文档内容
1999 年湖南高考文科数学真题及答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。第I卷1至2页。第II卷3至
8页。共150分。考试时间120分钟。
第I卷（选择题共60分）
注意事项：
l.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型（A或B）用铅笔
涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
干净后。再选涂其它答案，不能答在试题卷上。
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。
参考公式：
三角函数的积化和差公式
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2
正棱台、圆台的侧面积公式：
S =(c'+c)L/2 其中c'和c表示圆台的上下底面的周长，L表示斜高或母线长。
台侧
台体的体积公式：
其中s,s'分别表示上下底面积，h表示高。
一. 选择题：本大题共14小题；第(1)—(1O)题每小题4分，第(11)—(14)题每小题5分，
共60分。在每小题给出的四个选顶中，只有一顶是符合题目要求的。
（1）如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是
（A）（M∩P〕∩S （B）（M∩P）∪S
（C〕（M∩P）∩ （D〕（M∩P）∪
（2）已知映射f：A→B，其中，集合A＝{-3，-2，-1，1，2，3，4}，集合B中的元素都
是A中元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中
元素的个数是
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
（3）若函数y＝f（x）的反函数是y=g（x），f（a）=b，ab≠0，则g（b）等于
（A）a （B）a-1 （C）b （D）b-1
第1页 | 共11页（4）函数f（x）＝Msin（ωx+ρ）（ω>0）在区间[a，b]上是增函数，且f（a）=-M，f
（b）=M，则函数g（x）=Mcos（ωx+ρ）在[a，b]上
（A）是增函数 （B）是减函数
（C）可以取得最大值M （D）可以取得最小值-M
（5）若f（x）sinx 是周期为∏的奇函数，则f（x）可以是
（A）sinx （B）cosx （C）sin2x （D）cos2x
（6）曲线x2+y2+2 x-2 y=0关于
（A）直线x=轴对称 （B）直线y=-x轴对称
（C）点（-2， ）中心对称 （D）点（- ，0）中心对称
（7）若干毫升水倒人底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高为6cm，若将这些水
倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是
（A）6 cm （B）6cm （C）2 cm （D）3 cm
（8）若（2x＋ ）3＝a+ax+ax2+ax3，则（a+a）2-（a+a）2的值为
0 1 2 3 0 2 1 3
（A）-1 （B）l （C） 0 （D） 2
（9）直线 x＋y-2 =O截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为
（A） （B） （C） （D）
（10）如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，
EF∥AB，EF=3/2，EF与面AC的距离为2，则该多面体的体积为
（A）9/2 （B）5 （C）6 （D）15/2
（11）若sina＞tga＞ctga(- ＜a＜ )，则a∈
（A）（- ，- ） （B）（- ，0） （C）（0， ） （D）（ ， ）
（12）如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R，中截面把圆台分为上、下两个圆台，
它们的侧面积的比为1：2，那么R=
（A）10 （B）15 （C）20 （D）25
（13）给出下列曲线： ①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3 ③x2/2+y2=1 ④x2/2-y2=1
其中与直线r＝-2x-3有交点的所有曲线是
（A）①③ （B）②④ （C） ①②③ （D）②③④
（14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和
盒装磁盘根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒则不同的选购方式共有
（A）5种 （B）6种 （C）7种 （D）8种
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
第2页 | 共11页二．填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分，把答案填在题中横线
(15)设椭圆 (a>b>0)的右焦点为F ，右准线为l 若过F 且垂直于x轴的弦
1 1 1
的长等于点F 到l 的距离，则椭圆的离心率是_______________
1 1 王新奎新疆屯敞
(16)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一
