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哈师大附中 2024 级高一入学考试
数学试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分
一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1. 估计 的值应在（ ）
A. 3和4之间 B. 4和5之间
C. 5和6之间 D. 6和7之间
【答案】C
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念估算 的范围即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，
的
即估计 值应在5和6之间.
故选：C
2. 如图，若数轴上点 表示的数为无理数，则该无理数可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的概念判断A，再根据 、 和 的估计值结合数轴判断BCD.
【详解】 是有理数， ， ， ，
由数轴可知，点 表示的数为无理数，且 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以该无理数可能是 .
故选：D
3. 把黑色围棋子按如图所示的规律摆放.其中第①个图案有1颗棋子，第②个图案有4颗棋子，第③个图案
有7颗棋子，第④个图案有10颗棋子，...，按此规律排列下去，第 个图案有25颗棋子，则 的值为（
）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】观察图形的规律，发现后图比前图多3个棋子，列式求解即可.
【详解】第①个图案有 颗棋子，第②个图案有 颗棋子，
第③个图案有 颗棋子，第④个图案有10颗棋子，
按此规律第 个图案有 颗棋子，
.
令 得
故选：C
4. 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体
的表面积（含孔内各面）是（ ）
A. 258 B. 234 C. 222 D. 210
【答案】B
【解析】
【分析】先明确题目的含义：正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，计算即可
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学科网（北京）股份有限公司【详解】正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，
正方体共有6个直通小孔，有6个交汇处，
表面积等于正方体的表面积减去12个表面上的小正方形面积，
加上6个棱柱的侧面积，减去6个通道的24个小正方形的面积．
则
故选：B．
5. 若 是三角形的三边长，则代数式 的值（ ）
A. 小于0 B. 大于0 C. 等于0 D. 以上三种情况均有可能
【答案】A
【解析】
【分析】先利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式，然后根据三角形三边关系解答．
【详解】 ，
由三角形三边关系， ，则 .
故选：A.
6. 《九章算术》中有这样一道题：今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数､羊价几
何？这道题的意思是：今有若干人共买一头羊，若每人出5钱，则还差45钱；若每人出7钱，则仍然差3
钱.求买羊的人数和这头羊的价格.设买羊的人数为 人，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设未知数，根据题意列一次方程即可.
【详解】设买羊的人数为 人，根据题意一头羊的价格可列方程为 .
故选：D
7. 已知整数 ，满足下列条件： ，以此类
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学科网（北京）股份有限公司推，则 的值为（ ）
A. B. 0 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据前几个数得到从第4项起， 循环出现，根据 进而可求解.
【详解】依题意 ，
，
所以从第4项起， 循环出现，又 ，
所以 .
故选：B
8. 几位同学（人数至少为3）围在一起做“传数”游戏，我们把某同学传给后面的同学的数称为该同学的“传
数”.游戏规则是：同学1心里先想好一个整数a，将这个数乘以2再加1后传给同学2，同学2把同学1告
诉他的数除以2再减0.5后传给同学3，同学3把同学2传给他的数乘以2再加1后传给同学4，同学4把
同学3告诉他的数除以2再减0.5后传给同学5，同学5把同学4传给他的数乘以2再加1后传给同学
6，…，照上述规律，序号排在前面的同学继续依次传数给后面的同学，直到传数给同学1为止.现有下列
说法：
①若只有3个同学做“传数”游戏，同学1心里想好的数是3，则同学3的“传数”是7；
②若只有4个同学做“传数”游戏，这四个同学的“传数”之和不可能为42；
③若有n位同学做“传数”游戏，同学1心里先想好的整数恰好也为n，这n位同学的“传数”之和为
或 .其中正确说法的个数是（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】分别计算出同学1、同学2、同学3的“传数”即可判断①，设同学1先想好的数为 ，找出规律：
当 为大于1的偶数时，同学 的“传数”是 ，当 为大于1的奇数时，同学 的“传数”是 ，
然后求出 个同学的“传数”之和判断②，根据②的规律，按照 为奇数和偶数分别求和即可判断③.
【详解】对于①，由题意得 ， ， ，
所以同学3的“传数”是7，正确；
对于②，设同学1先想好的数为 ，由题意得：同学1的“传数”是 ，
同学2的“传数”是 ，同学3的“传数”是 ，同学4的“传数”是 ， ，
所以当 为大于1的偶数时，同学 的“传数”是 ，
当 为大于1的奇数时，同学 的“传数”是 ，
若只有4个同学做“传数”游戏，这四个同学的“传数”之和为 ，
令 ，解得 ，不是整数，即四个同学的“传数”之和不可能为42，正确；
对于③，当 为大于1的偶数时，则这n位同学的“传数”之和为 ，
当 为大于1的奇数时，同学 的“传数”是 ，
则这n位同学的“传数”之和为 ，正确；
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学科网（北京）股份有限公司综上，正确说法有3个.
