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第十三届“走进美妙的数学花园”上海决赛小学四年级----王洪福老师
第十三届“走进美妙的数学花园”青少年展示交流活动
趣味数学解题技能展示大赛初赛（上海决赛）
小学四年级试卷（B 卷）
2015年3月8日 上午8:15——9:45
满分150分
一、填空题（每小题8分，共40分）
【第1题】计算：5×13×31×73×137=
考点：整数计算、分解质因数、重码数
解析：
( ) ( )
5×13×31×73×137= 5×13×31 × 73×137
=2015×10001
=20152015
【第2题】用1个1，2个2，2个3组成一些四位数，则能够组成的不同的四位数一共有 个。
考点：排列
解析：首先从5个数中选出4个数有三种情况
A4
①：1、2、2、3 可以组成 4 =12个不同的四位数
A2
2
A4
②：1、2、3、3 可以组成 4 =12个不同的四位数
A2
2
A4
③：2、2、3、3 可以组成 4 =6个不同的四位数
A2×A2
2 2
一共能够组成12+12+6=30个不同的四位数
【第3 题】 整除2015的数称为2015的因数，1和2015显然整除2015，称为2015的平凡因数，除了平凡
因数，2015还有一些非平凡因数，那么，2015的所有非平凡因数之和为 。
考点：约数的和
解析：
（解法一）2015=5×13×31
( ) ( ) ( )
2015所有的约数和为 50 +51 × 130 +131 × 310 +311 =6×14×32=2688
2015的所有非平凡因数之和为2688−1−2015=672
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（解法二）由于该数比较小，可以直接写出2015的所有约数
2015=1×2015=5×403=13×155=31×65
2015的所有非平凡因数之和为5+403+13+155+31+65=672
【第4题】 一个自然数能够表示成5个连续的自然数之和，也可以表示成7个连续的自然数之和，那么，
将符合以上条件的自然数从小到大排列，前3个数分别为 。
考点：等差数列中项定理
解析：中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与
末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数。
由中项定理可知，
能同时表示成5个连续自然数的和,该数能被5整除
能同时表示成7个连续自然数的和,该数能被7整除
所以所求数为5×7=35的公倍数.
从小到大排列，前3个数分别为35、70、105
【第5题】“24点游戏”是很多人熟悉的数学游戏，游戏过程如下：任意从52张扑克牌（不包括大小王）中
抽取4张，用这4张扑克牌上的数字（A=1，J =11，Q=12，K =13）通过加减乘除四则运算得出24，
最先找到算法者获胜。游戏规定4张扑克牌都要用到，而且每张牌只能用1次，比如2，3，4，Q则可以由
( ) ( )
算法 2×Q × 4−3 得到24。
如果在一次游戏中恰好抽到了5，5，5，1，则你的算法是 。
考点：24点
( )
解析： 5−1÷5 ×5=24
二、填空题（每小题10分，共50分）
【第6题】如图所示，已知最大的圆的直径是100cm，则最小的圆的直径是 cm。
考点：巧求面积
解析：已知最大的圆的直径是100cm，而最大的圆的直径刚好是大正方形的对角线
( )
所以大正方形的面积为100×100÷2=5000 cm2
图中的小正方形旋转为右图：由此可见，小正方形的面积为大正方形面积的一半。
( )
所以小正方形的面积为5000÷2=2500 cm2 ，所以小正方形的为50cm
而最小的圆的直径刚好等于小正方形的边长，即最小的圆的直径是50cm
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【第7题】给定一个正六边形，用不相邻的顶点所连的线段可以将这个正六边形分割为4个三角形，例如，
下图所示的是两种不同的分割方法，那么，不同的分割方法一共有 种。
考点：图形切拼割
解析：
每次绕中心旋转60°，一共可以得到6种不同的分割方法
每次绕中心旋转60°，一共可以得到6种不同的分割方法
每次绕中心旋转60°，一共可以得到2种不同的分割方法
综上所述，一共有6+6+2=14种不同的分割方法。
【第8题】将四边形的任意一边延长，四边形其余两个顶点总在同一侧的四边形称为凸四边形，下图中共
有 个凸四边形。
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考点：图形计数
解析：首选在图中标注10个基本图形。
由一个基本图形构成的凸四边形有：（1）、（2）、（3），共3个；
由两个基本图形构成的凸四边形有：（1，4）、（2，4）、（2，5）、（3，5）、（6，7）、（6，8），共6个；
由三个基本图形构成的凸四边形有：（6，7，9）、（6，8，10），共2个；
由四个基本图形构成的凸四边形有：（1，2，4，8）、（2，3，5，7）、（1，8，6，9）、（3，7，6，10），共4
个；
由五个或五个以上基本图形构成的凸四边形有：ABFD、AFCD、ADCE、ABGD、ABCD共5个；
综上所述，一共有3+6+2+4+5=20个凸四边形
【第9题】索玛立方体是丹麦物理学家皮特·海音（PietHein）发明的7个小立方体组块（如图所示），如果
假设这些小立方体的边长为1，则利用这7个组块不仅可以组成一个3×3的立方体，还可以组成很多美妙的
