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2024年高考联合模拟考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
题号
1 2 3 4 5 6 7 8
答案
A B A D B C A C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
题号
9 10 11
答案
BD BCD BCD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
．5 ． ．
12 13 ±2 14 1
7
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．
{ }
．解：（）设等差数列 a 的公差为d，则由题得
15 1 n
ì(
a d
)
a d
í ï 1 + ( 1 + 2 )= 24, ………………………………………………………… 分
î ï a d 2
5 1 + 10 = -20,
ìa
解得í 1 = -8, ……………………………………………………………………… 分
î d 4
= 2,
{ }
故 a 的通项公式为a n n ．………………………… 分
n n = -8 +( - 1)×2 = 2 - 10 6
n n
（ 2 ）由（ 1 ）知S n = -8 n + ( - 1) ×2 = n 2 - 9 n， …………………………………… 7 分
2
S n n (n )(n )
所以 n ，即为 2 - 9 ，整理得 - 1 - 10 …………………… 分
a <1 n <1 (n ) <0 10
n 2 - 10 2 - 5
n ，故即解(n )(n ) ，…………………………………………… 分
∵ ≥1 - 5 - 10 <0 11
解得 n ，…………………………………………………………………… 分
5< <10 12
所以满足条件的n的取值集合为{ ，，，}． ………………………………… 分
6 7 8 9 13
．解：（）证明：由S S 知S S ， ………………………………………… 分
16 1 Δ ABD = 2 Δ ACD Δ ABC = 3 Δ ACD 1
所以1 AB AC BAC 1 AD AC DAC，……………………………… 分
⋅ sin∠ = 3× ⋅ sin∠ 3
2 2
因为 BAC DAC π，所以 BAC DAC，
∠ + ∠ = sin∠ = sin∠
所以AB AD；…………………………………………………………………… 分
= 3 6
（）由（）知AB AD，设AD m，则AB m，
2 1 = 3 = = 3
由S S 知BD CD，又因为DC AC，
Δ ABD = 2 Δ ACD = 2 =
设CD n，则BD n，AC n，…………………………………………………… 分
= = 2 = 7
数学参考答案 第1页 （共 页）
4
{#{QQABbYwUggCgQAIAAAgCAw36CgOQkBCAAAoOBAAMMAABiQFABAA=}#}n m m n m
2 2 2 2 2
在 ABD中， ADB (2 ) + -(3 ) - 2 ，……………………… 分
Δ cos∠ = nm = mn 9
2×2
m
m
在等腰 ACD中， ADC 2 ， ………………………………………… 分
Δ cos∠ = n = n 11
2
n m m
2 2
所以 - 2 ，整理得 n 2 m 2 ，………………………………………… 分
mn = - n 2 = 3 13
2
m
所以 ADC 6………………………………………………………… 分
cos∠ = n = 14
2 6
故 BAC CAD CDA 6． ……………………………… 分
cos∠ = -cos∠ = -cos∠ = - 15
6
．解：（）证明：设BC中点为E，连接BD，DE，PE，
17 1
底面ABCD为菱形，且 DAB ，
∵ ∠ = 60°
BCD为等边三角形，故DE BC，
∴Δ ⊥
PB PC， PE BC，………………… 分
∵ = ∴ ⊥ 2
又PE DE E，PE，DE 平面PDE，
⋂ = ⊂
BC 平面PDE， ………………………………………………………… 分
∴ ⊥ 4
又PD 平面PDE
⊂
BC PD，又 BC AD PD AD；…………………………………… 分
∴ ⊥ ∵ ∥ ∴ ⊥ 6
（）过P作PF DE于点F，由（）得PF 平面PDE， PF BC，又DE BC E，DE，
2 ⊥ 1 ⊂ ∴ ⊥ =
∩
BC 平面BCD， PF 平面BCD，由PB PC ，AD ,得DE ,PE ，
⊂ ∴ ⊥ = = 3 =2 = 3 = 2
PD PE
又PD ， PE PD PF ⋅ 6，DF PD 2 PF 2 3
= 1 ∴ ⊥ ∴ = DE = = - =
3 3
DA DE，以DA，DE分别为x轴，y轴，过D作z轴，建立如图空间直角坐标系
∵ ⊥
D xyz，故A P 3 6 C
- (2,0,0), (0, , ), (-1, 3,0)
3 3
DP 3 6 ， DC ， ………………………… 分
∴ =(0, , ) DA=(2,0,0), =(-1, 3,0) 9
3 3
设平面APD的一个法向量为m xyz ，
=( , , )
ì x
ìm DA ï2 = 0
则í⋅= 0，即í ，令z ，
îm DP ï 3 y 6 z = 1
⋅ = 0 î + = 0
3 3
则m ，………………… 分
=(0, - 2,1) 11
设平面CPD的一个法向量为n abc
=( , , )
ì a b
ìn DC ïï- + 3 = 0
则í⋅= 0，即í ，
în DP ïï 3 b 6 c
⋅ = 0 î + = 0
3 3
令则n …………… 分
=(- 6, - 2,1) 13
m n
