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2023-2024 学年高二数学期末模拟卷
参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1 2 3 4 5 6 7 8 9
A C D B D C D B B
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分．
10． 11. 0.5 12. 0. 8 13. 1.6 4.275 14. 15.
三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16（14分）【解答】解：（Ⅰ） ，
若函数 在 时取得极值，
则 （2） ，解得： ，
时， ，
令 ，解得： 或 ，
令 ，解得： ，
在 递增，在 递减，在 递增；
是极小值点．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： ，
在 ， 递减，在 ， 递增，
在最小值是 （2） ， 的最大值是 ．
17（15分）【解答】解：（1）记小张能参与翻牌闯关环节的事件为 ，
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1
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（2）由题意得 的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，
，
，
，
，
，
，
故随机变量 的分布列为：
0 1 2 3 4 5
．
18（15分）【解答】解：（1）当 时， ，
则 （1） ， ，
所以 （1） ，
所以曲线 在点 ， （1） 处的切线方程为 ，
（2） 的定义域为 ，
由 ，得 ，
当 时， ，当 时， ，
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2
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 的递增区间为 ，递减区间为 ，
（3）由（2）可知当 取得最大值 （1） ，
因为对任意 ，不等式 恒成立，
所以 ，即 ， ，
解得 或 ，
即 的取值范围为 ．
19（15分）【解答】解：（1）易知 ，
所以我们没有 的把握认为“外国运动员对店装感兴趣与性别有关”；
（2）按分层抽样的方法抽取6名对唐装有兴趣的运动员，
其中男性运动员4名，女性运动员2名，
此时 的所有可能取值为1，2，3，
所以 ，
则 的分布列为：
1 2 3
故 ．
20（16分）【解答】（1）证明：令 ，
则 ．
当 时， ；当 时， ，
故 在 上单调递减； 在 上单调递增，
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3
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司所以 （1） ，即 ．
（2） 证明：由（1）知： ．
当 ， 时， ， ，故 ．
解： ，令 ，则 ．
因为函数 的定义域为 ，
故 的零点与 的零点相同，
所以下面研究函数 在 上的零点个数．
， ．
①当 时， 在 上恒成立，
在 上单调递增．
， ．
存在唯一的零点 ，使得 ．
当 时， ，
可得 在 上单调递减，在 ， 上单调递增．
的最小值为 ．
①令 ，则 ，
所以 （a）在 上单调递增，在 上单调递减，又 ．
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4
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司当 时， 有唯一零点 ；
②当 ，即 时，且 ．
（1） ， 在 上有唯一的零点 ．
又由 知： 在 上存在唯一零点，不妨设 ，
在 上有唯一的零点 ，
故此时 在 上有两个零点；
③当 ，即 时，且 ， （1） ， ．
又 ，由函数零点存在定理可得 在 ， 上有唯一零点，
故 在 ， 上各一个唯一零点．
综上可得：当 或 时，函数 有唯一零点；
当 且 时，函数 有两个零点．
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