垄，为有利于作物生长．要求 A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有
______种(用数字作答)
王新奎新疆屯敞
(17)若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是____________
王新奎新疆屯敞
(18) α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四
个论断：
①m⊥n ②α⊥β ③n⊥β ④m⊥α
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确一个命题：
_________________________
王新奎新疆屯敞
三．解答题：本大题共6小题；共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
(19)(本小题满分10分)
解方程 －31gx+4=0
(20)(本小题满分12分)
数列{a}的前n项和记为S，已知a=5S－3(n∈N)求 (a+a+…+a )的值．
n n n n 1 3 2n－1
(21)(本小题满分12分)
设复数z=3cosθ+isinθ．求函数y=tg(θ－argz)(0<θ< )的最大值以及对应的θ
值
(22)(本小题满分12分)
如图，已知正四棱柱ABCD－ABCD ，点E在棱DD上，截面EAC∥DB，且面EAC与底
1 1 1 1 1 1
面ABCD所成的角为45º，AB=a．
(Ⅰ)求截面EAC的面积；
(Ⅱ)求异面直线AB 与AC之间的距离；
1 1
(Ⅲ)求三棱锥B－EAC的体积．
1
第3页 | 共11页D
1 C 1
A
1 B 1
E
D
C
A B
(23)(本小题满分14分)
下图为一台冷轧机的示意图．冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对
轧辊逐步减薄后输出．
(Ⅰ)输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r ，问
0
冷轧机至少需要安装多少对轧辊？
输入该对的带钢厚度－从该对输出的带钢厚度
(一对轧辊减薄率= 输 入 该 对 的 带 钢 厚 度 )
(Ⅱ)已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第
k对轧辊有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间
距为L ，为了便于检修，请计算L 、L 、L 并填入下表(轧钢过程中，带钢宽度不变，且不
k 1 2 3
考虑损耗)．
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距L(单位：mm) 1600
k
(24)(本小题满分14分)
如图，给出定点A(a，0) (a>0，a≠1)和直线l：x=－1，B是直线l上的动点，∠BOA
的角平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系．
第4页 | 共11页参考答案
说明：
一．本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分
细则．
二．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题
的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分
数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
四．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．第(1)—(10)题每小题4分，第(11)—(14)题
每小题5分．满分60分．
(1)C (2) A (3) A (4) C (5) B (6) B (7) B (8) A (9) C (10) D (11)
B
(12) D (13) D (14) C
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分，满分16分．
(15) (16) 12 (17)
(18) m⊥α，n⊥β，α⊥β m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β α⊥β
三．解答题
(19) 本小题主要考查对数方程、无理方程的解法和运算能力．满分10分．
解：设 ，原方程化为
y－y2+2=0 ——4分
解得 y=－1，y=2． ——6分
因为 ，所以将y=－1舍去．
由 =2，
得lgx=2，
所以x=100． ——9分
经检验，x=100为原方程的解． ——10分
第5页 | 共11页(20) 本小题主要考查等比数列和数列极限等基础知识．满分12分．
解：由 S=a+a+…+a 知
n 1 2 n
a=S－S (n≥2)，
n n n－1
a=S， ——2分
1 1
由已知a=5S—3得
n n
a =5S —3． ——4分
n－1 n－1
于是 a－a
n n－1
=5(S－S )
n n－1
=5a，
n
所以 a=－ a ． ——6分
n n－1
由 a=5S—3，
1 1
得 a= ．
1
所以，数列{a}是首项a= ，公比q=－ 的等比数列． ——8分
n 1
由此知数列 a，a，a，…，a ，…
