文档内容
姓名__________座位号__________
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
2024 年池州市普通高中高三教学质量统一监测
数学
满分：150分考试时间：120分钟
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.若复数 ，则 的实部为（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.-2
2.已知向量 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3.已知 ，则 （ ）
A.7 B.-7 C. D.
4.对于数列 ，若点 都在函数 的图象上，其中 且 ，则“ ”是“ 为
递增数列”的（ ）
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知圆锥的底面半径为3，其内切球表面积为 ，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
6.甲乙两人分别从 五项不同科目中随机选三项学习，则两人恰好有两项科目相同的选法有（）
A.30种 B.60种 C.45种 D.90种
7.已知实数 满足 ，若 的最大值为4，则 （ ）
A. B. C. D.
8.已知圆 和两点 为圆 所在平面内的动点，记以 为直径
的圆为圆 ，以 为直径的圆为圆 ，则下列说法一定正确的是（ ）
A.若圆 与圆 内切，则圆 与圆 内切
B.若圆 与圆 外切，则圆 与圆 外切
C.若 ，且圆 与圆 内切，则点 的轨迹为椭圆
D.若 ，且圆 与圆 外切，则点 的轨迹为双曲线
二､多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.在去年某校高二年级“校长杯”足球比赛中，甲乙两班每场比赛平均进球数､失球数及所有场次比赛进球
个数､失球个数的标准差如下表：
进球个数平均数 失球个数平均数 进球个数标准差 失球个数标准差
甲班 2.3 1.5 0.5 1.1
乙班 1.4 2.1 1.2 0.4
下列说法正确的是（ ）
A.甲班在防守中比乙班稳定
B.乙班总体实力优于甲班
C.乙班很少不失球
D.乙班在进攻中有时表现很好有时表现较差
10.已知函数 ，则（ ）
A. 的图象关于点 对称
B. 在区间 内有2个极大值点
C.D.将函数 的图象向左平移 个单位，所得图象关于直线 对称
11.已知函数 的定义域为 是奇函数，且 ，恒有 ，当 时（其
中 ）， .若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 图象关于点 对称
B. 图象关于点 对称
C.
D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知集合 ，则 __________.
13.造纸术是中国四大发明之一，彰显了古代人民的智慧.根据史料记载盛唐时期折纸艺术开始流行，19世
纪折纸与数学研究相结合，发展成为折纸几何学.在一次数学探究课上，学生们研究了圆锥曲线的包络线折
法.如图，在一张矩形纸片上取一点 ，记矩形一边所在直线为 ，将点 折叠到 上（即 ），不断重复
这个操作，就可以得到由这些折痕包围形成的抛物线，这些折痕就是抛物线的包络线.在抛物线
的所有包络线中，恰好过点 的包络线所在的直线方程为__________.
14.如图，在各棱长均相等的正三棱柱 中，给定依次排列的6个相互平行的平面
，使得 ，且每相邻的两个平面间的距离都为1.若
，则 __________，该正三棱柱的体积为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
学校组织某项劳动技能测试，每位学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过，便可获得证书，不再参加
以后的测试，否则就继续参加测试，直到用完3次机会.如果每位学生在3次测试中通过的概率依次为
，且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3位学生参加测试，回答下列问题：
（1）求该小组学生甲参加考试次数 的分布列及数学期望 ；
（2）规定：在2次以内测试通过（包含2次）获得优秀证书，超过2次测试通过获得合格证书，记该小组
3位学生中获得优秀证书的人数为 ，求使得 取最大值时的整数 .
16.（15分）
记 为数列 的前 项的和，已知 .
（1）求 的通项公式；
（2）令 ，求 .
17.（15分）
如图，在三棱锥 中，底面 是边长为6的正三角形， ， ，点
分别在棱 上， ，且三棱锥 的体积为 .
（1）求 的值；（2）若点 满足 ，求直线 与平面 所成角的余弦值.
18.（17分）
已知双曲线 的右焦点 ，离心率为 ，过 的直线 交 于点
两点，过 与 垂直的直线 交 于 两点.
（1）当直线 的倾斜角为 时，求由 四点围成的四边形的面积；
（2）直线 分别交 于点 ，若 为 的中点，证明： 为 的中点.
19.（17分）
已知集合 是满足下列性质的函数 的全体：存在实数 ，对任意的 ，有
.
（1）试问函数 是否属于集合 ？并说明理由；
（2）若函数 ，求正数 的取值集合；
（3）若函数 ，证明： .2024 年池州市普通高中高三教学质量统一监测
数学评分参考
一､填空题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D A B B D C
二､多选题
题号 9 10 11
答案 CD BCD ABC
11.【解析】由 是奇函数得 ，所以函数 关于点 对称，选项A
正确；由函数 关于点 对称得 ，所以 ，解得 .
由 得点 在函数 图象上，又点 在函数 图象上，所以函数 图象关于直线 对称.
由 关于点 对称， 关于直线 对称得 关于 对称【理由如下：在
图象上取点 ，则点 在函数 图象上，由 关于 对称，得点 和
都在 图象上】，选项B正确.
