小与物体运动的时间t的平方成正比，A、B错误，C正确；物体做加速运动还是减
速运动根据物体运动的速度方向与加速度方向是否相同决定，同向为加速反向为减速，仅根据加速度的方
向判断加速还是减速是错误的，D错误.
3.某航母跑道长200 m，飞机在航母上滑行的最大加速度为6 m/s2，起飞需要的最低速度为50 m/s.那么，飞
机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( )
A.5 m/s B.10 m/s C.15 m/s D.20 m/s
【答案】B
【解析】 由v2－v ＝2ax得：
v＝ ＝ m/s＝10 m/s.
0
4.2013年岁末中国首艘航母“辽宁舰”在南海传出”顺利完成作战科目试验”的消息.歼15战机成功起降”辽宁
舰”，确立了中国第一代舰载机位置.航空母舰上有帮助飞机起飞的弹射系统，已知歼15战机在跑道上加速
时产生的加速度为4.5 m/s2，战斗机滑行100 m时起飞，起飞速度为50 m/s，则航空母舰静止时弹射系统必
须使歼15战机具有的初速度为( )
A.10 m/s B.20 m/s C.30 m/s D.40 m/s
【答案】D
【解析】根据公式v2－v ＝2ax，解得v＝ ＝ m/s＝40 m/s.D正确.
0
5.物体做匀加速直线运动，经过A点的速度是v ，经过B点的速度是v ，C为AB的中点，则经C点的速度
A B
的大小是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据匀变速直线运动的速度位移公式得，v －v ＝2a ，v －v ＝2a .
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂可知v －v ＝v －v ，解得v ＝ .D正确.
C
6.甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶.在t＝0到t＝t 的时间内，它们的v－t图象如图所示.在这段时间
1
内( )
A.汽车甲的平均速度比乙大
B.汽车乙的平均速度等于
C.甲、乙两汽车的位移相同
D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
【答案】A
【解析】根据v－t图线下方的面积表示位移，可以看出汽车甲的位移x 大于汽车乙的位移
甲
x ，选项C错误；根据 ＝ 得，汽车甲的平均速度 大于汽车乙的平均速度 ，选项A正确；汽车乙的位
乙 甲 乙
移x 小于初速度为v、末速度为v 的匀减速直线运动的位移x，即汽车乙的平均速度小于 ，选项B错
乙 2 1
误；根据v－t图象的斜率反映了加速度的大小，因此汽车甲、乙的加速度大小都逐渐减小，选项D错误.
7.一物体从长为L的光滑斜面的顶端由静止开始匀加速滑下，经时间t滑到底端，则下列说法正确的是(
)
A.物体运动到底端时的速度是
B.物体在 时的即时速度是
C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D.物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是
【答案】C
【解析】整个过程中的平均速度 ＝ ，根据平均速度的推论知， ＝ ，则运动到底端时的速度v＝2
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂＝ ，A错误；根据某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度知，物体在 时的即时速度是 ，B
错误；根据v2＝2aL，v′2＝2a ，v＝ ，则物体运动到斜面中点时的瞬时速度v′＝ ，C正确；根据L＝
at2， ＝ at′2得，t′＝ t，D错误.
8.(多选)一物体以初速度v 做匀减速直线运动，第1 s内通过的位移为x ＝3 m，第2 s内通过的位移x ＝2
0 1 2
m，此后又经过位移x 物体的速度减小为0，则下列说法中正确的是( )
3
A.初速度v 的大小为2.5 m/s
0
B.加速度a的大小为1 m/s2
C.位移x 的大小为1.125 m
3
D.位移x 内的平均速度大小为0.75 m/s
3
【答案】BCD
【解析】匀变速直线运动中，任意两个连续相等时间内的位移之差都相等，即 x －x ＝aT2，得a＝－1
2 1
m/s2，负号表示与速度方向相反，代入位移公式x ＝vt ＋ at ，解得初速度v ＝3.5 m/s，A错误，B正确；
1 01 0
根据速度公式v ＝v ＋at ，解得物体在第2 s末的速度v ＝1.5 m/s，根据速度和位移的关系v －v ＝2ax ，
2 0 2 2 3
解得x＝1.125 m，C正确；位移x 内的平均速度 ＝ ＝0.75 m/s，D正确.
