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2024-2025 学年湖北省襄阳市第四中学高一下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.cos330∘+tan600∘=( )
1−√3 1+√3 √3 3√3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.“点P(sinθ,tanθ)在第二象限”是“角θ为第三象限角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知平面向量 ， ，满足 ， ， ⃗ ，则向量 与 的夹角为( )
⃗a ⃗b ⃗a⋅⃗b=−3 |⃗a+⃗b|=1
|b|=√3
⃗a ⃗b
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
4.若6x=25，5y=6，则xy=( )
1 3
A. 3 B. C. D. 2
2 2
5.已知定义域为R的偶函数f (x)满足f (x)+f (4−x)=6，则f (10)=( )
A. 3 B. 2 C. 6 D. 10
6.已知函数 满足 ，且当 ( π π)时， ，则( )
f (x) f (x)=f (π−x) x∈ − , f (x)=x+tanx
2 2
A. f (1)0,n>0，则 + 的最小值( )
m n
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1 1A. 2 B. 8 C. 9 D. 18
8.已知函数 ( π)，若方程 在 的解为 ，且
f (x)=sin 2x− f (x)=a(a>0) (0,π) x ,x (x y”，则“sinx>sin y”
B. 若“cosα=cosβ”，则“α=β+2kπ，k∈Z”
C. 函数 的单调递减区间为
f (x)=2(x2−2ax+5) (−∞,a]
4
D.
函数y=2−cos2x+
的最小值为5
sin2x
10.对于任意两个非零向量⃗a和⃗b，下列命题中正确的是( )
A. ⃗ ⃗
a2=|a|2
B. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
|a2−b2|=|a+b|⋅|a−b|
C. ⃗ ⃗ |⃗| |⃗|
a⋅b≤ a⋅b
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
a b a b
D. 向量 + 与向量 − 垂直
⃗ ⃗ ⃗ ⃗
|a| |b| |a| |b|
11.下列结论正确的有：( )
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2 11+sin2α 1
A. cos4α+4cos2α+3=8cos4α B. = tanα+1
2cos2α+sin2α 2
sin(2α+β) sinβ 3−4cos2A+cos4A
C. −2cos(α+β)= D. =tan4A
sinα sinα 3+4cos2A+cos4A
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量⃗
a=(λ,2)
，⃗
b=(−1,3)
，若⃗
a//
(⃗
a+
⃗
b
)，则 λ= ．
3
13.若sin(α−β)cosα−cos(β−α)sinα= ，则cos(2β−π)= ．
5
π
14.已知函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示，其中B，C两点的纵坐标相等，若
2
[π ]
函数g(x)=f (ax)(a>0)在 ,π 上恰有3个零点，则实数a的取值范围是 ．
3
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
⃗ ⃗ π ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
已知两个单位向量 e 与 e 的夹角为 ，设 a=2e +e ， b=te −3e ．
1 2 3 1 2 1 2
(1)
求|⃗
a+
⃗
b
|最小值；
(2)若⃗a与⃗b的夹角为钝角，求t的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数 ( π) √2．
f (x)=2cos2xsin 2x+ −
4 2
(1)求f (x)的最小正周期和单调递增区间；
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3 1(2)将f (x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得到函数g(x)的图象，当
[ π]时，求不等式 3的解集．
x∈ 0, g(x)>
2 2
