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重庆市高三数学考试参考答案
!!!答案"#
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"$ $ $ $!&’#则""$!)’!
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(!!答案"*
由题得#$$$#$()($)%"$+%$$$#)"$$$,%#则%#$$$#$&)"或$’,%!
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因为!(!!)""#所以!&!!)""$+#即!()!&"$%(&!)%$+#解得%$.槡(!
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因为&’(&’#123)&’’$ #所以 ! $ !又#&’#&#&’#$((#所以#&’#$
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4( 5( 4( 5( ) " "
##&’#$ #则! "(&! "($/)(#解得 $ #故椭圆*的离心率为 !
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"!!答案"0
由(&( )%($()(#可得(()%($()(#所以(&($(#
5 !+ 6 ( 6 6 ( ( 6
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则+ $ ! !+ $"!(&("$!+!
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4!!答案"0
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圆柱的体积为!7%(74$"/!#圆锥的体积为 7!7%(7%$6!#液体上方圆锥的体积为6!
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( 5! 5! !5!!
7! "%$ #所以瓶子中水的体积为"/!&6!) $ !
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(4$! ( "%$ 5 #,4$! ! "/$ ! #所以+$,$($!!因为(&,)!*(,)!$(7! ! "( %)!$
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( ! %)!*+#所以)$((&,)!*(+$!#所以)*(*,!
5!!答案"-
第一种情况#将五个小球按!#!#%分为三组#则安排的方法有-!-!0($!(种’
% ( (
第二种情况#将五个小球按!#(#(分为三组#则安排的方法有-!-!$4种!
% (
故不同的放法数为!5!
6!!答案"#*
(! !+!
由题可知小球运动的周期-$!!58#所以 $!!5#解得!$ !当.$+8时##8’3"$#!
! 6
! !+! ! !+!
又 "+!+#!(#所以 "$ #则/$#8’3! .& "$#9:8 .#所以.$68与.$(!!8时的相
( 6 ( 6
!+!
#9:8! 76"
6
对于平衡位置的高度之比为 $(!故选#*!
!+!
#9:8! 7(!!"
6
!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!"#$"%&"
书书书!+!!答案"0#*
因为0*(平面##**#1*,平面##**#所以0*(1*!
! ! ! ! ! !
在-*1*中#因为1*$1*$槡(#**$(#所以1*(&1*($**(#则
! ! ! ! !
1*(1*!又0*,平面01*#1*,平面01*#0*.1*$*#所以1*(
! !
平面01*#故0正确!
取2为0* 的中点#连接23#21!易知23/#1#23$#1#所以四边形#123为平行
! ! ! !
四边形#则#3/12!又#30平面01*#12,平面01*#所以#3/平面01*#故#
! ! ! ! ! !
正确!
设点*到平面01* 的距离为$#则$是以*为顶点#-01* 为底面的三棱锥的高!
! !
因为0*(平面##**#所以0*是三棱锥04*1* 的高!又-*1* 为直角三角形#所以
! ! ! !
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+ $ &1*&1*$ 7槡(7槡($!#所以5 $ 7!7!$ !又-0*1是直角
-*1*! ( ! ( 04*1*! % %
三角形#所以01$槡!&($槡%!又1*$槡(#0*$槡!&/$槡"#所以01(&1*($0*(#所
! ! ! !
! 槡4 ! 槡4
以-01* 是直角三角形#则+ $ 7槡(7槡%$ !由5 $5 #得 7 $$
! -01*! ( ( 04*1*! *401*! % (
! 槡4 槡4
#则$$ #即点*到平面01* 的距离为 #故-错误!
% % ! %
因为-0** 和-01* 均为直角三角形#所以2为三棱锥*401*外接球的球心#即半径
! ! !
槡"
为 #故*正确!
(
!!!!答案"#-
!
依题意#-0’’ 为等边三角形#故#0’#$#0’#$#’’#$4#)0’’$ !
! ( ! ( ! ( ( ! %
"槡% "槡% !!
在-#’’ 中#123)’’#$ #8’3)’’#$ #9:8)’’#$ #所以8’3#$
! ( ( ! !! ( ! !/ ( ! !/
(! %槡% #’’# ##’# ##’#
8’3! &)’’#"$ #根据正弦定理可得 ! ( $ ! $ ( #解得
% ( ! !/ 8’3# 8’3)’’# 8’3)’’#
! ( ( !
##’#$!/###’#$!+#所以(($/#即($(#,$槡)()(($槡"#所以*的渐近线方程为6
! (
槡" % ! !
$. $#*的离心率为 ###0#$!4#-#0’ 的面积为 747!478’3 $(/槡%!
( ( ! ( %
故选#-!
!(!!答案"槡!/
将圆7)$(&6($/和圆8)$(&6(&$&6$%的方程作差得$&6&!$+!圆心7到直线$
! 槡( 槡(
&6&!$+的距离为 $ #所以##0#$(槡/)! "($槡!/!
槡( ( (
%
!%!!答案"
5
由题可知&!7’!++"$+!"!若从该果园中随机挑选/个猕猴桃#则恰有(个单果的质量均
!高三数学"参考答案!第!!!!(页#共"页$% "!"#$"%&"! ! %
不低于9::;的概率为-(7! "(7!!) "($ !
/ ( ( 5
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!/!!答案"! # "
( <
令;!$"$.#则方程3."
