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2025年12月高一数学月考试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1．已知全集 ，集合 ， ，则 为（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既
不充分也不必要条件
3．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．7
4．二次函数 是区间 上的偶函数，若函数 ，则 ，
， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数 的图象大致为（ ）
A． B． C．D．
6．设函数 ， 在 上是增函数，则实数a的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
7．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ，空气的温度是 ，那么
后物体的温度 (单位：℃)可由公式 求得，其中 为正常数.现有
75℃的物体，放在25℃的空气中冷却，2min以后物体的温度降为50°C．若将68°C的物体
放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为32°C所需要的冷却时间为（ ）
A．2min B．3min C．4min D．6min
8．已知函数 的定义域为R， 是偶函数， 是奇函数，且 ，则
（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
二、多选题（每题5分，共15分）
9．已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
10．下面关于 叙述中正确的是（ ）
试卷第2页，共3页A．关于点 对称 B．关于直线 对称
C．在区间 上单调递增 D．函数 是奇函数
11．已知函数 ，其中 ，若存在实数 ，使得关于
的方程 恰有三个互异的实数解，则实数 的取值可以为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（共15分）
12．若当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是 .
13．若函数 （ 且 ）的图象不经过第三象限，则a的取值
范围为 ．
14．对于函数 ，若存在 ，使 ，则称点 与点
是函数 的一对 “隐对称点”.若函数 的图象存在
“隐对称点”，则实数 的取值范围是四、解答题（共80分）
15．（本题16分）（1）计算：
（2）已知 ，求 的值.
16．（本题16分）已知集合 ， ．
(1)当 时，求 ；
(2)若 且 ，求 的最小值．
17．（本题16分）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件
电子芯片的计划售价为16万元，已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两
个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产x万件电子芯片需要投入的流动成本为
（单位：万元），当年产量小于20万件时， ；当年产量大于或等于20万
件时， ．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完．
(1)写出年利润 （万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润 年销售
收入 固定成本 流动成本）
(2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？
18．（本题16分）已知 是定义域为R的奇函数．
(1)求实数a的值；
(2)用定义证明 在R上是增函数；
(3)解关于x的不等式 ．
19．（本题16分）若函数 为幂函数，则称 与 互为“和幂函数”；
试卷第4页，共3页若函数 为幂函数，则称 与 互为“积幂函数”．
(1)试问函数 与 是否互为“和幂函
数”？请说明你的理由．
(2)已知函数 与 互为“积幂函数”．
①证明：函数 存在负零点，且负零点唯一．
②已知函数 在 上单调递增，在 上单调递减，且
，若函数 在 上有两个零点，求 的取值范围（结果用含
字母 的区间表示）．参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C B B A C C BCD ACD
题号 11
答案 AB
12．
13．
14．
15．（1）1（2）4
16．(1)
(2)5
17．(1)
(2)9万件
18．(1) ；
（2）由（1）知， ，
任取 ，且 ，
则 ，
因为 ，所以 ， ， ，
故 ，即 ，
所以 在 上是增函数；
（3）由 ，则 ，
由（2）知， 在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 ，
当 时， ，不等式可化为 ，解得 ；
当 时，当 时， ，解得 ；
当 时，不等式为 ，无解；
当 时， ，解得 ；.
综上所述，当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 ；
当 时，不等式的解集为 .
19．(1)是
(2)①① ，
由函数 与 互为“积幂函数”，
则 ，即 ，故 ，
则 与 ，
则 ，
令 ，即 ，令 ，
由函数 在 上单调递增， 在 上单调递减，
答案第2页，共2页故 在定义域内单调递增，
又 ， ，
故 在 上存在唯一零点，
即函数 存在负零点，且负零点唯一；
； ②