故选：D
二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知关于 的方程 （其中 为实数），则下列说法正确的是（ ）
A. 当 时，方程的解是
B. 无论 取什么实数，方程都有实数解
C. 当 时，方程只有一个解，且该解为正数
D. 若方程恰有一个正数解和一个负数解，则整数 的值为0
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接解方程判断A，分类讨论解方程，根据方程根的情况判断BCD.
【详解】当 时，方程变为 ，方程的解为 ，故A错误；
当 时，方程变为 ，方程的解为 ，
当 时，方程变为 ，方程的解为 ，
当 时，方程变为 和 ，方程的解为 和 ，
当 时，方程变为 和 ，方程的解为 ，且 ，
当 时，方程变为 和 ，方程的解为 和 ，
当 时，方程变为 和 ，方程的解为 ，且 ，故
选项C正确；
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学科网（北京）股份有限公司所以无论 取什么实数，方程都有实数解，故选项B正确；
当 时，方程恰有一个正数解和一个负数解，则整数 的值为0，故选项D正确.
故选：BCD
10. 如图，在正方形 中， ，点 在对角线 上，且不与 重合，过点 作
于点 于点 ，连接 ，下列结论正确的是（ ）
A. B. 若 ，则
C. D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据勾股定理计算判断A，延长FE交CD于H，结合已知证明四边形 是矩形，根据矩形
性质求出 ，利用勾股定理即可求出DE判断B，连接BE，根据正方形的性质证明 ≌
，利用全等三角形的性质得 ，再证明四边形 为矩形，根据矩形性质即可判断C，
根据直线外一点到直线的垂线段最短得 时， 最短，根据等面积法求出 的最小值，根据矩
形的性质得 的最小值判断D.
【详解】对于A，因为在正方形 中， ， ，正确；
对于B，如图所示，延长FE交CD于H，在正方形 中， 为对角线，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以四边形 是矩形，
所以 ， ， ，
所以 ，所以 ，错误；
对于C，如图，连接BE，
因为四边形 是正方形，所以 ， ，
因为 ，所以 ≌ ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以四边形 为矩形，所以 ，所以 ，正确；
对于D，由C可知 ，当 时， 最短，
因为 ，所以 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，即 的最小值为 ，因为四边形 为矩形，所以 ，所以
的最小值为 ，正确.
故选：ACD
11. 已知关于 的一元二次方程 ，下列结论中正确的结论是（ ）
A. 方程总有两个不等的实数根
B. 若两个根为 ，且 ，则
C. 若两个根为 ，则
D. 若 （ 为常数），则代数式 的值为一个完全平方数
【答案】AC
【解析】
【分析】利用二次方程的判别式判断A，举例法判断B，利用根与系数的关系代入化简判断C，先求出
的值，然后根据完全平方数的定义判断D.
【详解】一元二次方程 即 ，
对于A，一元二次方程的判别式 ，
所以方程总有两个不等的实数根，正确；
对于B，当 时，方程 为 ，
此时 ，与 矛盾，错误；
对于C，若方程 的两个根为 ，
则根据韦达定理知 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，正确；
对于D，若 ，则
，
当 为奇数时， 不是整数，所以代数式 的值不是一个完全平方数，错误.
故选：AC
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若反比例函数 的图象位于第一､三象限，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质即可列不等式求解.
【详解】因为反比例函数 的图象位于第一､三象限，所以 ，
解得 ，则 的取值范围是 .
故答案为：
13. 如图， 是某景区的三个门，小南可以任选一个门进入景区，游玩后再任选一个门离开，则他选
择不同的门进出的概率为______.
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学科网（北京）股份有限公司【答案】
【解析】
【分析】画树状图得出所有等可能出现的结果数，以及他选择不同的门进出的结果数，再利用概率公式可
得答案.
【详解】画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中他选择不同的门进出的结果有：
，共6种，
所以他选择不同的门进出的概率为 .
故答案为：
.
14. 若关于 的一元一次不等式组 的解集为 ，且关于 的分式方程
有非负整数解，则符合条件的所有整数 的和为__________.
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】分别解出两个一元一次不等式的解集，根据不等式组的解集为 ，列出不等式求得a的范围；
解分式方程，根据方程有非负整数解，且 列出不等式，求得a的范围；综上所述，求得a的范围．
根据a为整数，求出a的值，最后求和即可．
【详解】解：
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∵不等式组的解集为 ，
∴ ，∴ ；
分式方程两边都乘以 得： ，
解得： ，
∵分式方程有非负整数解，
∴ ， 为整数，
∴ ，a为偶数，
∵分式要有意义，
∴ ，∴ ，
综上所述， 且 且a为偶数，
∴符合条件的所有整数a的数有：−2，0.
∴符合条件的所有整数 的和为 ．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为： ．
四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1） ，
（2） ，
【解析】
【分析】（1）分解因式可得答案；
（2）移项分解因式可得答案.
【小问1详解】
∵ ，∴ ，
即 或 ，解得 ， .
【小问2详解】
， ，
则 ，即 ，
或 ，解得 ， .
16. 已知 的展开式中不含 和 项.
