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2025-2026学年高一上学期两校12月联考二
数学试题
一、单选题
1．命题“ ，有 ”的否定是（ ）
A． ，有 B． ，有
C． ，有 D． ，有
2．函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．一元二次方程 有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 的图象如下，则 的解析式可能为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 ，且 ，则 的值为（ ）A．0 B．1 C． D．0或1
7．已知某校高一年级女生人数多于男生人数，在分科后选报物理方向的学生人数多于历史方向的学生人
数，则（ ）
A．物理方向的男生多于物理方向的女生
B．历史方向的女生多于历史方向的男生
C．物理方向的女生多于历史方向的男生
D．物理方向的男生多于历史方向的女生
8．已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．若 终边上一点的坐标为 ，则
B．若角 为锐角，则 为钝角
C．若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为
D．若 ，且 ，则
10．若 ， ，且 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 的最小值是
B． 的最大值是
C． 的最小值是
D． 的最小值是11．已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，当 时， ，则下列说
法正确的是（ ）
A．若函数 有四个零点 ， ， ， ，则 的取值范围为
B．若函数 有四个零点 ， ， ， ，则 的取值范围为
C．函数 的零点个数为5个
D．函数 的零点个数为6个
三、填空题
12．若函数 （ ，且 ）的图象恒过定点 ，则 .
13．幂函数 为偶函数，且在 上是减函数，则 ．
14．已知 ，函数 ，满足 ，则 ，若存在 ，
使得 ，则 的取值范围是 .
四、解答题
15．化简求值：
(1) ；
(2) .
16．已知集合 ，
(1)求集合 ；
(2)当 时，求 ；(3)若集合 ，求实数 的取值范围.
17．已知函数 ，若函数 在区间 上的最大值与最小值之和为 .
(1)求函数 解析式，并求出关于 的不等式 的解集；
(2)求函数 ， 的值域，并求出取得最值时对应的 的值.
18．设函数 是定义在区间 上的函数，若对区间中的任意两个实数 ，都有
，则称 为区间上的下凸函数（即凹函数）.
(1)已知 为下凸函数，若 ，求 最大值.
(2)求证：函数 在 是下凸函数（即凹函数）．
(3)在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，请试着用凹函数的这种性质证明下面的不等式：
．
19．已知函数 在某个区间上的单调性遵循“同增异减”的规律，具体如下：
内层函数 递增 递增 递减 递减
外层函数 递增 递减 递增 递减
复合函数 递增 递减 递减 递增
设函数 （ ，且 ）．
(1)若 ，求 的值；
(2)若对于任意实数x， 恒成立，求实数m的取值范围；
(3)证明： ． 若函数 满足 ， ，函数 一定是偶函数吗？请说明理由．1．C
根据全称命题的否定是特称命题分析判断.
【详解】由题意可得：命题“ ，有 ”的否定是“ ，有 ”.
故选：C.
2．C
根据对数有意义、根式有意义列不等式求解即可．
【详解】因为函数 ，
所以 ，解之可得 ，
函数 的定义域为 ．
故选：C．
3．C
求出方程有一个正实根和一个负实根的充要条件，结合选项，判断哪一个是该条件的真子集，即可得答案.
【详解】由题意知一元二次方程 的两根为 ，
要使得方程有一个正实根和一个负实根，需 ，
结合选项知，只有 ，
即一元二次方程 有一个正实根和一个负实根的充分不必要条件是 ，
故选：C
4．D
根据条件，利用“齐次式”，即可求解.
【详解】因为 ，则 ，
故选：D.
5．D
先由函数奇偶性排除AB，再由 时函数值正负情况可得解.【详解】由图可知函数为偶函数，而函数 和函数 为奇函数，故排除选项AB；
又当 时 ，此时 ，
由图可知当 时， ，故C不符合，D符合.
故选：D
6．B
根据分段函数解析式求出 的值，再代入计算可得.
【详解】因为 且 ，
所以 或 ，
解得 或 ，
当 时， ；
当 时， ；
综上可得 的值为 .
故选：B
7．C
根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为 ，男生数为 ，选报历史方向的女生数为 ，男生数
为 ，根据题意可得 ，计算可得结论.
【详解】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为 ，男生数为 ，选报历史方向的女生数为 ，
男生数为 ，根据题意可得 ，所以 ，
即 ，故物理方向的女生多于历史方向的男生.
故选：C.
8．D
由函数的单调性结合 ，去 求解即可.
【详解】 ，定义域为R，
令 ，则 ，
则 ，
即 关于 中心对称，
当 时，由解析式可知 单调递增，
对称性得：当 时， 单调递增，
所以 在 上是增函数，
又 在 上是增函数，
所以 在 上是增函数，
，
所以
则 ，
即 ，
由单调性可得： ，解得： ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：D
9．ACD
由终边上的点坐标及余弦函数的定义判断A；特殊角 判断B；应用扇形的弧长、面积公式判断C；
利用同角三角函数关系求已知角的正余弦值，进而求正切值判断D.
【详解】A，由 终边上的点 ，知 ，对；
B，由锐角 ，则 也是锐角，错；
C，设扇形半径为 ，根据弧长公式有弧长 ，则 ，
所以扇形面积为 ，对；
D，由题设 ，则 ，
又 ，则 ，结合 ，可得 ，
所以 ，对.
故选：ACD
10．ACD
利用基本不等式求最值，逐项判断即可.