由函数 关于点 对称得 ，由函数 关于点 对称得 ，又由
得 .当 时，所以 ，解得 【理由略】；
当 时，由函数 关于直线 对称可知函数 在 内单减，所以 ，又
，所以 ，这与题设 矛盾，舍去.所以 ，又 ，即 ，
选项C正确.
综上，当 时， ，显然 ，由函数 关于 对称，
可知 ，由 关于点 对称得 .选项 错误.
综上所述，选项 正确.
三､填空题
12. . 13. . 14.1； .【对一个得3分，对两个得5分】
14.【解析】由题意可知：过点 作平面 必与棱 相交，且交点分别记为 ，如图1所示，
接下来，过点 分别作平行于平面 的平面 ，为使得每相邻两个平面间的距离
都相等，则点 为棱 的三等分点（靠近点 ），点 为棱 的中点，如图2所示.再过点作平行于平面 的平面 ，即可满足题设要求.
由上述分析可知 平面 ，过点 作 的垂线，垂足为 ，则 ，则 即为
与 间的距离，所以 .设该正三棱柱的底面边长为 ，则 ，
，所以 ，所以 ，所以 ，所以体积为 .
四､填空题
15.解：（1）由题意知， 所有可能取的值为
的分布列如下：
1 2 3
0.5 0.3 0.2
（2）由题意知，每位学生获得优秀证书的概率
方法一：
所有可能取的值为 ，且所以使得 取得最大值时，整数 的值为3
方法二：
由 得
所以
所以
所以使得 取得最大值时，整数 的值为3
16.解：（1） ①
当 时 ②
①-②得：
化简得
又 是以2为首项，1为公差的等差数列
的通项公式为
（2）由（1）知：当 时，
又 是以 为首项， 为公比的等比数列
注：其它解法参照以上评分细则.
17.解：（1）如图所示，取 中点 ，连接
是边长为6的正三角形， 为 中点
，且
又
同理可知
又 平面
又 平面
过点 作 ，点 为垂足
又
平面 为三棱锥 的高
在 中，又
①
又 在 中，
由余弦定理 得 ②
由①②得
（2）如图，过 作 ，以 为坐标原点，分别以直线 为 轴建立空间直角坐
标系，则
且 ，取 的方向向量 .
由（1）知
又 面 面 面
又 ，同理可证 面
又 平面 平面
所以直线 与平面 所成的角等于直线 与平面 所成的角，且记为
设平面 的法向量 ，则 取
所以直线 与平面 所成角的余弦值
注：其它解法参照以上评分细则.
18.解：（1）由题意知 ，所以 的方程为直线 的倾斜角为 ，过点 直线 的方程为
设 ，联立 ，得
与 互相垂直 的倾斜角为 由对称性可知
（2）方法一：由题意可知 的斜率存在且不为0，设 的方程分别为 由
互相垂直可得 ①
联立 得 ②
联立 ，得
是 的中点 ③
由②③得 ，即 ④
同理联立 得 ⑤
由①④⑤得 ⑥
联立 ，得
取 中点 ，所以 ⑦由⑥⑦得 与 重合，即 是 中点.
方法二：由题意可知 的斜率存在且不为0，设 的方程分别为
由 互相垂直可得
设 的坐标分别为
联立 ，得 ，又
是 的中点
理可得的 中点
又 直线 恒过定点 ，
，同理
三点共线
所以 的中点 在 上，又 上的点 在 上
所以 与 重合，即 是 中点
方法三：由题意可知 的斜率存在且不为0，设 的方程分别为
由 互相垂直可得 ①
联立 得 ，所以 ②设 的坐标分别为 ，代入 得
两式相减得 ，变形为 ，即 ③
由②③得 ，即 ④
同理联立 得 ，所以 ⑤
由①④⑤得 ，所以 ⑥
取 中点 ，同理可证 ⑦
由⑥⑦得 .
结合 均在直线 上，所以 与 重合，即 是 中点.
注：其它解法参照以上评分细则.
19.（1）函数 不属于集合 .
理由如下：
由题意得 ，
由 得 ，结合 的任意性，得 ，显然 无解所以不
存在实数 ，对任意的 ，有 .
即函数 不属于集合 .
（2）若函数 ，求正数 的取值集合；
由题意得：又
由 得
结合 的任意性，得
所以 ，所以 ，又 ，即
所以正数 的取值集合为 .
（3）函数 得 ，即 ，
由题意可得：存在非零常数 ，使得
即方程 有解
令 ，即函数 有零点
对函数 求导得
（i）当 时， 在 单调增，又 ，当 时，
【右侧找点如下：取 ，则 】所以
有根记为 ，且 ①
所以 在 上单调减， 上单调增
考虑到当 时， ，当 时，
【找点如下：任意给定正实数
左侧找点如下：当 时， ；
右侧找点如下：当 时，（这里用到了 ）】
所以 时，即可保证函数 有零点，即 ②
由①平方-②平方得 ，由 得 ③
将③代入①有 ，化简得
由 得 ④
（ii）当 时，则 ，用 替换（i）中的 ，得
即 ⑤
由④⑤得 ，即
（iii）当 时， ，取 ，则
综上，
