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邑衡金卷・名校联盟
柳州高中、南宁三中 2024 届一轮复习诊断性联考数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷
上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知集合 ，集合 ，则如图中的阴影部分表示（ ）
A． B． C． D．
2．已知命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
3．一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，，经计算，则 分位数是（
）
A．18 B．20 C．21 D．22
4．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 为奇函数，则 （ ）
学科网（北京）股份有限公司A．3 B．－3 C．0 D．－1
6．抛物线有如下光学性质：平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线经过抛物线
的焦点．过点 且平行于 轴的一条光线射向抛物线 上的 点，经过反射后的反射光线
与 相交于点 ，则 （ ）
A． B．9 C．36 D．
7．如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就
叫做“和差等比数列”．已知 是“和差等比数列”， ，则满足使不等式 的 的最
小值是（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
8．某同学参加学校组织的数学知识竞赛，在5道四选一的单选题中有3道有思路，有2道完全没有思路，有
思路的题目每道做对的概率为 ，没有思路的题目只好任意猜一个答案．若从这5道题目中任选2题，则该
同学2道题目都做对的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．若复数 满足 ，则下列命题正确的有（ ）
A． 的虚部是－1 B．
C． D． 是方程 的一个根
10．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运
动”．在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 的部
分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． ，频率为 ，初相为
B．函数 的图象关于直线 对称
C．函数 在 上的值域为
D．若把 图像上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位，则所得函数
是
11．在边长为2的正方体 中，动点 满足 ， 且
，下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 的最小值为
B．当 时，异面直线 与 所成角的余弦值为
C．当 ，且 时，则 的轨迹长度为
D．当 时， 与平面 所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
学科网（北京）股份有限公司12．已知向量 ．若 ，则实数 的值为______．
13．已知 （ 为常数）的展开式中所有项的系数和为32，则展开式中 的系数为
______．（用数字作答）．
14．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，，其中第一项是 ，接下来的两项
是 ，再接下来的三项是 ，依此类推，若该数列的前 项和为 ，若 ，
则称 为“好数对”，如 ， ，则 都是
“好数对”，当 时，第一次出现的“好数对”是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 周长的最大值．
16．（15分）某校为了丰富学生课余生活，体育节组织定点投篮比赛．为了解学生喜欢篮球是否与性别有关，
随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：
喜欢篮球 不喜欢篮 合计
球
男生 40
女生 30
合计
（1）根据所给数据完成上表，依据小概率值 的 独立性检验，能否据此推断该校学生喜欢篮球
与性别有关？
（2）篮球指导老师从喜欢篮球的学生中抽取了2名男生和1名女生进行投篮示范．已知这两名男生投进的概
率均为 ，这名女生投进的概率为 ，每人投篮一次，假设各人投篮相互独立，求3人投进总次数 的分
布列和数学期望．
附：
学科网（北京）股份有限公司0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．（15分）在如图所示的五面体 中， 共面， 是正三角形，四边形 为菱
形， 平面 ，点 为 中点．
（1）证明： 平面 ；
（2）已知 ，求平面 与平面 所成二面角的正弦值．
18．（17分）已知函数 ．
（1）若 ，求 的值；
（2）当 时，证明： ．
19．（17分）已知曲线 ．
（1）若点 是 上的任意一点，直线 ，判断直线 与 的位置关系并证明．
（2）若 是直线 上的动点，直线 与 相切于点 ，直线 与 相切于点 ．
①试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
②若直线 与 轴分别交于点 ，证明： ．
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