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2016年第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷（六年级
第2试）
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）计算：3 ×1.3+3÷2 ＝ ．
2．（5分）已知 a＝0.5，b＝ ，则a﹣b是 的 倍．
3．（5分）若 + + + ＜ ，则自然数x的最小值为 ．
4．（5分）定义：如果a：b＝b：c，那么b称为a和c的比例中项；如1：2＝2：4，则2是1和4的
比例中项．
已知 0.6是0.9和x的比例中项， 是 和y的比例中项，则x+y＝ ．
5．（5分）A，B，C 三人单独完成一项工程所用的时间如图1所示，若A上午8：00开始工作，
27分钟后，B和C加入，三人一起工作，则他们完成这项工作的时刻是 时；
分．
6．（5分）如图，A、B盘的盘面各被四等分和五等分，并且分别标有数字，两盘各自按不同的
速度绕盘心转动，若指针指向A盘的数字是a，指针指向B盘的数字是b，则两位ab是质
数的概率为 ．
7．（5分）在算式“ ×8＝ ×5”中，不同的汉字代表不同的数
字，则“ ”所代表的六位偶数是 ．
8．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边DC上，AE＝2ED，DF＝3FC．
则△BEF的面积与正方形ABCD的面积比值为 ．
第1页（共12页）9．（5分）如图是由两个直径为2的圆和四个腰长为2的等腰直角三角形组成，则图中的阴影
部分面积是 ．（ ＝3）
π
10．（5分）已知三个最简真分数的分母分别是 6，15 和 20，它们的乘积是 ，则在这三个
最简真分数中，最大的数是 ．
11．（5分）将100个乒乓球放入从左到右排成一行的26个盒子中，如果最左边的盒子中有4
个乒乓球，且任意相邻的4个盒子中乒乓球的个数和都是15，那么最右边的盒子中有乒
乓球 个．
12．（5分）两根粗细相同，材料相同的蜡烛，长度比是21：16，它们同时开始燃烧，18分钟后，
长蜡烛与段蜡烛的长度比是15：11，则较长的那根蜡烛还能燃烧 分钟．
二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程.
13．（15分）如图所示，图 由1个棱长为1的小正方体堆成，图 由5个棱长为1的小正方
体堆成，图 由14个①棱长为1的小正方体堆成，按照此规律②，求：
（1）图 由③多少个棱长为1的小正方体堆成？
（2）图⑥所示的立体图形的表面积．
⑩
14．（15分）解方程：[x]×{x}+x＝2{x}+9，其中[x]表示如x的整数部分，{x}表示x的小数部分．
第2页（共12页）如[3.14]＝3，{3.14}＝0.14．（要求写出所有的解）
15．（15分）阿春、阿天、阿真、阿美、阿丽五个小朋友按顺序取出盒子中的糖果，取完后，他们
依次说了下面的话：
阿春：“大家取的糖果个数都不同”
阿天：“我取了剩下的糖果的个数的一半．”
阿真：“我取了剩下的糖果的 ”
阿美：“我取了剩下的全部糖果．”
阿丽：“我取了剩下的糖果的个数的一半．”
请问：
（1）阿真是第几个取糖果的？
（2）已知每人都取到糖果，则这盒糖果最少有多少颗？
16．（15分）甲、乙两人同时从山底开始沿同一条路爬山，到达山顶后就立即沿原路返回．已
知他们两人下山的速度都是各自上山速度的 3 倍．甲乙在离山顶 150 米处相遇，当甲回
到山底时，乙刚好下到半山腰，求山底到山顶的路程．
第3页（共12页）2016 年第十四届小学“希望杯”全国数学邀请赛试卷
（六年级第 2 试）
参考答案与试题解析
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．（5分）计算：3 ×1.3+3÷2 ＝ 6 ．
【解答】解：3 ×1.3+3÷2
＝3.75×1.3+3×
＝0.375×13+3×
＝ ×13+3×
＝（13+3）×
＝16×
＝6
故答案为：6．
2．（5分）已知 a＝0.5，b＝ ，则a﹣b是 的 1 3 倍．
【解答】解：（a﹣b）÷
＝（0.5﹣ ）÷
＝（ ﹣ ）÷
＝ ÷
＝13；
故答案为：13．
第4页（共12页）3．（5分）若 + + + ＜ ，则自然数x的最小值为 3 ．
【解答】解： + + + ＜
+ + + ＜
＜
x＞ ≈2.6
因为x是自然数，所以x的最小值为3．
答：自然数x的最小值为3．
故答案为：3．
4．（5分）定义：如果a：b＝b：c，那么b称为a和c的比例中项；如1：2＝2：4，则2是1和4的