17.(本小题15分)
已知函数 ， ．
f (x)=log x+blog 9+2 x∈(0,1)∪(1,+∞)
3 x
(1)若b=−1，求方程f (x)=1的解；
[ 2π 2π]，不等式 对于 恒成立，求实数 的取值范围．
(2)∃θ∈ − , f (x)≥3sinθ+8 ∀x∈[3,27] b
3 3
18.(本小题17分)
为了打造美丽社区，某小区准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化，如图，长方形的边AB
为半圆的直径，O为半圆的圆心，AB=2AD=100m，现要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMN种
植观赏树木，其余区域种植花卉(其中P，M，N分别在线段AD，DC，圆弧AB上且底边MN⊥CD).设
， ( π]．
∠MOB=θ θ∈ 0,
2
π
(1)当θ= 时，求▵PMN的面积；
3
(2)求三角形区域PMN面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知两个函数Y =f(x)，x∈D ，y=F(x)，x∈D ，若对任意的x ∈D ，存在唯一的x ∈D ，使
1 2 1 1 2 2
得f(x )F(x )=1成立，则称F(x)为f(x)的“友好函数”．
1 2
(1)判断函数G(x)=cosx，x∈[0,π]是否为g(x)=sinx，x∈[0,π]的“友好函数”，并说明理由;
若函数 ， 是 ， 的“友好函数”，求 的最小值
(2) H(x)=log
2
x x∈[m,n] ℎ(x)=2x x∈[−2,−1] n−m ;
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4 1kx 1 π 1
(3)已知函数Q(x)=log ( + )，x∈[0,m]，q(x)=sin(πx− )，x∈[− ,t]，若Q(x)是
2 x2+4 4 3 6
q(x)的“友好函数”，且q(x)也是Q(x)的“友好函数”，求实数t的值及m−k的最大值．
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5 1参考答案
1.D
2.C
3.D
4.D
5.A
6.D
7.C
8.D
9.ABD
10.ACD
11.ACD
2
12.−
3
7
13.−0.28/−
25
11 7 5 17
14.[ , )∪( , )
6 3 2 6
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 1 1
15.(1)由题意e 2=12=1,e 2=12=1,e ⋅e =1⋅1⋅ = ，
1 2 1 2 2 2
因为⃗ ⃗ ⃗，⃗ ⃗ ⃗，所以⃗ ⃗ ⃗ ⃗
a=2e +e b=te −3e a+b=(t+2)e −2e
1 2 1 2 1 2
所以|⃗ a+ ⃗ b | = √(⃗ a+ ⃗ b ) 2 = √[ (t+2)e ⃗ −2e ⃗] 2 =√(t+2) 2+4−2(t+2)=√(t+1) 2+3 ，
1 2
所以|⃗ a+ ⃗ b | =√(t+1) 2+3≥√3 ，等号成立当且仅当 t=−1 ，
所以|⃗ ⃗|最小值是 ；
a+b √3
(2)
因为⃗
a=2e
⃗
+e
⃗，⃗
b=te
⃗
−3e
⃗，
1 2 1 2
⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗) ( ⃗ ⃗) t 5t
所以a⋅b= 2e +e ⋅ te −3e =2t−3+ −3= −6，
1 2 1 2 2 2
设⃗ ⃗ ⃗，⃗ ⃗ ⃗共线，即设⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗)，
a=2e +e b=te −3e a=2e +e =λb=λ te −3e
1 2 1 2 1 2 1 2
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6 1因为向量⃗与⃗不共线，
e e
1 2
1
所以λt=2,−3λ=1，解得λ=− ,t=−6，
3
若⃗a与⃗b的夹角为钝角，
⃗ ⃗ 5t
则a⋅b= −6<0，且t≠−6，
2
解得 的取值范围是 ( 12)．
t (−∞,−6)∪ −6,
5
√2
16.(1)因为f (x)=√2cos2x(sin2x+cos2x)− ，
2
√2 √2 √2
=√2sin2xcos2x+√2cos22x− = sin4x+ ⋅(2cos22x−1)，
2 2 2
√2 √2 ( π)，
= sin4x+ cos4x=sin 4x+
2 2 4
2π π
则f (x)的最小正周期是T= = ，
4 2
π π π kπ 3π kπ π
令2kπ− ≤4x+ ≤2kπ+ ，k∈Z，解得 − ≤x≤ + ，k∈Z，
2 4 2 2 16 2 16