1 3 5 2n－1
是首项为a= ，公比为 的等比数列．
1
∴ ( a+a+a+…+a )= ． ——12分
1 3 5 2n－1
(21) 本小题主要考查复数的基本概念、三角公式和不等式等基础知识，考查综合运用
所学数学知识解决问题的能力．满分12分．
解：由 得 ．
由z=3cosθ+isinθ得tg(argz)= ． ——3
分
故 y=tg(θ－argz)
——6分
第6页 | 共11页∵ ，
∴ ． ——9分
当且仅当 =tgθ( )时，即tgθ= 时，上式取等号．
所以当θ= 时，函数y取得最大值 ． ——12分
(22) 本小题主要考查空间线面关系、二面角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象
能力及运算能力．满分12分．
(Ⅰ) 解：如图，连结DB交AC于O，连结EO．
∵ 底面ABCD是正方形，
∴ DO⊥AC．
又 ∵ ED⊥底面AC，
∴ EO⊥AC．
∴ ∠EOD是面EAC与底面AC所成二面角的平面角，
——2分
∴ ∠EOD=45º．
DO= a，AC= a，EO= a·sec45º=a．
故 S = a 2． ——4分
△EAC
(Ⅱ) 解：由题设ABCD－ABCD 是正四棱柱，得AA⊥底面AC，AA⊥AC．
1 1 1 1 1 1
又 AA⊥AB，
1 1 1
∴ AA是异面直线AB 与AC间的公垂线． ——6分
1 1 1
∵ DB∥面EAC，且面DBD与面EAC交线为EO，
1 1
∴ DB∥EO．
1
又O是DB的中点，
∴ E是DD的中点，DB=2EO=2a．
1 1
∴ DD= = a．
1
第7页 | 共11页异面直线AB 与AC间的距离为 a． ——8分
1 1
(Ⅲ) 解法一：如图，连结DB．
1 1
∵ DD=DB= a，
1
∴ BDDB 是正方形．
1 1
连结BD交DB于P，交EO于Q．
1 1
∵ BD⊥DB，EO∥DB，
1 1 1
∴ BD⊥EO．
1
又 AC⊥EO，AC⊥ED．
∴ AC⊥面BDDB，
1 1
∴ BD⊥AC，
1
∴ BD⊥面EAC．
1
∴ BQ是三棱锥B－EAC的高． ——10分
1 1
由DQ=PQ，得BQ= BD= a．
1 1
∴
所以三棱锥B－EAC的体积是 ． ——12分
1
解法二：连结BO，则 =2 ． ——10
1
分
∵ AO⊥面BDDB，
1 1
∴ AO是三棱锥A－EOB 的高，AO= a．
1
在正方形BDDB 中，E、O分别是DD、DB的中点(如右
1 1 1
图)，则
．
∴ ．
所以三棱锥B－EAC的体积是 ． ——12分
1
(23) 本小题主要考查等比数列、对数计算等基本知识，考查综合运用数学知识和方法
解决实际问题的能力．满分14分．
第8页 | 共11页(Ⅰ) 解：厚度为α的带钢经过减薄率均为r 的n对轧辊后厚度为α(1－r)n．
0 0
为使输出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数(以对为单位)应满足
α(1－r)n≤β，
0
即 (1－r)n≤ ． ——4分
0
由于(1－r)n>0， >0，对上式两端取对数，得
0
nlg(1－r)≤lg ．
0
由于lg(1－r)<0，所以
0
n≥ ．
因此，至少需要安装不小于 的整数对轧辊． ——7分
(Ⅱ)解法一：第k对轧辊出口外疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢
的体积为
1600·α(1－r)k·宽度 (其中r=20%)，
而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为
L·α(1－r)4·宽度．
k
因宽度相等，且无损耗，由体积相等得
1600·α(1－r)k=L·α(1－r)4 (r=20%)，
k
即 L=1600·0.8k－4． ——10
k
分
由此得L=2000(mm)，
3
L=2500(mm)，
2
L=3125(mm)．
1
填表如下
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距L(mm) 3125 2500 2000 1600
k
解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷
轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有
1600=L·(1－0.2)，
3
第9页 | 共11页所以 L= =2000(mm)． ——10分
3
同理 L= =2500(mm)．
2
L= =3125(mm)．
1
填表如下
轧辊序号k 1 2 3 4
疵点间距L(mm) 3125 2500 2000 1600
k
——14分
(24) 本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求动点轨迹的基
本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．满分14分．
解法一：依题意，记B(－1，b) (b∈R)，则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=－
bx．设点C(x，y)，则有0≤x1时，方程③表示双曲线一支的弧段． ——14
分
解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足．
(ⅰ)当|BD|≠0时，设点C(x，y)，则0
