文档内容
安徽六校教育研究会 2024 届高三年级第二次素养测试
数学试题
2024.2
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟。
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对
应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径 0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区
域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1．已知全集 ，集合 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
2．若 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
3． 的展开式中 的系数为160，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．
4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续
10天，每天新增疑似病例不超过7人”，根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该
标志的是（ ）
A．甲地：总体均值为3，中位数为4 B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3 D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
5．椭圆 经过点 ，则其离心率 （ ）
A． B． C． D．
6．若函数 在区间 恰存三个零点，两个极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
学科网（北京）股份有限公司7．已知棱长为8的正四面体，沿着四个顶点的方向各切下一个棱长为 2的小正四面体（如图），剩余中间部
分的八面体可以装入一个球形容器内（容器壁厚度忽略不计），则该球形容器表面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若方程 有两个不同的实数解，则实数a的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分、共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知等基数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A． B．
C．当 时， 取最大值 D．当 时， 的最小值为19
10．已知直线 与圆 交于点 ，点 中点为 ，则
（ ）
A． 的最小值为 B． 的最大值为4
C． 为定值 D．存在定点 ，使得 为定值
11 ． 已 知 函 数 的 定 义 域 均 为 ， ， ，
，且当 时． ，则（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司C．函数 关于直线 对称 D．方程 有且只在2个实根
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线 的焦点为F，过F的直线l与曲线C交于A，B两点，点A的横坐标为6、则
______．
13．已知正方形 的边长为2，中心为 ，四个半圆的圆心地为正方形 各边的中点（如图），
若 在 上，且 ，则 的最大值为______．
14．设 是以定点 为球心半径为 的球面， 是一个固定平面， 到 的距离为 ．设 是以
点 为球心的球面，它与 外切并与 相切．令A为满足上述条件的球心 构成的集合．设平面 与
平行且在 上有A中的点．设 是平面 与 之间的距离．则 的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题、共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（本小题满分13分）
在 中，内角 的对边分別为 ．
（1）求角C；
（2）若 ，求角 的平分线 的长度．
16．（本小题满分15分）
如 图 ， 四 棱 锥 的 底 面 是 菱 形 ， 点 分 別 在 棱 上 ，
．
学科网（北京）股份有限公司（1）证明： 平而 ；
（2）落二面角 大小为120°，求 与平面 所成角的正弦值．
17．（本小题满分15分）
（1）已知 ，证明： ；
（2）证明： ．
18．（本小题满分17分）
某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区各餐
厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．
（1）现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据
的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？
性别 就餐区域 合计
南区 北区
男 33 10 43
女 38 7 45
合计 71 17 88
（2）张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为 ；如果前一天
在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为 ， ；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅
的概率均为 ．张同学第1天就餐时选择甲，乙，丙餐厅的概率分别为 ， ， ．
（ⅰ）求第2天他去乙餐厅用餐的概率；
（ⅱ）求第 天他去甲餐厅用餐的概率 ．
附： ；
学科网（北京）股份有限公司0.100 0.050 0.025 0.010
2.706 3.841 5.024 6．635
19．（本小题满分17分）
已知点 是四 上任意一点，点 关于点 的对称点为 ，线段 的
中垂线与直线 相交于点 ，记点 的轨迹为曲线 ．
（1）水曲线 的方程；
（2）若点 ，直线 ，过点 的直线 与 交于 两点，直线 与直线
分别交于点 ．证明： 的中点为定点．
安徽六校教育研究会 2024 届高三年级第二次素养测试数学试卷
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
B C B D A A D A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9 10 11
ABD ACD AC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12． 13． 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：（1）由 得 ．
由正弦定理得 ，
得 ，
得 ．
学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 ，
即 ，
又 ，所以 ．
（2）由余弦定理， ，
可得 ，
又
则
16．（15分）
解：（1）取棱 上一点 ，使得 ，连接 ，
，且 ，
，且 ，
，且
又 平面 平面
平面
（2）取 中点 ，连接 ，作 ，垂足为 ，
菱形 中， ，
学科网（北京）股份有限公司为等边三角形，
是二面角 的平面角，即 ，且 平面
，即
又
又 平面
又
平面
平面
分别以为 为 轴的正方向，建立空间直角坐标系
则点 ，
所以 ，
设 平面 ，记 与平面 所成角大小为 ，
由 ，取
，
学科网（北京）股份有限公司综上， 与平面 所成角的正弦值为 ．
17．（15分）
证明：（1）令
则 在 单调递增，所以 即 ；
令
则 在 单调递增，所以 即
所以 ，所以
综上， ；
（2）结合第（1）问， 对任意的 恒成立，
令 ，则 ，
即
．
所以 ．
18．（17分）
解：（1）依据表中数据， ，
依据 的独立性检验，没有充分证据推断 不成立，因此可以认为 成立，即认为在不同区域就
餐与学生性别没有关联．
（2）设 “第 天去甲餐厅用餐”， “第 天去乙餐厅用餐”， “第 天去丙餐厅用餐”，
学科网（北京）股份有限公司则 两两互灰， ．
根据题意得 ，
．
（ⅰ）由 ，结合全概率公式，得
，
因此，张同学第2天去乙餐厅用餐的概率为 ．
（ⅱ）记第 天他去甲，乙，丙餐厅用餐的概率分别为 ，
则 ，由全概率公式，得
故 ①
同理 ②
③
④
由①②， ，
学科网（北京）股份有限公司由④， ，
代入②，得： ，即 ，
故 是首项为 ，公比为 的等比数列，
即 ，
所以
于是，当 时
综上所述：
19．（17分）
解：（1）由题意可得 ，且 为 的中点，
又 为 的中点，
所以 ，且 ．
因为点 关于点 的对称点为 ，线段 的中垂线与直线 相交于点 ，
由垂直平分线的性质可得 ，
所以 ，
学科网（北京）股份有限公司所以由双曲线的定义可得，点 的轨迹是以 为焦点的双曲线．
故曲线 的方程为
（2）由题意可知：直线 的斜率存在，设 ，
联立方程 ，消去 得： ，
则 ，
解得 ，且
， ①
由 ，得直线 ，
令 ，解得 ，即 ，
同理可得 ，
学科网（北京）股份有限公司则
所以 的中点为定点 ．
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