则 mn ⋅ 3 3， ……………………………………… 分
cos< ,>= |m| |n| = = 14
⋅ 3 ×3 3
数学参考答案 第2页 （共 页）
4
{#{QQABbYwUggCgQAIAAAgCAw36CgOQkBCAAAoOBAAMMAABiQFABAA=}#}所以二面角A PD C的正弦值为 6．……………………………………… 分
- - 15
3
ìa
2
b
2
ï + = 6
．解：（）由题意可得íb ，解得a
2
，b
2
，
18 1 ï 2 = 4 = 2
îa =
2
x y
2 2
所以C的方程为 ；……………………………………………………… 分
- = 1 5
4 2
（）设直线PQ的方程为x my 2，P x ，y ，Q x ，y ，
2 = + ( 1 1) ( 2 2)
3
代入C的方程整理可得： m y my ，………………………… 分
2 2
9(2 - ) - 12 + 32 = 0 6
m 2 ，且 ( m) 2 ( m 2 ) ，故m 2 16且m 2 ．
- 2≠0 △= -12 - 4×9 2 - ×32>0 > ≠2
9
m
y y 4 ，y y 32 ，………………………………………… 分
1 + 2 = ( m 2 ) 1 ⋅ 2 = ( m 2 ) 8
3 2 - 9 2 -
因为P，Q在C的右支上 y y m
2
综上,16 m
2
………………… 分
∴ 1 2 >0,∴ <2, < <2 9
9
C的左顶点为A ，故直线AP与AQ的方程分别为：
(-2,0)
y y
y 1 x ，y 2 x ，
= x ( + 2) = x ( + 2)
1 + 2 2 + 2
( ) ( )
y y
可得M 2 ,8 1 ，N 2 ,8 2 ． ……………………………………… 分
⋅ x ⋅ x 11
3 3 1 + 2 3 3 2 + 2
要证O，A，M，N四点共圆只需证 AMN AON π
∠ + ∠ = ,
即证 AMN BON,即证 与 互余
∠ = ∠ ∠MAB ∠BON
故只需证k k ，…………………………………………………………… 分
AP ⋅ ON = 1 13
y y y y y y
因为k k 1 4 2 4 1 2 4 1 2 ，
AP⋅ ON=x ⋅ x = ( )( ) = ( )
1 + 2 2 + 2 my 1 + 8 my 2 + 8 m 2 y 1 y 2 + 8 m ( y 1 + y 2 ) + 8 2
3 3 3 3
32
4 ( m )
2
9 2 - 4×32
= m ( ) 2 = m 2 m 2 ( m 2 ) = 1
m 2 ( 32 m ) + 8 m ( 4 m ) + 8 32 + 32 + 64 2 -
9 2 - 2 3 3 2 - 2 3
所以，O，A，M，N四点共圆．……………………………………………………… 分
17
．解：（）因为f x ex mx ，所以f′ x ex m，…………………………………… 分
19 1 ( )= + - 1 ( )= + 1
当m 时，f′ x ex m ，函数f x 在R上单调递增；……………………… 分
⩾0 ( )= + >0 ( ) 2
当m 时，由f′ x ex m ，得x m ，
<0 ( )= + >0 >ln(- )
函数f x 在区间 m ，∞ 上单调递增，
( ) (ln(- ) + )
由f′ x ex m ，得x m ，函数f x 在区间 ∞， m 上单调递减．
( )= + <0 ln -( + 1)sin + - 1> ln -( + 1)sin ∈(0, + )
即证ex m x x x x x ，x ∞ ，
+( + 1)( + sin )- - 1 - ln >0 ∈(0, + )
设k x x x，k′ x x ，…………………………………………… 分
( )= + sin ( )= 1 + cos ⩾0 6
故k x 在 ∞ 上单调递增，又k ，所以k x ，
( ) (0, + ) (0)= 0 ( )>0
又因为m ，所以 m x x x x，
+ 1>1 ( + 1)( + sin )> + sin
所以ex m x x x x x ex x x x，…………… 分
+( + 1)( + sin )- - 1 - ln > + sin - 1 - ln 8
当 x 时，因为ex x ，x x ，所以ex x x x ； … 分
① 0< ⩽1 + sin - 1>0 ln ⩽0 + sin - 1 - ln >0 9
当x 时，ex x x x ex x x ……………………………… 分
② >1 + sin - 1 - ln ≥ - ln - 2 11
令g x ex x x ，则g′ x ex x ，
( )= - ln - 2 ( )= - ln - 1
设h x g′ x ，则h′ x ex 1，……………………………………………… 分
( )= ( ) ( )= - x 13
因为x 时，h′ x 单调递增，所以h′ x h′ e ，
>1 ( ) ( )> (1)= - 1>0
所以h x 即g′ x 在 ∞ 上单调递增，
( ) ( ) (1, + )
所以g′ x g′ e 所以g x 在 ∞ 上单调递增，
( )> (1)= - 1>0 ( ) (1, + )
所以g x g e
( )> (1)= - 2>0
ex x x x ex x x
∴ + sin - 1 - ln ≥ - ln - 2>0
综上可知，当m 时，ex mx x x m x ex x x x ，
>0 + - 1 - ln +( + 1)sin > + sin - 1 - ln >0
即f x x x m x． ………………………………………………… 分
( )> ln -( + 1)sin 17
数学参考答案 第4页 （共 页）
4
{#{QQABbYwUggCgQAIAAAgCAw36CgOQkBCAAAoOBAAMMAABiQFABAA=}#}