比例中项．
已知 0.6是0.9和x的比例中项， 是 和y的比例中项，则x+y＝ 0.4 8 ．
【解答】解：依据题意得：
0.9：0.6＝0.6：x
0.9x＝0.6×0.6
0.9x＝0.36
x＝0.36÷0.9
x＝0.4；
： ＝ ：y
y＝ ×
y＝ ÷
y＝0.08
x+y＝0.4+0.08＝0.48．
故答案为：0.48．
5．（5分）A，B，C 三人单独完成一项工程所用的时间如图1所示，若A上午8：00开始工作，
第5页（共12页）27分钟后，B和C加入，三人一起工作，则他们完成这项工作的时刻是 9 时； 5 7 分．
【解答】
解：由题意可知A的效率是 ，B的效率是 ，C的效率是 ，
A工作27分钟，转换成小时单位是 ，
A工作量是 ＝ ，
剩余工作总量为 ，
三个人的效率和是 ，
工作时间为： （小时），
在8：27分再加上1.5小时是9：57分．
故答案为：9：57．
6．（5分）如图，A、B盘的盘面各被四等分和五等分，并且分别标有数字，两盘各自按不同的
速度绕盘心转动，若指针指向A盘的数字是a，指针指向B盘的数字是b，则两位ab是质
数的概率为 35% ．
【解答】解：数字1开始的质数有11，13，17
数字2开始的质数有23
第6页（共12页）数字3开始的数字有31，37
数字5开始的质数有53
共计7个质数．
组成两位数的情况有
1开始的后面可以是1，2，3，5，7共5种．
2，3，5开始的分别有5种．计算5+5+5+5＝4×5＝20种
%＝35%
故答案为：35%
7．（5分）在算式“ ×8＝ ×5”中，不同的汉字代表不同的数
字，则“ ”所代表的六位偶数是 25641 0 ．
【解答】解：依题意可知：
（ + ）×8＝
整理得： ＝ ×4992；
7995与4992有公因数39，可以约分．
×205＝ ×128；此时205和128互质，说明 是205的倍数，
是128的倍数，根据题目要求 本身要为偶数，且这六个数不可以重复．当
为205的2倍时满足．
故答案为：256410
8．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边DC上，AE＝2ED，DF＝3FC．
则△BEF的面积与正方形ABCD的面积比值为 ．
第7页（共12页）【解答】解：依题意可知：
设正方形的边长为12．正方形的面积为12×12＝144．
阴影的面积为：S＝144﹣ （12×8+4×9+3×12）＝60．
△BEF的面积与正方形ABCD的面积比值为60：144化简为5：12．
故答案为： ．
9．（5分）如图是由两个直径为2的圆和四个腰长为2的等腰直角三角形组成，则图中的阴影
部分面积是 4. 5 ．（ ＝3）
π
【解答】解：见上图，根据分析可得，
大等腰三角形面积为：2×（2×2）÷2＝4，
半圆面积为：3×（2÷2）2÷2＝1.5，
小等腰三角形面积为：2×（2÷2）÷2＝1，
弓形面积为：1.5﹣1＝0.5，
整体阴影面积为：4+0.5＝4.5，
答：图中的阴影部分面积是 4.5．
故答案为：4.5．
10．（5分）已知三个最简真分数的分母分别是 6，15 和 20，它们的乘积是 ，则在这三个
最简真分数中，最大的数是 ．
第8页（共12页）【解答】解：依题可知设这三个数分别为 ，
因为 ，
则abc＝60．
将60分解60＝2×2×3×5，
因为三个分数均为真分数，
故c＝3，a＝5，b＝4．
所以最大是 ．
综上所述最大分数是 ．
故答案为： ．
11．（5分）将100个乒乓球放入从左到右排成一行的26个盒子中，如果最左边的盒子中有4
个乒乓球，且任意相邻的4个盒子中乒乓球的个数和都是15，那么最右边的盒子中有乒
乓球 6 个．
【解答】解：根据分析，26盒分成：26÷4＝6（组）…2（个）．
∵任意相邻的 4 个盒子中乒乓球的个数和都是 15，所以处于位置1，5，9…25 的盒子里
球的个数均为 4．
最右边的盒子中有乒乓球：100﹣（15×6+4）＝6（个）．
故答案是：6
12．（5分）两根粗细相同，材料相同的蜡烛，长度比是21：16，它们同时开始燃烧，18分钟后，
长蜡烛与段蜡烛的长度比是15：11，则较长的那根蜡烛还能燃烧 15 0 分钟．
【解答】解：根据分析，21﹣16＝5，15﹣11＝4，则：两段蜡烛的比为
21：16＝（21×4）：（16×4）＝84：64；
18分钟后：15：11＝（15×5）：（11×5）＝75：55，
长蜡烛燃烧了：84﹣75＝9份，段蜡烛也燃烧了：64﹣55＝9份，每份燃烧了：18÷9＝2分钟，
较长的蜡烛还能燃烧：75×2＝150分钟．
故答案是：150．
二、解答题（每小题15分，共60分）每题都要写出推算过程.
