文档内容
姓名___________ 座位号_________________________
（在此卷上答题无效）
数 学
本试卷共4页，19题。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在
答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写
在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸
和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知复数 ，则 的共轭复数 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合 ， ， ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 是直线， ， 是两个不同的平面，下列正确的命题是（ ）
A．若 ， ，则 B．若 ， ，则
C．若 ， ，则 D．若 ， ，则
4．已知数列 的前 项和为 ，等比数列 满足 ， ，若 ，则 （
）
A． B． C． D．
5．已知 的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
学科网（北京）股份有限公司6．已知函数 （ 且 ）有两个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 的内角 ， ， 对边分别为 ， ， ，满足 ，若
，则 面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 满足 ，当 时， ，则（ ）
A． 为奇函数 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9．已知函数 （ ， ）的部分图象如图，则（ ）
A． B．函数 的图象关于 轴对称
C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 有4个极值点
10．已知双曲线 ： （ ， ）左右焦点分别为 ， ， 。经过 的
学科网（北京）股份有限公司直线 与 的左右两支分别交于 ， ，且 为等边三角形，则（ ）
A．双曲线 的方程为
B． 的面积为
C．以 为直径的圆与以实轴为直径的圆相交
D．以 为直径的圆与以实轴为直径的圆相切
11．已知正方体 的棱长为1， ， 分别为棱 ， 上的动点，则（ ）
A．四面体 的体积为定值 B．四面体 的体积为定值
C．四面体 的体积最大值为 D．四面体 的体积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．一组样本10，16，20，12，35，14，30，24，40，43的第80百分位数是________．
13．已知抛物线 的焦点 ，直线 过 与抛物线交于 ， 两点，若 ，则直线 的方程
为________， 的面积为________（ 为坐标原点）．
14．已知函数 ，当 时 的最大值与最小值的和为________．
四、解答题：共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知函数 ．
（1）求函数 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间和极值．
16．（15分）
为发展体育运动增强学生体质，甲乙两班各选3名同学进行乒乓球单打比赛，3场比赛每人参加一场比赛，
学科网（北京）股份有限公司各场比赛互不影响，每场比赛胜者本班获得相应积分，负者班级积分为0。据统计可知甲班3名参赛学生
的情况如下表：
学生
获胜概率 0.4 0.6 0.8
获胜积分 6 5 4
（1）求甲班至少获胜2场的概率；
（2）记甲班获得积分为 ，求 的分布列与数学期望．
17．（15分）
将正方形 绕直线 逆时针旋转 ，使得 到 的位置，得到如图所示的几何体．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）点 为 上一点，若二面角 的余弦值为 ，求 ．
18．（17分）
已知点 在椭圆 ： 的外部，过点 作 的两条切线，切点分别为 ， ．
（1）①若点 坐标为 ，求证：直线 的方程为 ；
②若点 的坐标为 ，求证：直线 的方程为 ；
（2）若点 在圆 上，求 面积的最大值．
19．（17分）
在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），将点 变换
为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由 ， ， ，
学科网（北京）股份有限公司组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母 ， ，
…表示．
（1）在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），
求点 的坐标；
（2）如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原
点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（3）向量 （称为行向量形式），也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐
标公式①可以表示为： ，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一
个二阶矩阵， ， 是平面上的任意两个向量，求证： ．
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D C D A C A C C BD BD BCD
1．【解析】 ，故 ，故选D．
2．【解析】由已知 ，所以 ，又 ，所以 ，故选C．
3．【解析】选D．
4．【解析】由已知 ， 时， ， ， ， ，故
， ，故选A．
学科网（北京）股份有限公司5．【解析】由已知 ，故 ，故通项为 （ ，
1，…，8），故奇数项的系数为正数，偶数项的系数为负数，由 ，解得 ．所以选
C．
6．【解析】问题等价于函数 的图像与直线 ，有两个公共点，当 时，由图象得
，故 ；当 时，由图象得 ，不符合条件．所以选A．
7．【解析】由已知得 ，故 ，所以 ，由 ，得 ，
面积的最大值为 ，故选C．
8．【解析】令 ， ，则 ；令 ， ，则 ．令 ，得
，故 为偶函数．任取 ， ， ，则 ，
则 ，故 在 上为减函数．由已知
，可得 ，故 ，解得 ，且 ．若 ，
则 ，故选C．
9．【解析】由图可知 的周期为： ，又 ，所以 ；
学科网（北京）股份有限公司由 ， ，且 ，所以 ；
由 ，所以 ，故A错误；所以
因为 为偶函数，B正确；
，则 ，故 在 上单调递增，C错误；
因为 ， ， ， ，故D正确。所以选BD。
10．【解析】由已知得 ，由双曲线定义知： ，
，故 ， ，
在 中，由余弦定理得： ，
解得： ，所以 ，方程为 ，A错误。
的面积为 ，B正确。
取 的中点 ， ，两圆内切，故C错误。
取 的中点 ，则 ，两圆外切，故D正确。
11．【解析】因为 的面积为 ， 到平面 的距离不是定值，故A错误；
学科网（北京）股份有限公司因为 的面积为 ， 到平面 的距离为 ，体积为 ，故B正确；
因为 的最大值为 ， 到平面 的最大距离为 ，
故四面体 的体积最大值为 ，故C正确。
过点 作 ， ， ，
设 ， ，则 ， ，
， ， ，
，
故四面体 的体积为 ，其最大值为 ，故D正确．
12．【答案】37.5【解析】从小到大排序为：10，12，14，16，20，24，30，35，40，43；
，故第80百分位数是37.5．
13．【答案】 ， 【解析】由已知得 抛物线的方程为 ，所以 ，
直线 的方程为 ，与 联立整理得 ，
故 ， ，故 的面积为 ．
学科网（北京）股份有限公司14．【答案】 【解析】
，
当 时， ， 递增；当 时， ， 递减；
， ， ，
故最大值与最小值的和为： ．
15．【解析】（1）由已知 ，
所以 ，解得 ，故 ，
所求切线方程为： ，即
（2）由已知函数 ，定义域为
，
由 ，解得 或
随 的变化 和 的变化如下
2 3
＋ 0 － 0 ＋
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
函数 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
当 时， 取得极大值 ，
当 时， 取得极小值
16．【解析】（1）记 ， ， 参赛获胜事件分别记为 ， ， 表示，参赛失败分别记为 ， ，
学科网（北京）股份有限公司，
所以 ， ， ， ， ，
则甲班至少获胜2场事件记为 ，则
所以甲班至少获胜2场的概率为0.656
（2）由已知 取值为0，4，5，6，9，10，11，15，
， ，
， ，
， ，
， ，
所以
17．【解析】（1）由已知得平面 平面 ， ，所以 平面
因为 平面 ，故
因为 是正方形，所以
， 平面 ， ， 平面
又 平面 ，所以平面 平面 。
（2）又（1）知： ， ， 两两垂直，
以 ， ， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系如图。
设 ， ，
学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ，
故 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，
故 ，取 ，则 ，
所以
设平面 的法向量为 ， ，
故 ，取 ，则 ，
所以
所以 ，
由已知得
化简得： ，解得 或 （舍去）
故 ，即
18．【解析】（1）①当 斜率存在时， ，设 方程为：
与 ： 联立整理得： ，
由已知得：
化简得：
因为 ，则 ，
即 ，所以
学科网（北京）股份有限公司方程为： ，即 ，
故直线 的方程为
当 斜率不存在时， ，直线 的方程为 或 满足上式。
所以直线 的方程为
②由①知，设 点坐标为 ，则直线 的方程为
由点 的坐标为 ，则 ， ，
故直线 的方程为
（2）由（1）知直线 的方程为 ，由题意知 ，
与 ： 联立整理得：
因为 ，所以
因为 ， ，则 ，
所以
点 到直线 的距离为：
所以 面积
学科网（北京）股份有限公司当 时，令 ，所以 ，
故 在 单调递增，所以 的最大值为
由对称性可知 面积的最大值为
19．【解析】（1）可求得 ，设 ，则 ， ，
设点 ， ，
故
所以
（2）设 ， ，则 ， ， ，
故
所以坐标变换公式为
该变换所对应的二阶矩阵为
（3）设矩阵 ，向量 ， ，则 ．
，
对应变换公式为：
学科网（北京）股份有限公司，
所以
故对应变换公式同样为
所以
学科网（北京）股份有限公司
