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高 三 年 级 考 试
数学试题参考答案及评分标准
2023.11
一、单项选择题：
题 号
1 2 3 4 5 6 7 8
答 案
B A C D A B C D
二、多项选择题：
题 号
9 10 11 12
答 案
AC BCD ACD BCD
三、填空题：
13.2 3 14.-2 15.[-2 2,2 2 ] 16.100
四、解答题：
（ 分）
17. 10
解：（） f ' x x x a
2
1 ∵ ( )= - 3 + 4 ,
A x|x x a …………………………………………………… 分
2
∴ ={ - 3 + 4 <0 }. 1
B x| x A B x| x
∵ ={ 1≤ <6 }, ⋂ ={ 1≤ <5 },
为方程x x a 的根 …………………………………………… 分
2
∴5 - 3 + 4 = 0 . 3
a
∴4 = -10,
a 5 ……………………………………………………………………… 分
∴ = - . 5
2
（）由题知f ' x 在 上有解 …………………………………………… 分
2 ( )<0 (2, + ∞) , 7
f ' x x 2 x a的对称轴为x 3
∵ ( )= - 3 + 4 = <2,
2
f ' x 在 上单调递增
∴ ( ) (2, + ∞) ,
f ' …………………………………………………………………… 分
∴ (2)<0. 9
a 1 ……………………………………………………………………… 分
∴ < . 10
2
（ 分）
18. 12
解：（） f x x x π x π
1 ∵ ( )= 4cos (sin cos + cos sin )- 3
3 3
x x x
2
= 2cos sin + 2 3cos - 3
x x
= sin2 + 3cos2
x π …………………………………………………… 分
= 2sin(2 + ). 3
3
f x 即 x π 1
∴ ( )≥1 sin(2 + )≥ ,
3 2
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{#{QQABLYQAggAIAAIAAQhCAwVwCEEQkAGCCKoORBAMsAAAgANABCA=}#}π k x π 5 k k Z
∴ + 2 π≤2 + ≤ π + 2 π, ∈ ,
6 3 6
π k x π k k Z …………………………………………… 分
∴- + π≤ ≤ + π, ∈ . 5
12 4
不等式f x 的解集为 π k π k k Z ………………… 分
∴ ( )≥1 [- + π, + π]( ∈ ). 6
12 4
（）g x x π x
2 ( )= 2sin(2 + )+ 4cos - 1
2
x x
= 2cos2 + 4cos - 1
x x ………………………………………………… 分
2
= 4cos + 4cos - 3. 8
x π 5
∵ ∈[- , π],
6 6
x 3
∴cos ∈[- ,1],
2
设 x t则t 3 ………………………………………………… 分
cos = , ∈[- ,1]. 9
2
令y g x 则y t 2 t t 1 2
= ( ), = 4 + 4 - 3= 4( + ) - 4,
2
当t 1时y
∴ = - , min = -4.
2
当t 时，y ……………………………………………………… 分
= 1 max= 5. 11
g x 在 π 5π 上的最小值为 最大值为 …………………… 分
∴ ( ) [- , ] - 4, 5 12
6 6
（ 分）
19. 12
解：（） a S S
1 ∵ n +1 + 2 n n +1 = 0,
S S S S 又S
∴ n +1 - n + 2 n n +1 = 0, n ≠0
1 1 …………………………………………………………… 分
∴ S - S = 2. 2
n n
+1
数列 1 是公差为 ，首项为 1 的等差数列
∴ { S } 2 S = 1 .