3 3
9.(多选)如图所示，两光滑斜面在B处连接，小球从A处由静止释放，经过B、C两点时速度大小分别是3
m/s和4 m/s，AB＝BC.设球经过B点前后速度大小不变，则下列判断正确的是( )
A.球在AB、BC段的加速度大小之比为4∶3
B.球由A运动到C的过程中平均速率为2.1 m/s
C.小球在AB、BC段的运动时间之比为7∶4
D.小球从B运动到C过程中平均速度大小为3.5 m/s
【答案】BD
【解析】对AB段，根据速度位移公式得：a ＝ ，对BC段，a ＝ ，代入数据解得：a∶a ＝
1 2 1 2
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂9∶7，A错误；A到C过程中的平均速率为：v＝ ＝ m/s＝2.1 m/s，B正确；根据平均速度的
推论知，AB段的时间t＝ ，BC段运动的时间t＝ ，代入数据解得t∶t＝7∶3，C错误；小球从B运
1 2 1 2
动到C过程中平均速度大小为 ＝ ＝ m/s＝3.5 m/s，D正确.
10.(多选)物体先做初速度为零的匀加速运动，加速度大小为 a ，当速度达到v时，改为以大小为a 的加速
1 2
度做匀减速运动，直至速度为零.在加速和减速过程中物体的位移和所用时间分别为x，t 和x，t，下列各
1 1 2 2
式中成立的是( )
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D.v＝
【答案】ACD
【解析】由题得到，x＝ t，x＝ t，则两式相比得到， ＝ ，A正确；由v＝at，又v＝at，得 ＝ ，
1 1 2 2 11 22
B错误；由v2＝2ax 02－v2＝－2ax，两式相比得到， ＝ ，C正确；对于整个运动过程，x＋x＝ (t＋
1 1, 2 2 1 2 1
t)，得v＝ ，D正确. 11.小汽车在嘉峪
2
关至山丹高速公路上行驶限速为120 km/h，冬天大雾天气的时候高速公路经常封路，以免发生严重的交通
事故.如果某人大雾天开车在此段高速公路上行驶时，能见度(观察者与能看见的最远目标间的距离)为50
m，该人的反应时间为0.5 s，汽车刹车时能产生的最大加速度的大小为5 m/s2，为安全行驶，汽车行驶的
最大速度是多大？
【答案】 20m/s
【解析】 设汽车行驶的最大速度大小是v，发现危险目标时，在反应时间内x ＝vt＝0.5 s·v；刹车过程中，
1
由v －v ＝2ax，代入数据得0－v2＝2×(－5 m/s2)x ，解得x ＝ .为安全行驶x ＋x ＝50 m，即0.5 s·v
2 2 1 2
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂＋ ＝50 m，解得v＝20 m/s.
12.如图所示，物体以4 m/s的速度自斜面底端A点滑上光滑斜面，途经斜面中点C，到达斜面最高点B.已
知v ∶v ＝4∶3，从C点到B点历时(3－ ) s，试求：
A C
(1)到达斜面最高点B时的速度；
(2)斜面的长度.
【答案】(1) m/s (2)7 m
【解析】(1)由v ∶v ＝4∶3得，v ＝ v ＝3 m/s.
A C C A
v ＝ ，故v ＝ ＝ m/s＝ m/s.
C B
(2)a＝ ＝ m/s2＝－1 m/s2.由v －v ＝2ax得：x＝ ＝ m＝7 m.
13.一列从车站开出的火车，在平直的轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为L，火车头经过某
路标时的速度为v，而火车尾经过此路标时的速度为v，求：
1 2
(1)火车的加速度a；
(2)火车中点经过此路标时的速度v；
(3)整列火车通过此路标所用的时间t.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】(1)从火车头经过某路标到火车尾经过此路标，火车的位移 x＝L，由速度与位移的关系v －v ＝
2ax得a＝ .
(2)从火车头经过某路标到火车中点经过此路标：有v2－v ＝2a ，解得v＝ .
(3)火车通过此路标的过程中，由位移公式L＝ t＝ t，得t＝ .
更多资料添加微信号：hiknow_007 淘宝搜索店铺：乐知课堂即整列火车通过此路标所用时间为 .
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