【详解】对A：因为 ，即 （当且仅当 即 时取
“ ”），故A项正确；
对B：因为 （当且仅当 即 时取“ ”），
故B项错误；对C：因为 ，
所以 （当且仅当 即 时取“ ”），故C项正确；
对D：由 ，
所以 ，由B知： 成立，故D项正确.
故选：ACD
11．BC
由题意得到函数对称轴，作出函数大致图象.结合函数图象和对数的运算知函数 的零点 与 的关系，
且得到 的取值范围，即可判断A选项；由 与 的关系化简 ，利用 的范围及函数的单调性求
得 取值范围，判断B选项；由函数 的零点，得到 时 的值，然后分别由函
数图像知道对应零点个数，即可判断C选项；令 ，求得 的值，分别求解方程，即可
求得函数 的零点个数，判断D选项.
【详解】∵函数 为偶函数，即
则函数 关于 对称，
当 时， ， ，
∴函数 的大致图像如下图，令 ，则 ， ， ， 为方程的解,所以
∴ ，即 ，∴ ，∴ ，
由图可知， ，∴ ，A选项错误；
∵ ，∴ ，且 ∴ ，
令 ，由双勾函数的性质可知，函数 在 上单调递减，∴ ，B选项
正确；
∵ 有两个零点 或 ，∴ 时， 或 ，
当 时，由函数图象可知，函数有3个零点，
当 时，由函数图象可知，函数有2个零点，∴函数 存在5个零点，C选项正确；
令 ，即 ，则 或 或
，即 ； ，即 ； ，无解；
，即 ； ，无解； ，即 ；
故函数 有4个零点，D选项错误.
故选：BC
12．
由条件，结合对数函数性质列方程求 ，由此可得 .
【详解】因为函数 的图象恒过定点 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
13．3
【解析】由幂函数 为偶函数，且在（0，+∞）上是单调递减函数，可得m2-
2m-3＜0，且m2-2m-3为偶数，m∈Z，且 ．解出即可．
【详解】∵幂函数 为偶函数，且在 上是减函数，
∴ ，且 为偶数， ，且 .
解得 ， ，1，2，且 ,
只有 时满足 为偶数.
∴ .
故答案为：3.
14．
【详解】 ，得 ，
所以 ，
若 ， ，得 ，
此时 ，
若 ， ，此时 ，不成立，
若 ， ，得 ，
此时 ，
设 ， ， 在区间 上单调递增， ，所以 的范围是
综上可知， 的取值范围是 .
故答案为：
15．(1)
(2)
（1）利用诱导公式化简求得正确答案.
（2）根据对数运算求得正确答案.【详解】（1）
.
（2）
.
16．(1)
(2)
(3) .
（1）通过确定函数 的值域求出集合 ；
（2）分别求出集合 ，进而求出 即可
（3）先将 转化为 ，再求出实数 的取值范围即可.
【详解】（1）因为 ，所以 ，即 ，
故 ；
（2）当 时， ，
故 ；
（3）因为 ，所以 ，又因为 ，故 ，
所以 ，
综上，实数 的取值范围是 .
17．(1) ， 或 ；
(2) ，取最小值时 ，取最大值时 .
（1）根据给定条件，利用对数函数单调性求出最值列式求出 ，再利用单调性解不等式.
（2）由（1）的结论求出 并换元，转化为二次函数求解.
【详解】（1）函数 定义域为 ，且 在 上单调，
由函数 在区间 上的最大值与最小值之和为 ，
得 ，即 ，解得 ，
于是 ；
，
解 ，得 或 ；
解 ，即 ，得 或 ，
因此 或 ，
所以不等式 的解集 或 .
（2）由（1）知， ，
令 ，由 ，得 ， ，
当 时， ，此时 ；当 时， ，此时 ，
所以函数 的值域为 ，取最小值时 ，取最大值时 .18．(1)4
(2)证明见解析
(3)证明见解析
（1）由凹函数的定义结合指数的运算求解即可；
（2）由凹函数的定义证明即可；
（3）由凹函数的定义结合基本不等式证明即可.
【详解】（1）由 为下凸函数，得
因此 ，当且仅当 时等号成立，则
即 ，所以 的最大值是4．
（2）
，
， ，
，
是 上的凹函数.
（3）因为幂函数 在 内是凹函数．
所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立．又因为幂函数 在 内是增函数，所以 ．当且仅当 时，等号成立．
同理可证： ，当且仅当 时，等号成立．
，当且仅当 时，等号成立．
三式相加得： ，
又 ，
所以 当且仅当 时，等号成立．
不等式得证．
19．(1)47
(2)
(3)答案见解析
【详解】（1） ，∴ ，即 ．
两边平方得 ， ．
（2）∵ 且定义域为R，
∴ 是定义在R上的偶函数，
∴由 ，得 ．
设 ， ，则 ．
当 时， 在 上单调递增，∴ ．
又 在 上单调递增，∴ 在 上单调递增．
当 时， 在 上单调递减， ．
又 在 上单调递减，∴ 在 上单调递增．综上， 在 上单调递增，∴ 对 恒成立，
即不等式 恒成立，
整理得 对 恒成立，
∴结合一元二次方程根的判别式，得 且 ，
解得 ，即m的取值范围为 ．
（3）证明：∵ ，
，
∴ ．
令 ，则 ，∴ 或 ．
当 时，令 ，则 ，即 ，
此时函数 是偶函数．
当 时，令 ，则 ，即 ，
此时函数 既是奇函数又是偶函数．