n
1
1 n 即 S 1 …………………………………………… 分
∴ S = 2 - 1 n = n . 4
n 2 - 1
当n 时，a S S -2 …………………………… 分
≥2 n = n - n -1 = n n , 5
(2 - 1)(2 - 3)
a S
∵ 1 = 1 = 1
ì n
ï1, = 1
a í …………………………………………… 分
∴ n = ï -2 n . 6
î n n , ≥2
(2 - 1)(2 - 3)
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{#{QQABLYQAggAIAAIAAQhCAwVwCEEQkAGCCKoORBAMsAAAgANABCA=}#}1
S S
1
（）n 时 b 2 1
2 = 1 , 1 = a = 2
1
n ≥2 时 , b n= 2 S a 1 nS n = 2 n 1 - 1 2 2 n -1 =(3- 2 n )4 n -1 . …………………… 7 分
n -2
n n
(2 - 1)(2 - 3)
设 b 的前n项和为T 则
{ n} n,
T n n
n = 2 - 4 1 - 3×4 2 …+(3- 2 )4 -1 ,
T n n n n ……………………… 分
4 n = 2×4 1 - 4 2 …+(5 - 2 )×4 -1 +(3- 2 )·4 . 8
T n n n
∴-3 n = -2 - 2⋅(4 1 + 4 2 + …+ 4 -1 )-(3- 2 )·4
n
-1
4(1- 4 ) n n
= -2 - 2⋅ +(2 - 3)·4
1- 4
2 n 11 n ……………………………………………… 分
= +(2 - )·4 . 11
3 3
n n
T (6 - 11)·4 + 2 ………………………………………………… 分
∴ n = - . 12
9
（ 分）
20. 12
解：（） C A B A B
2 2 2
1 ∵sin = cos2 - cos2 = 1- 2sin -(1- 2sin )
B A
2 2
= 2sin - 2sin
c b a …………………………………………………………… 分
2 2 2
∴ = 2 - 2 . 2
c a
∵ = 3
b 2 5 a 2 b 10 a
∴ = , =
2 2
a 2 b 2 c 2 a 2 + 5 a 2 - 3 a 2
C + - 2 10 ………………………… 分
∴cos = ab = = 4
2 a 10 a 20
2× ×
2
（） a
2 ∵ = 2,
c
2
b
2
∴ = + 4,
2
在 ABC中 B c 2 + a 2 - b 2 c B 64 - c 2 ………………… 分
∴ △ ,cos = ac = ,sin = . 6
2 8 8
AD BD
∵ = ,
AB BD AD AB c
2 2 2
在 ABD中 B + -
∴ △ ,cos = BD AB = BD = BD,
2 · 2 2
c c
∴ = BD,
8 2
BD ………………………………………………………………………… 分
∴ = 4. 8
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{#{QQABLYQAggAIAAIAAQhCAwVwCEEQkAGCCKoORBAMsAAAgANABCA=}#}S S S 1 BD BA B 1 BC BA B c B
∴ △ ACD = △ ABD - △ ABC = · sin - · sin = sin
c c2 2
2 2
+ 64 -
c c
2
64 - 2 ……………………………………………… 分
= ≤ = 4. 11
8 8
当且仅当c c 即c 时取到等号，
2
= 64 - = 4 2
ACD的面积最大值为 ……………………………………………………… 分
∴△ 4. 12
分
21.(12 )
解：（）设第n年年底设备价值为a 万元，n N
1 n ∈ * ,
因为前 年每年年底的价值比年初减少 万元
5 m ,
所以当n 时，a 为等差数列，公差为 m，首项为 m
≤5 { n} - 1000 - ,
所以a m n m mn n …………………… 分
n = 1000 - +( - 1)(- )= 1000 - ( ≤5). 2
又因为从第 年开始每年年底的价值为年初的 ，
6 80%
所以当n 时，a 为等比数列，公比为 首项为 m，
≥6 { n} 0.8, 1000-5
所以a m n n ……………………………………… 分
n =(1000 - 5 )0.8 -5 ( ≥6). 4
因为a 即 m
2
7 = 608, (1000 - 5 )×0.8 = 608,
解得m ………………………………………………………………… 分
