文档内容
2024 学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考
科高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数a的值为（ ）
.
A 0 B. 1 C. 1或3 D. 3
2. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
3. “ ”是“ ” 的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
.
4 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
5. 下面不等式成立的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
6. 已 知 函 数 的 图 象 关 于 点 对 称 ， 且 ， ，，则 的图象可能是（ ）
A. B.
C D.
.
7. 已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知正实数 ， ，满足 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
的
9. 下列命题是真命题 是（ ）
A. 命题“ ， ”，的否定是“ ， ”
B. 与 是同一个函数
C. 不等式 的解集为
D. 若 ， ，则
10. 下列说法中正确的有（ ）A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为
C. 不等式 的解集为
D. 函数 关于点 中心对称
11. 已知函数 ，若 ， 恒成立，则（ ）
A. 函数 是奇函数 B. 函数 是增函数
C. ， 是真命题 D. m可以为0
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 的单调递增区间为______.
13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 时， ，则 _____.
14. 实数 ， 满足 ，则 的最小值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 函数 的定义域为集合 ， ， .
（1）求 ， .
（2）若 ，求实数m的取值范围.
16. 已知函数
（1）若不等式 的解集为 ，求a，b的值（2）若方程 仅有一个实数解，求 的最小值.
17. 文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化
的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发
展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t
（天）的函数，其中 ， .每件汉服的日综
合成本为20元.
（1）写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系；
（2）求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本）
18. 已知函数 .
（1）用定义进行证明函数 在 的单调性.
（2）已知函数 ，若对任意的 ， ，使得
，求实数m的取值范围.
19. 已知双曲函数 ， .
（1）证明：
（2）判断函数 的单调性（不用证明），并解关于x的不等式 .
（3）若 ，不等式 成立，求实数 的取值范围.2024 学年第一学期宁波三锋教研联盟期中联考
科高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题纸.
选择题部分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，若 ，则实数a的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. 1或3 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合相等求解.
【详解】解：因为集合 ， ，且 ，
所以 ，解得 ，
故选：D
2. 下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间 上单调递增函数，故
选A．
考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．
点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．3. “ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合指数函数单调性判断即得.
【详解】 ，
反之当 时，取 ，不等式 无意义，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A
4. ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用指数函数的性质比较大小即得.
【详解】 ， ，
所以 .
故选：D
5. 下面不等式成立的是（ ）
A. 若 ， ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ， ，则
【答案】B
【解析】【分析】举例说明判断AC；利用不等式的性质推理判断BD.
【详解】对于A，取 ，满足 ， ，而 ，A错误；
对于B，由 ，得 ，则 ，B正确；
对于C，取 ，满足 ，而 ，C错误；
对于D，由 ，得 ，则 ，而 ，
于是 ， ，D错误.
故选：B
6. 已 知 函 数 的 图 象 关 于 点 对 称 ， 且 ， ，
，则 的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，结合函数的图象变换确定函数 的对称性，再借助单调性判断即得.
【详解】函数 的图象向右平移1个单位得函数 的图象，由函数 的图象关于点 对称，得函数 的图象关于原点对称，排除AB；
在
由 ， ， ，得函数 上单调递增，排除
D，C符合.
故选：C
7. 已知函数 ，若 的最小值为 ，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数，分别确定每段的最小值，再根据给定最小值建立不等式，求解即可.
【详解】当 时， 的最小值为 ，
当 时， ，
若 时， 为增函数，所以 ，
所以需满足 ，解得 ，与 矛盾，故不合题意；
当 时，由对勾函数性质， 在 上单调递增，
又 的最小值为 ，则 ，解得 ，
综上，实数a的取值范围是 .
故选：B8. 已知正实数 ， ，满足 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据 ，由 ，得到
，再利用不等式和一元二次不等式的解法求解.
【详解】解：因为 ，
所以 ，即 ，
因为 ，则 ，解得 ，当且仅当
，即 或 时，等号成立，
所以 的取值范围为 ，
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题是真命题的是（ ）A. 命题“ ， ”，的否定是“ ， ”
B. 与 是同一个函数
C. 不等式 的解集为
D. 若 ， ，则
【答案】AD
【解析】
【分析】根据存在命题的否定判断A，根据定义域不同判断B，根据特殊值判断C，根据不等式性质判断
D.
【详解】由存在量词命题的否定知， ， ，的否定是 ， ，故A正确；
由 知 的定义域为 ，由 或 知 定义域为
，所以函数不是同一个函数，故B错误；
因为 时，分母为0，故不等式的解集不是 ，故C错误；
由不等式的性质， ，又 ，
所以 ，故D正确.
故选：AD
10. 下列说法中正确的有（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为
C. 不等式 的解集为D. 函数 关于点 中心对称
【答案】BD
【解析】
【分析】由复合函数的单调性可判断 A；由函数的定义域的定义可判断 B；对 讨论，分
，可判断C；由函数的图象平移可判断D .
【详解】对于A，函数 在 上单调递减，故A错误；
对于B，函数 的定义域是 ，可得 ，解得 ，所以函数 的定义
域为 ，故B正确；
对于C，不等式 ，当 时解集为 ；当 时解
集为 ；当 时解集为 ，故C错误;
对于D， 的图象可由 向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到，可得
关于点 中心对称，故D正确.
故选：BD.
11. 已知函数 ，若 ， 恒成立，则（ ）
A. 函数 是奇函数 B. 函数 是增函数
C. ， 是真命题 D. m可以为0
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据给定条件，结合奇函数的定义、复合函数的单调性，逐项分析判断即可.【详解】函数 的定义域为R，
对于A， ， ，
函数 是奇函数，A正确；
对于B，函数 在R上单调递增，则函数 在R上单调递减，而 在R上单调递增，
因此函数 在R上单调递增，函数 是增函数，B正确；
对于C， ，
，因此 ，
， 是真命题，C正确；
对于D，由选项C知， ，解得 ，D错误.