（1）求 与 的值.
（2）在（1）的条件下，求 的值.
【答案】（1）
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学科网（北京）股份有限公司（2）
【解析】
【分析】（1）先把多项式展开，然后根据题意列方程组求解即可.
（2）逆运用立方和公式化简，然后将 与 的值代入计算即可.
【小问1详解】
，
因为该展开式中不含 和 项，所以 ，解得 ，即 ；
【小问2详解】
因为 ，
所以 时，原式 .
17. 某活动中心准备带会员去龙潭大峡谷一日游，1张儿童票和2张成人票共需190元，2张儿童票和3张
成人票共需300元.
解答下列问题：
（1）求每张儿童票和每张成人票各多少元？
（2）这个活动中心想带50人去游玩，费用不超过3000元，并且出于安全考虑，儿童人数不能超过22人，
请你帮助活动中心确立出游方案.
【答案】（1）每张儿童票30元，每张成人票80元
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设每张儿童票x元，每张成人票y元，根据两家人的购票费用列方程组求解即可；（2）设
带儿童m人，根据题意得不等式即可得到结论．
【
小问1详解】
设每张儿童票x元，每张成人票y元，根据题意，
得 ，解得： ，
答：每张儿童票30元，每张成人票80元；
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
设带儿童m人，根据题意，得 ，
解得 ，又∵儿童人数不能超过22人，
∴带儿童人数的取值范围是 ；
则方案一：带儿童20人，成人30人；
方案二：带儿童21人，成人29人；
方案三：带儿童22人，成人28人．
18. 阅读下面的材料：解方程 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通
常是：设 ，则 原方程可化为： ，解得 ，当 时，
，当 时 原方程有四个根是： ，
以上方法叫换元法，达到了降次的目的，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题.
（1）解方程： ；
（2）已知实数 满足 ，试求 的值.
【答案】（1） ， ， ，
（2）5
【解析】
【分析】（1）利用“换元法”设 ，则原方程变为 ，依照题目中材料方法步骤解
答即可；
（2）利用“换元法”设 ，则原方程变为 ，依照题目中材料方法步骤解
答即可.
【小问1详解】
设 ，则原方程变为 ，解得： ， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，即 ，解得： ， ；
当 时， ，即 ，解得： ， ；
综上所述，故原方程的解为： ， ， ， ；
【小问2详解】
设 ，则原方程变为 ，
整理得 ，解得 或 （舍去），所以 .
19. 已知函数 ，其中 为常数，该函数的图象记为 .
（1）当 时，若点 在图象 上，求 的值；
（2）当 时，求函数的最大值；
（3）当 时，求函数最大值与最小值的差；
（4）已知点 ，当图象 与线段 只有一个公共点时，直接写出 的取值范
围.
【答案】（1）
（2）
（3）
（4） 或
【解析】
【分析】（1）将点的坐标代入求值即可.
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学科网（北京）股份有限公司（2）根据一次函数的增减性求解最值即可.
（3）根据函数的增减性求出函数的最大值和最小值，即可求出最值之差.
（4）分类讨论分别求出函数与 的交点，分别画出图形，并根据图形列不等式求解即可.
【小问1详解】
当 时，函数 ，
因为点 在函数图象 上，所以 ；
【小问2详解】
当 时，函数 ，
当 时，由 ，则y随着x的增大而增大，所以 ；
当 时，由 ，则y随着x的增大而减小，所以当 时， ；
综上，函数 的最大值为 ；
【小问3详解】
函数 ，
当 时，由 ，则y随着x的增大而增大，
当 时，由 ，则y随着x的增大而减小，
又 ，
当 时，y随着x的增大而增大，
当 时，y随着x的增大而减小，
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学科网（北京）股份有限公司所以当 时，函数有最大值 ，
当 时， ，
当 时， ，
所以函数有最小值 ，
所以当 时，函数最大值与最小值的差为 ；
【小问4详解】
因为 ， ，
所以该分段函数图象大致为：
因为点 ，所以线段AB在直线 上，
若图象 与线段 只有一个公共点时，有如下几种情况：
①当 或 时，如图，
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学科网（北京）股份有限公司则 ，解得 ，经检验，当 时，图象 与线段 没有公共点；
②令 ，解得 ，令 ，解得 ，
当 时，如图，点 的横坐标分别为 ，
若 ，不等式无解；
当 时， 同为 ，与图象 无交点；
当 时，如图，点 的横坐标分别为 ，
所以 ，解得 ；
③令 ，解得 ，令 ，解得 ，
当 时，如图，点 的横坐标分别为 ，
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学科网（北京）股份有限公司同理，若 ，不等式无解；
当 时， 同为 ，与图象 无交点；
当 时，如图，点 的横坐标分别为 ，
所以 ，解得 ；
综上， 或 .
【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，尤其是第四问中，需
要分类讨论图象 与线段 相交的情况，数形结合是解决此类问题的关键，注意分类讨论做的不重复不
遗漏.
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学科网（北京）股份有限公司