= 10. 5
ì nn
综上，a í1000 - 10 , ≤5 ……………………………………………… 分
n = î n -5 n . 6
950·0.8 , ≥6
（）设第n年养护费为b 万元，n N
2 n ∈ * ,
由题意，n 时b b
≤3 n = 0, 4 = 19,
当n 时，b 成等比数列，公比为
≥4 { n} 1+25%=1.25,
b n …………………………………………………………… 分
n = 19×1.25 -4 . 8
由（）知，n 时，a 递减，a b
1 ≤5 { n} 5 = 950> 5,
当n 时，令a b 即 n n
≥6 n ≥ n 950×0.8 -5 ≥19×1.25 -4 ,
整理得 5 2 n -9 ，即 n lg50 2 - lg2 ……… 分
50≥( ) 2 - 9≤log550 = = . 10
4 4 lg5 - lg4 1- 3lg2
解得n …………………………………………………………… 分
≤13.26. 11
公司应在第 年年底淘汰该批设备 ……………………………… 分
∴ 14 . 12
分
22.(12 )
证明：（）由题知 f
1 , (-1)= 0,
t
∴-ln( - 1)= 0,
t ……………………………………………………………………… 分
∴ = 2. 1
f x x x ，
∴ ( )= ln( + 2)
x
f ' x x
∴ ( )= ln( + 2)+ x ,
+ 2
x
设h x x 则
( )= ln( + 2)+ x ,
+ 2
h' x 1 2 ………………………………………………… 分
( )= x + x >0. 3
2
+ 2 ( + 2)
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{#{QQABLYQAggAIAAIAAQhCAwVwCEEQkAGCCKoORBAMsAAAgANABCA=}#}h x 单调递增
∴ ( ) ,
当x 1时 f ' x h x h 1 3 1 ……………………… 分
∴ >- , ( )= ( )> (- )= ln - >0. 4
2 2 2 3
x
（）g x x 2 x mx x 2
2 ( )= ln[( + 4 + 4)( + 1)]- 2ln( + 2)- x
+ 2
x
x 2 mx x 2 2
= ln[( + 2) ( + 1)]- ln( + 2) - x
+ 2
x
mx 2
= ln( + 1)- x ,
+ 2
m
g' x 4
∴ ( )= mx - x
2
+ 1 ( + 2)
mx m
2
+ 4 - 4 ………………………………………………… 分
= mx x . 6
2
( + 1)( + 2)
由题知g' x ，即mx 2 m 在 1 有两个不同实根x x
( )= 0 + 4 - 4= 0 (-m, + ∞) 1, 2,
ì
ï m 1 ì
ïï > 2 ï ï ï 1 < m <1
ï m ï 2
í 4 - 4 >0 即í x x
∴ï x x ï 1 + 2 = 0
ïï 1 + 2 =
m
0
ï
ï ï
x x 4
m
- 4
ï x x 4 - 4 î 1 2 = m
î 1 2 = m
x x
g x g x mx 2 1 mx 2 2
∴ ( 1)+ ( 2)= ln( 1 + 1)- x + ln( 2 + 1)- x
1 + 2 2 + 2
x x x x
m 2 x x m x x 4 1 2 + 4( 1 + 2)
= ln[ 1 2 + ( 1 + 2)+ 1]- x x x x
1 2 + 2( 1 + 2)+ 4
m
m 2 4( - 1) m 2 …… 分
= ln(2 - 1) - m = 2ln(2 - 1)+ m - 2. 9
2 - 1 2 - 1
1 m
∵ < <1
2
m
∴0<2 - 1<1
设p x x 2 x 则p' x 2 2
( )= 2ln + x - 2(0< ≤1), ( )= x - x ≤0
2
p x 单调递减
∴ ( )
当x 时 p x p
∴ ∈(0,1) , ( )> (1)= 0
m 2 即g x g x
∴2ln(2 - 1)+ m - 2 >0 ( 1)+ ( 2)>0
2 - 1
又 x x
∵ 1 < 2,
g x g x
k ( 1)+ ( 2) ………………………………………………………… 分
∴ = x x >0. 12
2 - 1
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{#{QQABLYQAggAIAAIAAQhCAwVwCEEQkAGCCKoORBAMsAAAgANABCA=}#}{#{QQABLYQAggAIAAIAAQhCAwVwCEEQkAGCCKoORBAMsAAAgANABCA=}#}