故选：ABC
【点睛】思路点睛：涉及奇偶性的函数不等式，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其
单调性脱去函数的符号“f”求解.
非选择题部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数 的单调递增区间为______.
【答案】 (或(1,+∞)也正确)
【解析】
【分析】根据函数解析式直接得出单调区间.
【详解】 ,
所以函数 的单调递增区间为 .故答案为： (或(1,+∞)也正确)
13. 已知函数 是定义在 上的奇函数，且 时， ，则 _____.
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数求出 ，再利用奇函数的定义求出 .
【详解】由函数 是定义在 上的奇函数，得 ，
而当 时， ，则 ，
所以 .
故答案为：
14. 实数 ， 满足 ，则 的最小值为______.
【答案】2
【解析】
【分析】由条件分离出 ，代入 转化为关于 的式子，利用对数运算后由基本不等式求最值.
【详解】由 可得 ，
所以 ，
所以
，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立.
故答案为：2
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于怎样建立已知条件与待求式之间的联系，通过类似消元的思想，利用对数运算与性质得出 ，再由均值不等式得解.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 函数 的定义域为集合 ， ， .
（1）求 ， .
（2）若 ，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ， ；
（2） .
【解析】
【分析】（1）求出函数定义域化简集合 ，解不等式化简集合 ，再利用补集、交集的定义求解即得.
（2）由（1）的信息，利用并集的结果，结合集合的包含关系列式求解.
【小问1详解】
由 ，得 ，解得 ，则 ，
，由 ，得 ，则 ，
所以 ， .
【小问2详解】
由 ，得 ，而 ，
则 ，解得 ，
所以实数m的取值范围是 .
16. 已知函数
（1）若不等式 的解集为 ，求a，b的值
（2）若方程 仅有一个实数解，求 的最小值.【答案】（1） 或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次不等式的解集可知对应一元二次方程的根，由根与系数列方程求解；
（2）由题意判别式为0，得出 ，再由“1” 的技巧及基本不等式得解.
【小问1详解】
因为不等式 的解集为 ，
所以方程 的两根为 ，
所以由根与系数的关系可得 ，
解得 或 .
【小问2详解】
因为方程 仅有一个实数解，
所以 ，即 ，
所以 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
17. 文化自信，服装先行，近年来汉服文化成为了一种时尚的潮流，“汉服热”的本质是对中华民族传统文化
的自觉、自知、自信.内育文化强底气，外引项目强经济，汉服体验项目的盛行也带动了文化古镇的经济发
展.近30天，某文化古镇的一汉服体验店，汉服的日租赁量P（件）与日租赁价格W（元/件）都是时间t
（天）的函数，其中 ， .每件汉服的日综
合成本为20元.
（1）写出该店日租赁利润Y与时间t之间的函数关系；
（2）求该店日租赁利润Y的最大值.（注：租赁利润＝租赁收入－租赁成本）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）按照“租赁利润＝租赁收入－租赁成本”可以写出利润Y与时间t之间的函数关系；
（2）应用二次函数性质与对勾函数性质分段求出最大值，再比较两值大小即可得到利润Y的最大值.
【小问1详解】
解：依题意可知， ，
即
【小问2详解】解：因为 ，
所以当 时， ，
所以当 时 ；
当 时，
，
当且仅当 , ，
即 时等号成立，而 ，
由对勾函数性质可知 在 单调递减，
所以当 ，即 时， ，
又因为 ，
所以当 时，该店日租赁利润Y的最大值为 .
18. 已知函数 .
（1）用定义进行证明函数 在 的单调性.
（2）已知函数 ，若对任意的 ， ，使得
，求实数m的取值范围.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
的
【分析】（1）根据函数 单调性的定义证明即可；
（2）由题意，转化为 ，对二次函数分类讨论求最小值，建立不等式得解.
【小问1详解】
设任意的 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 ，
所以 ，函数在(0,+∞)的单调递增.
【小问2详解】
由题意， ，
由（1）知， 在 上单调递增，所以 ，
由 ，知对称轴方程为 ，
①当 时， ，
解得 ，又 ，故无解；
②当 时， ，
解得 ，又 ，所以 ；
③当 时， ，
解得 ，又 ，
.
所以
综上，实数m的取值范围 .
19. 已知双曲函数 ， .
（1）证明：
（2）判断函数 的单调性（不用证明），并解关于x的不等式 .
（3）若 ，不等式 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）单调递增， ；
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用指数运算计算即得.
（2）利用指数函数单调性，结合复合函数的单调性判断单调性，再利用单调性解不等式.
（3）根据给定条件，分离参数，换元并借助对勾函数的单调性求出最大值即可.
【小问1详解】
双曲函数 ， ,
则 .【小问2详解】
函数 在 上单调递减， 在 上单调递增，而函数 在 上单调递增，
所以函数 在 上单调递增，
不等式 ，
则 ，即 ，解得 ，
所以原不等式的解集为 .
【小问3详解】
不等式 ，
当 时， ，则 ，
依题意， ， 恒成立，令 ， ，
，函数 在 上单调递增，
则当 时， ，因此 ，即当 时， 取得最大值 ，则 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】结论点睛：函数 的定义区间为 ，
①若 ，总有 成立，则 ；
②若 ，总有 成立，则 ；③若 ，使得 成立，则 ；
④若 ，使得 成立，则 .