13．（15分）如图所示，图 由1个棱长为1的小正方体堆成，图 由5个棱长为1的小正方
体堆成，图 由14个①棱长为1的小正方体堆成，按照此规律②，求：
第9页（共12页）
③（1）图 由多少个棱长为1的小正方体堆成？
（2）图⑥所示的立体图形的表面积．
⑩
【解答】解：（1）根据观察，图 中有12小正方体；图 有1+22个小正方体；图 有
1+22+32个小正方体；图 有1+2①2+32+42个小正方体； ② ③
图 有1+22+32+42+52个④小正方体；图 有1+22+32+42+52+62＝91个小正方体，故答案是：
91⑤． ⑥
（2）堆积体的表面积包括：前后2面、左右2面和上下2面．
图 中有12+22+32+42+52+62+72+82+92+102＝385个小正方体，表面积为：
2×⑩（1+2+3+…+10）+2×（1+2+3+…+10）+2×10×10＝420．
故答案为：420．
14．（15分）解方程：[x]×{x}+x＝2{x}+9，其中[x]表示如x的整数部分，{x}表示x的小数部分．
如[3.14]＝3，{3.14}＝0.14．（要求写出所有的解）
【解答】解：根据分析，设x的整数部分为a，a≥1；x的小数部分为b，0≤b＜1，依题意：
ab+a+b＝2b+9，
整理得：（a﹣1）（b+1）＝8，∵1≤b+1＜2，∴4＜a﹣1≤8，且a﹣1为整数．
当a﹣1＝8，即a＝9，b＝0，x＝9；
①当a﹣1＝7，a＝8，b＝ ，x＝ ；
②
当a﹣1＝6，即a＝7，b＝ ，x＝ ；
③
当a﹣1＝5，即a＝6，b＝ ，x＝ ．
④
综上，方程的解为：x＝9；x＝ ；x＝ ；x＝ ．
故答案是：x＝9；x＝ ；x＝ ；x＝ ．
15．（15分）阿春、阿天、阿真、阿美、阿丽五个小朋友按顺序取出盒子中的糖果，取完后，他们
第10页（共12页）依次说了下面的话：
阿春：“大家取的糖果个数都不同”
阿天：“我取了剩下的糖果的个数的一半．”
阿真：“我取了剩下的糖果的 ”
阿美：“我取了剩下的全部糖果．”
阿丽：“我取了剩下的糖果的个数的一半．”
请问：
（1）阿真是第几个取糖果的？
（2）已知每人都取到糖果，则这盒糖果最少有多少颗？
【解答】解：（1）根据题意，阿春是第1个取糖果的，
因为阿美取了剩下的全部糖果，
所以阿美是最后1个取糖果的；
因为阿天和阿丽不能在倒数第2的位置，否则跟最后1个的个数相同，
所以阿真是倒数第2个取糖果的，
所以阿真是第4个取糖果的．
（2）若使这盒糖果最少，
则倒数第1个人取1颗，
则倒数第2个人取：1×（ ÷ ）＝2（颗）
1+2+（1+2）+（1+2+3）+4
＝3+3+6+4
＝16（颗）
答：这盒糖果最少有16颗．
16．（15分）甲、乙两人同时从山底开始沿同一条路爬山，到达山顶后就立即沿原路返回．已
知他们两人下山的速度都是各自上山速度的 3 倍．甲乙在离山顶 150 米处相遇，当甲回
到山底时，乙刚好下到半山腰，求山底到山顶的路程．
【解答】解法一：在离山顶 150 米处相遇时，两人的路程差为200米，
甲、乙的速度比为8：7，
因此甲上山路程为 ×8＝1600，
第11页（共12页）这1600米中有50米是假设继续上山的结果，
因此山底到山顶的路程＝1600﹣50＝1550米．
解法二：设甲上山的速度是x，则下山的速度是3x．乙上山的速度是y，则下山的速度是
3y，山顶到山底的距离为s．
，
由 得 ，
①
由 得 ，
②
∴ ，
∴s＝1550（米），
综上所述答案为1550米．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布
日期：2019/4/22 15:47:00；用户：小学奥数；邮箱：pfpxxx02@xyh.com；学号：20913800
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