故 的单调递增区间是[kπ 3π kπ π ]， ．
f (x) − , + k∈Z
2 16 2 16
(2)因为将f (x)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，
纵坐标变为原来的 倍，所以经过变换可得 ( π)，
3 g(x)=3sin 2x+
4
由题意得 ( π) 3，
g(x)=3sin 2x+ >
4 2
即 ( π) 1，所以π π 5π ， ，
sin 2x+ > +2kπ<2x+ < +2kπ k∈Z
4 2 6 4 6
π 7π
解得− +kπ ，
24 24 24 2
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7 1所以当 [ π]时，不等式 3的解集为[ 7π)．
x∈ 0, g(x)> 0,
2 2 24
2b
17.解：(1)f (x)=log x+blog 9+2=log x+2blog 3+2=log x+ +2，
3 x 3 x 3 log x
3
设t=log x，∵x∈(0,1)∪(1,+∞)，∴t∈(−∞,0)∪(0,+∞)，
3
2 1
∴方程f (x)=1可化为：t− +2=1，解得：t=−2或t=1，∴x= 或x=3．
t 9
当 [ 2π 2π]时， ， ；
(2) θ∈ − , sinθ∈[−1,1] ∴(3sinθ+8) =5
3 3 min
2b
由(1)知：f (x)可化为g(t)=t+ +2，
t
2b
当x∈[3,27]时，t=log x∈[1,3]，∴t+ +2≥5在t∈[1,3]上恒成立，
3 t
即2b≥−t2+3t在t∈[1,3]上恒成立，
3 9 9 9 9 9
当t= 时，(−t2+3t) =− + = ，∴2b≥ ，解得：b≥ ，
2 max 4 2 4 4 8
即实数 的取值范围为[9 )．
b ,+∞
8
π √3
18.(1)设MN 与AB 相交于点E ，则ME=OM⋅sin =50× =25√3，
3 2
π
可得MN=ME+EN=25√3+50 ，AE=50+50cos =75，
3
因为AE 等于P 到MN 的距离，
1 1 1
所以S = MN⋅AE= (25√3+50)×75= (1875√3+3750)，
▵PMN 2 2 2
1
即▵PMN 的面积为 (1875√3+3750)m2 ．
2
(2)过点P 作PF⊥MN 于点F ，则PF=AE=50+50cosθ，
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8 1且MN=ME+EN=50+50sinθ,三角形区域PMN 面积为
1 1
S= MN⋅PF= (50+50sinθ)(50+50cosθ)=1250(1+sinθ)(1+cosθ)
2 2
=1250(1+sinθ+cosθ+sinθcosθ)，
设 ，由 ( π] ，得 π (π 3π]
sinθ+cosθ=t θ∈ 0, θ+ ∈ ,
2 4 4 4
所以 ( π) ，
t=sinθ+cosθ=√2sin θ+ ∈[1,√2]
4
结合 t2−1 ，可得 ( t2−1)
sinθcosθ= S=1250 1+t+ =625(t+1) 2.
2 2
当
t=√2
时，
S
取得最大值，
S =625(√2+1) 2=1875+1250√2.
max
即三角形区域 面积的最大值为 ．
PMN (1875+1250√2)m2
19.解：(1)函数G(x)=cosx，x∈[0,π]不是g(x)=sinx，x∈[0,π]的 友好函数 ，理由如下：
由G(x)=cosx，x∈[0,π]的值域为[−1,1]，
又 ， ，取 π，则 (π) π 1，
g(x)=sinx x∈[0,π] x= g =sin =
6 6 6 2
若函数G(x)=cosx，x∈[0,π]是g(x)=sinx，x∈[0,π]的 友好函数 ，
那么存在 ，使得 (π) ，即 在 上有解，
x∈[0,π] G(x)g =1 G(x)=2 [0,π]
6
显然这是不成立的，所以函数G(x)=cosx，x∈[0,π]不是g(x)=sinx，x∈[0,π]的 友好函数 ．
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9 1{m>0
(2)由函数H(x)=log x，x∈[m,n]，所以 ,
2 m⩽n
且函数 ， 的值域为 ．
H(x)=log x x∈[m,n] [log m,log n]
2 2 2
1 1
对于x∈[−2,−1]，ℎ(x)=2x∈[ , ]，
4 2
设x ∈[m,n]，则H(x )=log x ，
1 1 2 1
1
由H(x )ℎ(x )=1，即log x ⋅2x 2=1，可得log x = ，
1 2 2 1 2 1 2x
2
1 1
因为ℎ(x)的值域为[ , ]，所以H(x)的值域满足：[2,4]⊆[log m,log n]，
4 2 2 2
即{log 2 m⩽2 ，解得{0