#则:;#!
< (
又;!$"$$(&($&!)(#$!$&!"()(#在!)=#)!"上单调递减#在!)!#&="上单调
递增#所以>:;#*)(##即(#&>:;#*+!令/!#"$(#&>:;##易知/!#"在!+#&="上单调
( ( (
! !
递增#又/! "$+#所以(#&>:;#*+的解集为! #&="!
( ( (
! (
综上##的取值范围为! # "!
( <
!"!解)!!"由,(9:80$,!)),9:8#"及正弦定理#得,8’3#9:80$,8’3*),8’309:8## …
………………………………………………………………………………………………(分
所以,8’3#9:80&,8’309:8#$,8’3*#即,8’3!#&0"$,8’3*#……………………/分
则,$,!………………………………………………………………………………………4分
!("由题可知-01*为等边三角形#则*1$(##1$((!………………………………5分
在-#1*中##*($#1(&1*()(#1&1*&9:8)#1*# ……………………………6分
(!
则/6$!(("(&(()(&((&(&9:8 #解得($槡,#……………………………………!!分
%
! ! (!槡%
所以-#0*的面积为 7槡,7%槡,78’3 $ ! …………………………………!%分
( % /
!4!!!"证明)取2为03的中点#连接2##2*!
槡% (槡,
因为123)30*$ #所以9:8)30*$ !在-02*中#2*($20(&0*()(20&0*&
( ,
9:8)30*$%#即0*($20(&2*(#所以2*(03! ……………………………………%分
因为#0$#3#所以2#(03!……………………………………………………………/分
又2*.2#$2#所以03(平面2#*!……………………………………………………"分
因为#*,平面2#*#所以#*(03! ……………………………………………………,分
!("解)因为平面#03(平面0*13#且两平面相交于03#2#(03#
所以2#(平面0*13!……………………………………………5分
以2为坐标原点#2*#23#2#所在直线分别为$#6#"轴#建立如图所
示的空间直角坐标系#则#!+#+#%"#0!+#)(#+"#1!槡%#!#+"#’!+#
/ 221 221 !+
#!"#所以01$!槡%#%#+"#0’$!+# #!"!……………………!+分
% %
设平面01’的法向量为#$!$#6#""#
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$% "!"#$"%&"4#&0
221
1$+#
4槡%$&%6$+#
则3 即3 令6$%#得#$!)%槡%#%#)!+"!…………………!(分
221 !+
5#&0’$+# 6&"$+#
5%
易知平面013的一个法向量为$$!+#+#!"# …………………………………………!%分
#&$ !+ "槡%/
所以#9:8*##$+#$# #$ $ !………………………………!/分
####$# 槡(,&6&!++ %/
"槡%/
因为二面角’40143的夹角为锐角#所以二面角’40143的余弦值为 !………!"分
%/
!,!解)!!"设事件#为顾客甲获得了!++元奖金#事件0为甲第一次摸到的球是红球!
-!-!0% %
&!#"$ / % %$ #………………………………………………………………………(分
0/ %"
,
-!-!0% (
&!#0"$ / ( %$ #……………………………………………………………………/分
0/ %"
,
&!#0" (
所以&!0##"$ $ #即顾客甲在获得了!++元奖金的条件下#第一次摸到的球是红
&!#" %
(
球的概率为 !………………………………………………………………………………,分
%
!("随机变量>的所有取值为(++#!++#"+#!+!
0% !
&!>$(++"$ %$ #
0% %"
,
-!-!0% %
&!>$!++"$ / % %$ #
0/ %"
,
-(-!0/ 4
&!>$"+"$ / % /$ #
0" %"
,
! % 4 "
&!>$!+"$!) ) ) $ #
%" %" %" ,
所以随机变量>的分布列为
> (++ !++ "+ !+
! % 4 "
&
%" %" %" ,
………………………………………………………………………………………………!(分
! % 4 "
3!>"$(++7 &!++7 &"+7 &!+7 $%+!……………………………………!"分
%" %" %" ,
!5!解)!!"因为点7!$#5"在*上#所以?$$%(#…………………………………………(分
+ +
?
则#7’#$$& $!+!……………………………………………………………………%分
+ (
又$*(#所以?$/#$$5#………………………………………………………………"分
+ +
故*的方程为6($5$! ……………………………………………………………………4分
!("设直线#0的方程为$$%6&@##!$#6"#0!$#6"!
! ! ( (
4$$%6&@#
联立3 则6()5%6)5@$+#且$$4/%(&%(@*+#
56($5$#
!高三数学"参考答案!第!!!!/页#共"页$% "!"#$"%&"由韦达定理得6&6$5%#66$)5@!…………………………………………………5分
! ( ! (
由)#20$ ! #得2 221 #&2 221 0$$$&66$ 6( ! 6( (&66$+#解得66$)4/#………!!分
( ! ( ! ( 4/ ! ( ! (
即66$)5@$)4/#解得@$5#直线#0恒过点&!5#+"! …………………………!%分
! (
由!!"可知7!5#5"#则8!5#)!"!
设点7到直线#0的距离为A#点8到直线#0的距离为A#
! (
!
&##0#&A
+ ( ! A #7&# 5
则 !$ $ !$ $ $5! …………………………………………!,分
+ ! A #8&# !
( &##0#&A (
( (
!6!!!"解)由题可知