几何体。那么，要组成下面的几何体，需要用到2个索玛立方体的编号是________。
考点：组合立体图形
解析：首先先确定目标图形需要多少块单位立方体（棱长为1的小立方体）。如左图所示，共需要8块。
索玛立方体的1号包含3块单位立方体，2号至7号都是包含4块单位立方体；
而目标图形需要用到2个索玛立方体，只能是8=4+4，因此只需要从2号至7号里面选2个。
满足条件的为2号、5号或者2号、6号。
【第10题】如图所示的多面体叫做正二十面体，是 5个柏拉图立体（正多面体）中的一个，这个多面体由
20个面（正三角形）围城，现将这20个面着色，要求有共同棱的两个面染不同的颜色，则至少需要______
种颜色。
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考点：染色问题
解析：每个顶点连接5个面，这个顶点周围的5个面至少需要3种颜色才能满足有共同棱的两个面染不同的
颜色，所以将这20个面着色，要求有共同棱的两个面染不同的颜色，则至少需要3种颜色。
三、填空题（每小题12分，共60分）
【第11题】有一个自然数用7除余3，用9除余4，请按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数写
在这里 。
考点：余数问题
解析：
除以7余3的数有：3，10，17，24，31…；
除以9余4的数有：4，13，22，31…；
所以满足“除以7余3，除以9余4”的数的形式为 [ 7 ， 9 ] n+31=63n+31（n为自然数）
按照从小到大的顺序，将满足条件的前两个自然数为31，94
【第12题】给定三个自然数1，2，3，对这三个数进行一次操作，将其中一个数换成另两个数的和，这样进
行9次操作后，所得的三个自然数中，最大数的最大可能的值为 。
考点：杂题
解析：要求操作多次后，所得的三个自然数中，最大数的最大，我们只需要每次将三个数中最小的数换成另
两个数的和即可。
原始数据为：1，2，3
操作1次后：5，2，3
操作2次后：5，8，3
操作3次后：5，8，13
操作4次后：21，8，13
操作5次后：21，34，13
操作6次后：21，34，55
操作7次后：89，34，55
操作8次后：89，144，55
操作9次后：89，144，233
所以最大数的最大可能的值为233
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【第13题】能够被1到11的所有自然数整除的最小自然数为________。
考点：分解质因数
解析：1到11这11个数分解质因数后所包含的质数有2、3、5、7、11，因此这个自然数最少包含质因数2、
3、5、7、11。
1=11，2=21，3=31，4=22，5=51，6=2×3，7=71，8=23，9=32，10=2×5，11=111
所以这个自然数最小为23×32×51×71×111 =27720
【第14题】如果一个长方形能够被分割成若干个边长不等的小正方形，则这个长方形称为完美长方形。已知
下面的 长方形是一个完美长方形，分割方法如图所示，其中小正方形中心的数字代表其边长，则图中没有标
示边长的小正方形的边长按照从小到大的顺序分别为 。
考点：巧求周长
解析：用图中的字母代表该正方形的边长（最小的正方形为A）。
C =16−9=7
D=16+9=25
A=9−7=2
B=7−2=5
E =5+7+16=28
F =28+5=33
从小到大的顺序分别为2、5、7、25、28、33
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【第15题】将自然数1到16排成4×4的方阵，每行每列以及对角线上数的和相等，这样的方阵称为4阶幻
方，下面的幻方是在印度神庙中发现的，请将其补充完整：
12 1
2 13
16
考点：幻方
解析：
x 12 1 A
2 13
16
B
先求幻和： ( 1+2+3+(cid:34)+16 ) ÷4=34
设左上角空格的数字为x，则A=34−1−12−x=21−x，B =34−2−16−x=16−x
A=21−x≤15，所以x≥6
满足条件的x的取值为6，7，10，11
6 12 1 15 7 12 1 14 10 12 1 11 11 12 1 10
2 13 2 13 2 13 2 13
16 16 16 16
10 9 6 5
之后再分析第二列：第二列剩下的两个空的和为34−12−13=9
9=1+8=2+7=3+6=4+5
填完第二列之后再填第二行，第二行的两个空的和为34−2−13=19
19=16+3=15+4=14+5=13+6=12+7=11+8=10+9
如下图所示（标红的两个数字是可以交换的；标蓝的两个数字是可以交换的）
6 12 1 15 10 12 1 11 11 12 1 10
2 13 11 8 2 13 无 无 2 13 15 4
16 4 16 4 16 3
10 5 6 5 5 6
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再往下填发现无解；
此时还有左上角是7的这种情况。
7 12 1 14 7 12 1 14 7 12 1 14
2 13 15 4 2 13 8 11 2 13 11 8
16 3 16 3 16 4
最后发现只有一种情况成立：
9 6 9 6 9 5
经试验，最后只有一种情况成立。
7 12 1 14
2 13 8 11
16 3 10 5
9 6 15 4
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小学四年级（B卷）
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